Entenda trabalho e energia: um atalho por meio de balanços

A segunda lei de Newton fornece a aceleração em cada instante. Isso é mais informação do que muitos problemas exigem. Solte uma bola do alto de um escorregador curvo e pergunte qual será sua rapidez na base. Pela segunda lei, você precisaria conhecer a força em cada ponto da curva, que muda de direção conforme o escorregador se dobra. Seria necessário integrar todo o percurso.

Trabalho e energia oferecem um atalho que ignora o trajeto. Você mantém um balanço com duas colunas, movimento e posição, e verifica que entre quaisquer dois instantes a conta fecha após considerar o que entrou e saiu ao longo do caminho. Não precisa achar a aceleração: compara o saldo no alto com o saldo na base.

Este é o terceiro artigo da série de mecânica, depois de Entenda a cinemática de forma intuitiva e Entenda as leis de Newton de forma intuitiva. Vamos ver o que o trabalho realmente mede, de onde vêm as energias cinética e potencial, por que conservação é contabilidade e não magia, como incluir o atrito no balanço, o que potência mede e quando usar energia ou voltar a Newton.

Energia é um número acompanhado, não algo que se vê

Ninguém viu energia diretamente. O que se vê é uma bola se movendo ou parada em certa altura, e a física atribui números a essas situações para que determinada soma permaneça constante. É por isso que o conceito existe. Ao longo do século XIX, físicos perceberam que, definindo adequadamente uma grandeza para o movimento e outra para a posição, por mais complicado que seja o caminho intermediário, o total final é igual ao inicial, mais ou menos o que forças externas acrescentaram ou retiraram.

Pense na energia como uma conta. Energia cinética é o saldo associado ao movimento. Energia potencial é o saldo associado à posição. Trabalho é depósito ou retirada. Conservação da energia é o extrato que soma as operações.

Trabalho é força vezes a distância em que atua

Trabalho descreve o que uma força faz enquanto o objeto sobre o qual atua se desloca. Uma força que empurra um objeto por uma distância $d$ na direção do empurrão realiza trabalho

$$W = F d$$

medido em joules: um newton aplicado ao longo de um metro. Se a força não acompanha o movimento, só conta sua componente nessa direção:

$$W = F d \cos\theta$$

em que $\theta$ é o ângulo entre força e deslocamento. Três casos abrangem a maior parte dos exames:

• Força no sentido do movimento, $\theta = 0$. Ela ajuda, $\cos 0 = 1$ e o trabalho é positivo. É um depósito.
• Força contrária ao movimento, $\theta = 180^\circ$. Ela resiste, $\cos 180^\circ = -1$ e o trabalho é negativo. É uma retirada. O atrito cinético sempre faz isso.
• Força perpendicular ao movimento, $\theta = 90^\circ$. O trabalho é zero. A normal em um piso plano, a tração da corda que faz uma bola girar e a gravidade sobre um objeto que se move horizontalmente não realizam trabalho, por maiores que sejam.

O caso perpendicular surpreende porque a força parece que deveria contar. Mas não conta, e a razão está na definição. Trabalho mede energia transferida ao longo do movimento. Uma força perpendicular muda a direção, mas não a energia do movimento. Por isso um satélite em órbita mantém a mesma rapidez indefinidamente.

Trabalho é um escalar. Tem sinal, mas não direção, permitindo somar depósitos e retiradas como números comuns.

Energia cinética torna o trabalho visível

Empurre um bloco de massa $m$ a partir do repouso com força resultante constante $F$ ao longo de uma distância $d$. Newton dá a aceleração, $a = F/m$, e a cinemática dá a rapidez final por $v^2 = 2ad$. Substitua e reorganize:

$$F d = \tfrac{1}{2} m v^2$$

O lado esquerdo é o trabalho realizado. O direito é o que o bloco agora possui, e merece um nome: energia cinética,

$$K = \tfrac{1}{2} m v^2$$

A mesma álgebra com rapidez inicial diferente de zero fornece o teorema do trabalho e da energia:

$$W_{\text{net}} = \Delta K = \tfrac{1}{2} m v^2 - \tfrac{1}{2} m v_0^2$$

Leia-o como uma definição da utilidade da energia cinética. O trabalho resultante sobre um objeto, somando todas as forças com seus sinais, é igual à mudança de energia cinética. Trabalho resultante positivo aumenta a rapidez; negativo a reduz. Se o trabalho resultante é zero, a rapidez não muda, por intensas que sejam as forças.

Observe duas coisas. A energia cinética depende de $v^2$, então dobrar a rapidez quadruplica a energia. Por isso um carro a 100 km/h precisa de quatro vezes a distância de frenagem de um carro a 50 km/h. Além disso, a energia cinética nunca é negativa. Um objeto em marcha à ré tem a mesma energia cinética que outro à mesma rapidez para a frente.

Energia potencial é trabalho que pode ser recuperado

Levante um livro de massa $m$ por uma altura $h$ a rapidez constante. Você realiza trabalho $mgh$ contra a gravidade, mas a energia cinética do livro é a mesma no início e no fim. Para onde foi o trabalho?

Ficou armazenado na posição. Se soltar o livro, a gravidade realizará $mgh$ de trabalho durante a queda, e ele chegará com exatamente $\tfrac{1}{2} m v^2 = mgh$ de energia cinética. Seu trabalho não desapareceu; foi armazenado como energia potencial gravitacional:

$$U_g = m g h$$

Na trilha AP, $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$; na A-Level, $9.81\,\mathrm{m/s^2}$. Use o valor indicado pelo problema.

Uma mola conta uma história parecida e armazena energia potencial elástica. Ao comprimir ou esticar uma mola de constante $k$ por uma distância $x$ a partir do comprimento natural, a energia armazenada é

$$U_s = \tfrac{1}{2} k x^2$$

O fator meio aparece porque a força da mola cresce de zero a $kx$ durante a compressão; sua força média é metade da final.

Energia potencial só existe para forças com uma propriedade específica: o trabalho realizado depende dos pontos de partida e chegada, não da rota. Gravidade e mola têm essa propriedade. O atrito não: um caminho mais longo custa mais trabalho de atrito. Por isso ele não tem energia potencial e precisa ser tratado de outra forma. Essas forças são chamadas conservativas, e cada uma pode virar uma coluna no balanço.

Uma liberdade útil: você escolhe onde fica $h = 0$. Só importam mudanças na energia potencial, então colocar o zero no ponto mais baixo do problema deixa todas as alturas positivas.

Conservação: o balanço fecha

Junte as colunas. Se apenas forças conservativas, como gravidade e molas, realizarem trabalho, a energia mecânica total não muda:

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$$

Essa equação ignora o trajeto. Uma bola que desce por um escorregador curvo a partir da altura $h$ chega à base com $\tfrac{1}{2} m v^2 = m g h$, então $v = \sqrt{2gh}$; o formato do escorregador não entra no cálculo. Um pêndulo solto da altura $h$ acima do ponto mais baixo chega ali a $\sqrt{2gh}$, qualquer que seja o comprimento da corda. Uma montanha-russa no alto de uma segunda colina, $\Delta h$ abaixo da primeira, se move a $\sqrt{2 g \Delta h}$ se partiu do repouso.

A massa frequentemente se cancela. Não é coincidência: é o mesmo fato de que corpos caem com a mesma aceleração, visto pelo balanço da energia.

O atrito altera a igualdade de modo controlado. O atrito cinético realiza trabalho negativo $-f d$ sobre o objeto que desliza, em que $f$ é a força de atrito e $d$ a distância realmente percorrida durante o deslizamento. Acrescente isso ao balanço:

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2 + f d$$

O termo $f d$ é a energia que saiu das contas mecânicas e virou calor. Não sumiu do universo, mas saiu do problema. Um bloco que desce uma rampa áspera de comprimento $d$ chega com menos de $mgh$ de energia cinética, e a diferença é exatamente $f d$, com $f = \mu N$ da seção sobre atrito do artigo de Newton.

O mesmo termo explica um bloco que desliza em piso áspero até parar. Toda a energia cinética vira $f d$, então a distância de parada é $d = \tfrac{1}{2} m v^2 / f = v^2 / (2 \mu g)$, independente da massa.

Potência é a taxa

Trabalho diz quanta energia foi transferida. Potência diz com que rapidez:

$$P = \frac{W}{t}$$

Ela é medida em watts, ou joules por segundo. Uma lâmpada de 60 W transfere 60 joules por segundo. Uma chaleira elétrica de 1 kW transfere mil.

Para uma força que empurra um objeto a rapidez constante, há uma forma mais útil. O trabalho é $F d$, e a distância percorrida no tempo $t$ é $v t$, então

$$P = F v$$

Esta é a equação por trás de muitos problemas de carros. Um carro que viaja a rapidez constante tem força resultante zero, então a força do motor para a frente iguala a resistência total, e a potência do motor é essa resistência vezes a rapidez. Se dobrar a rapidez na estrada, como a resistência do ar cresce aproximadamente com $v^2$, a potência necessária cresce aproximadamente com $v^3$.

Uma armadilha de unidade: quilowatt-hora é energia, não potência. São 1000 W mantidos por 3600 s, equivalentes a $3.6 \times 10^6$ joules. A conta de luz mede energia; o número na chaleira indica potência.

Quando usar energia e quando usar Newton

Os dois métodos respondem a perguntas diferentes; escolher o errado costuma desperdiçar tempo em mecânica.

Use energia quando:

• Você conhece a situação em dois pontos e quer a rapidez ou altura em um deles.
• O trajeto é curvo ou a força muda de direção ao longo dele.
• Ninguém perguntou por tempo, aceleração ou força.
• A única força não conservativa é o atrito ao longo de uma distância conhecida.

Use Newton quando:

• A pergunta pede força, tração, normal ou aceleração.
• Você precisa do tempo, pois energia não contém um relógio.
• Uma força não conservativa varia ao longo do caminho de modo que você não consegue resumi-la como $f d$.
• O movimento é circular e você precisa da condição centrípeta.

Muitos problemas usam os dois. Energia dá a rapidez na parte inferior de um loop; Newton fornece a força normal nesse ponto. A passagem pode ocorrer em qualquer direção. A habilidade é perceber qual grandeza a pergunta realmente quer.

Para que servem trabalho e energia

A cinemática descreve movimento. As leis de Newton o explicam. Trabalho e energia permitem pular o meio, comparando início e fim sem acompanhar cada etapa intermediária. O custo é informação: energia não diz quanto tempo passou nem qual força atuou em certo instante. O ganho é que o formato do trajeto deixa de importar, exatamente a dificuldade que as leis de Newton traziam.

Todo o restante da mecânica reutiliza esse balanço. Quantidade de movimento é uma segunda grandeza conservada, contabilizada com a mesma ideia. No movimento harmônico simples, a energia vai e volta entre as colunas cinética e da mola. A termodinâmica é a mesma contabilidade, agora com uma coluna própria para calor.

Para fixar o método, use o processo do guia Como estudar física de forma eficaz: identifique os dois instantes, escreva os saldos, acrescente o trabalho de cada força não conservativa, resolva e confira unidades e casos limites. O tema Trabalho e energia no Physics Zen repete esse processo com valores novos para trabalho de forças oblíquas, energia cinética e potencial e conservação com e sem atrito. Potência é a última habilidade, disponível com Premium. Assim você lembra do balanço, não de uma resposta específica.