Lei de Snell: refração com exemplos resolvidos

Um canudo dentro de um copo de água pode parecer deslocado na superfície. O canudo não se dobrou. A luz vinda da parte submersa muda de direção ao passar da água para o ar, e os olhos prolongam esses raios seguindo uma direção diferente da percorrida abaixo da superfície. Essa mudança de direção é a refração.

Um raio também pode ricochetear na superfície: isso é reflexão. Em um problema de refração, acompanhe o raio que atravessa a fronteira. A lei de Snell fornece sua direção quando você conhece o ângulo de entrada e os dois materiais. O cálculo é curto; o trabalho principal é manter o desenho e os rótulos dos ângulos corretos.

Desenhe primeiro a interface e a normal

A normal é uma linha imaginária perpendicular à superfície no ponto em que o raio a encontra. Os ângulos de incidência e refração são medidos entre cada raio e a normal, nunca entre o raio e a superfície. Este é um esquema para um raio do ar para a água. A separação horizontal é apenas ilustrativa; os ângulos numéricos serão definidos adiante.

                  air, n1 = 1.00
 incoming ray  ↘  |  normal
                 \| θ1
------------------+---------------- surface
                   |\ θ2
                   | ↘ transmitted ray
                 water, n2 = 1.33

Se estiver desenhando no papel, trace uma normal curta e pontilhada no sinal de mais. Marque o lado de entrada com $1$ e o lado transmitido com $2$. Depois escreva $\theta_1$ junto ao raio incidente e $\theta_2$ junto ao transmitido. Um bom desenho evita um erro frequente: usar diretamente na lei de Snell um ângulo dado em relação à superfície. Se esse ângulo for $30^\circ$, o ângulo em relação à normal será $90^\circ-30^\circ=60^\circ$.

A seção da OpenStax sobre a lei de refração usa a mesma convenção da normal. Seus desenhos também distinguem o raio refletido, que permanece do lado de entrada, do refratado, que entra no segundo material.

O que significa índice de refração

O índice de refração $n$ compara a rapidez da luz no vácuo, $c$, com a rapidez em um material, $v$:

$$n=\frac{c}{v}.$$

Um índice maior significa menor rapidez nesse modelo. Usaremos $n_{\mathrm{air}}=1.00$ e $n_{\mathrm{water}}=1.33$, valores arredondados da explicação sobre refração da OpenStax. O índice de um material pode variar com o comprimento de onda. Nos cálculos abaixo, acompanhamos um raio de frequência fixa e tratamos esses índices como constantes. A frequência não muda na interface, mas rapidez e comprimento de onda mudam, como explica OpenStax Physics sobre refração.

A relação entre as duas direções é a lei de Snell:

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$$

Seus ângulos são medidos a partir da normal. Os índices não têm unidades, e os valores dos senos também são adimensionais. Mantenha a calculadora em graus para os ângulos em graus deste artigo; mudá-la para radianos dará resultados numéricos errados.

Antes de calcular, preveja a direção. Quando o segundo índice é maior, $\sin\theta_2$ deve ser menor; o ângulo transmitido diminui e o raio se desvia em direção à normal. Quando o segundo índice é menor, o raio transmitido se afasta da normal, se existir. Na incidência normal, $\theta_1=0^\circ$, ele continua pela normal sem mudar de direção, embora sua rapidez mude.

Exemplo resolvido: do ar para a água

Suponha que um raio no ar encontre uma superfície plana de água a $40^\circ$ da normal. Queremos seu ângulo dentro da água. Registre primeiro os lados: $n_1=1.00$, $n_2=1.33$ e $\theta_1=40^\circ$. Como o índice aumenta, espere $\theta_2<40^\circ$.

Resolva a lei de Snell para o seno desconhecido antes de colocar os números:

$$\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 =\frac{1.00}{1.33}\sin40^\circ =\frac{0.642788}{1.33} \approx0.483299.$$

Calcule o arco seno, ainda no modo de graus:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.483299)\approx28.9^\circ.$$

É menor que $40^\circ$, então a previsão da direção confere. Substitua na equação original para detectar um erro de digitação: $1.00\sin40^\circ\approx0.6428$ e $1.33\sin28.9^\circ\approx0.643$. A pequena diferença vem do arredondamento. Um resultado de $51^\circ$ contrariaria a previsão para entrada em material de índice maior.

Não há unidade de comprimento para anexar a $28.9^\circ$. O problema pede uma direção e a unidade da resposta é grau. Se um exame também pedir rapidez, calcule-a separadamente com $v=c/n$ em vez de tratar o ângulo como rapidez.

Exemplo resolvido: da água para o ar

Agora envie um raio para cima pela água em direção à interface com o ar, a $30^\circ$ da normal. A ordem dos lados se inverte: $n_1=1.33$ para a água, $n_2=1.00$ para o ar. Como o índice cai, preveja no ar um ângulo maior que $30^\circ$.

$$\sin\theta_2=\frac{1.33}{1.00}\sin30^\circ =1.33(0.5)=0.665.$$

Logo:

$$\theta_2=\sin^{-1}(0.665)\approx41.7^\circ.$$

O raio transmitido se desvia para longe da normal, como esperado. Substituindo de volta, $1.33\sin30^\circ=0.665$ e $1.00\sin41.7^\circ\approx0.665$. Os valores coincidem na precisão mostrada.

Observe o que mudou entre os exemplos: o sentido de propagação, a ordem dos índices e o ângulo de incidência informado. Não troque $n_1$ por $n_2$ e mantenha o antigo $\theta_1$. Meio 1 é sempre o meio onde o raio começa naquele cálculo.

Confira respostas impossíveis e o ângulo crítico

O seno de um ângulo real não pode superar um. Se a lei de Snell reorganizada fornecer $\sin\theta_2>1$, não force uma resposta na calculadora nem arredonde o valor para baixo. Para luz que vai de índice maior para menor, isso marca a região de reflexão interna total no modelo ideal de raios. Nesse ângulo de incidência, não há raio refratado transmitido.

No ângulo limite de incidência, o raio transmitido seguiria a interface, com $\theta_2=90^\circ$. Faça $\sin90^\circ=1$ na lei de Snell e encontre o ângulo crítico:

$$\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\qquad \theta_c=\sin^{-1}\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right),\quad n_1>n_2.$$

Para nossos índices arredondados de água e ar, $\theta_c=\sin^{-1}(1.00/1.33)\approx48.8^\circ$. É um cálculo arredondado independentemente com os valores escolhidos; a seção da OpenStax sobre reflexão interna total apresenta a regra e ilustra o limite. O exemplo de $30^\circ$ fica abaixo do ângulo crítico, então há raio transmitido. A $60^\circ$ da normal, o cálculo exigiria $\sin\theta_2=1.33\sin60^\circ\approx1.152$, impossível. O raio sofre reflexão interna total nesse modelo.

O caso de igualdade importa. No ângulo crítico, a direção refratada é $90^\circ$, ao longo da superfície. Para incidência maior que ele ocorre reflexão interna total. Ela não pode ocorrer quando um raio passa do ar para a água, pois começa pelo índice menor. Separe também a reflexão parcial comum desse caso limite: uma interface pode refletir parte da luz mesmo com raio transmitido.

Três perguntas para praticar, com respostas

1. Ângulo dado em relação à superfície. Um raio chega do ar a $25^\circ$ de uma superfície plana de água. Qual ângulo de incidência entra na lei de Snell e qual é o ângulo refratado? A normal é perpendicular à superfície, então $\theta_1=90^\circ-25^\circ=65^\circ$. Depois:

$$\sin\theta_2=\frac{1.00}{1.33}\sin65^\circ \approx\frac{0.906308}{1.33}\approx0.681434, \qquad \theta_2\approx43.0^\circ.$$

A resposta é medida a partir da normal e é menor que $65^\circ$, como exige a entrada na água.

2. Raio normal à superfície. Um raio vai da água ao ar a $0^\circ$ da normal. A lei de Snell fornece $1.33\sin0^\circ=1.00\sin\theta_2=0$, então $\theta_2=0^\circ$. O raio transmitido segue reto. Isso não significa que os dois materiais tenham índices de refração iguais.

3. Pode existir um raio transmitido? Um raio vai da água para o ar com $\theta_1=50^\circ$ da normal. O cálculo dá $\sin\theta_2=1.33\sin50^\circ\approx1.019$. Como supera um, não existe ângulo de raio transmitido nesse modelo. Equivalentemente, $50^\circ$ supera o ângulo crítico aproximado de $48.8^\circ$. Não apresente $\sin^{-1}(1.019)$ como ângulo real.

Quando você conseguir marcar a normal e prever o desvio antes de calcular, pratique no tema Óptica do Physics Zen, com reflexão, refração e ângulo crítico. O mesmo hábito ajuda em questões de exames com muitos diagramas: preparação de física A-Level, preparação de física do Abitur e preparação de física do Bac apresentam planos mais amplos. Em cada novo problema de refração, identifique primeiro o meio incidente, meça os dois ângulos a partir da normal e confira o seno antes de apertar arco seno.

Perguntas frequentes

Por que a lei de Snell usa seno?

O seno expressa quanto da direção de um raio se estende ao longo da interface. A geometria das ondas em uma fronteira plana liga essa componente dos dois lados, produzindo $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$. Para resolver o problema, o essencial é usar ângulos a partir da normal e associar cada índice ao ângulo do próprio meio.

A frequência muda quando a luz sofre refração?

Não. Nesse modelo de interface, a frequência permanece igual. Rapidez e comprimento de onda mudam com o meio. O índice de refração de um material também pode variar com o comprimento de onda, então uma mistura ampla de cores pode se separar; nossos exemplos numéricos seguem um único raio com um par de índices escolhido.

Um índice maior sempre significa maior ângulo de desvio?

Não. Compare os dois índices e o ângulo de incidência. Para um ângulo de incidência fixo no meio 1, um $n_2$ maior produz ângulo menor em relação à normal no meio 2. Com incidência de $0^\circ$, a direção não se desvia. Diga sempre de qual ângulo está falando antes de comparar números.