Период полураспада: формула и разобранные задачи

В полдень активность образца составляет 1200 беккерелей. Период полураспада изотопа 6,0 часа. Что покажет детектор в 6 утра следующего дня? Ответ не 1200 минус три одинаковых шага. Каждый период полураспада убирает половину того, что ещё осталось, поэтому показания идут так: 1200, 600, 300, 150. Эта мультипликативная закономерность и есть всё содержание формулы периода полураспада.

В этом разборе формула проходит путь от простого случая с целым числом периодов до тех, на которых чаще всего ошибаются на экзаменах: дробное число периодов, период полураспада по двум измерениям, переход к постоянной распада, активность по числу ядер и определение возраста образца по оставшемуся углероду-14. В теме Ядерная физика перечислены навыки по распаду, которые тренируют эти примеры.

Две записи одного закона распада

Для отдельного ядра радиоактивный распад случаен, но для большого числа ядер он очень регулярен. Если в начальный момент есть $N_0$ нераспавшихся ядер, а период полураспада равен $T_{1/2}$, то через время $t$ их остаётся

$$N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.$$

Показатель $t/T_{1/2}$ это просто число прошедших периодов полураспада. Он не обязан быть целым.

В учебниках закон записывают и через постоянную распада $\lambda$. OpenStax University Physics, том 3, §10.3 приводит

$$N(t)=N_0e^{-\lambda t},\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\approx\frac{0.693}{T_{1/2}}.$$

Обе записи совпадают, потому что $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}$. Берите форму с периодом полураспада, когда условие говорит в периодах, и экспоненциальную форму, когда дана или нужна $\lambda$. То же соотношение верно для массы материнского изотопа и для его активности, потому что обе величины пропорциональны $N$.

Перед любыми вычислениями переведите $t$ и $T_{1/2}$ в одни и те же единицы. Часы, делённые на сутки, дают правдоподобное на вид число, которое неверно.

Пример 1: целое число периодов

Вернёмся к образцу из начала: $A_0=1200\ \mathrm{Bq}$ и $T_{1/2}=6.0\ \mathrm h$. С полудня до 6 утра проходит 18 ч, то есть $18/6.0=3$ периода.

$$A=1200\ \mathrm{Bq}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1200\ \mathrm{Bq}}{8}=150\ \mathrm{Bq}.$$

Короткая таблица делает закономерность видимой и ловит арифметические ошибки:

Соблазнительный неверный ответ вычитает по 600 Бк каждые 6 ч и через 12 ч приходит к нулю. Скорость распада пропорциональна тому, что осталось, поэтому шаги уменьшаются.

Пример 2: дробное число периодов

Гипотетический изотоп имеет период полураспада 8,0 суток, и источник вначале содержит 40 мг этого изотопа. Сколько его останется через 20 суток?

Число периодов равно $20/8.0=2.5$. Формула справляется с этим напрямую:

$$m=40\ \mathrm{mg}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5}\approx40\ \mathrm{mg}\times0.177\approx7.1\ \mathrm{mg}.$$

Проверьте порядок величины: после 2 периодов осталось бы 10 мг, после 3 периодов 5 мг. Результат между 5 и 10 мг правильный, и он ближе к 5, чем к 10, потому что кривая сильнее всего падает в начале каждого интервала. Середина между 10 и 5, то есть 7,5 мг, была бы линейной прикидкой, а не законом распада.

Эти 7,1 мг относятся к оставшемуся материнскому изотопу. Образец не теряет 33 мг общей массы: большинство распавшихся атомов никуда не делись, они остались в виде дочерних ядер.

Пример 3: период полураспада по двум показаниям

Детектор показывает для чистого источника 800 Бк, а через 3,0 ч, после вычитания фона, 500 Бк. Чему равен период полураспада?

Выразим из формулы число периодов:

$$\frac{t}{T_{1/2}}=\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=\log_2(1.6)=\frac{\ln 1.6}{\ln 2}\approx0.678.$$

Тогда

$$T_{1/2}=\frac{3.0\ \mathrm h}{0.678}\approx4.4\ \mathrm h.$$

Проверка здравым смыслом: за 3,0 ч активность упала меньше чем вдвое, значит, период полураспада должен быть больше 3,0 ч. Если получился отрицательный период или период короче прошедшего времени, хотя показание ещё не уменьшилось вдвое, отношение перевёрнуто.

Когда падение равно точной степени двойки, логарифм не нужен. Падение с 960 Бк до 240 Бк за 10 ч означает уменьшение в 4 раза, то есть 2 периода, поэтому $T_{1/2}=5.0\ \mathrm h$.

Пример 4: постоянная распада и активность по числу ядер

Источник содержит $N=2.0\times10^{15}$ ядер изотопа с $T_{1/2}=8.0$ суток. Какова его активность в беккерелях?

Активность измеряется в распадах в секунду, поэтому сначала переведите период полураспада в секунды: $8.0\ \mathrm{d}=8.0\times86400\ \mathrm s=6.91\times10^{5}\ \mathrm s$. Затем

$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{6.91\times10^{5}\ \mathrm s}\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}},$$ $$A=\lambda N\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}\times2.0\times10^{15}\approx2.0\times10^{9}\ \mathrm{Bq}.$$

Если оставить период в сутках, ответ получится в распадах в сутки, примерно в 86 400 раз больше числа беккерелей. Единица $\lambda$ определяет единицу $A$.

Пример 5: радиоуглеродный метод с некруглым ответом

OpenStax указывает для углерода-14 период полураспада 5730 лет. Деревянный предмет имеет на грамм 30 % активности углерода-14 сопоставимой живой древесины. Если считать, что исходное отношение было таким же, сколько лет предмету?

$$t=T_{1/2}\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=5730\times\log_2\left(\frac{1}{0.30}\right)\approx5730\times1.74\approx9.95\times10^{3}.$$

Предмету примерно 10 000 лет. Проверьте границы: 25 % остатка означали бы ровно 2 периода, 11 460 лет. Тридцать процентов немного больше 25 %, значит, возраст должен быть немного меньше, так и выходит.

Ответ опирается на предположение, что исходное отношение совпадало с живым материалом. Настоящие радиоуглеродные лаборатории делают калибровку с учётом колебаний атмосферного углерода-14, поэтому считайте это задачей по физике, а не лабораторной датировкой.

Ошибки, которые стоят баллов

• Вычитание равных порций. Каждый период делит пополам текущее количество. Линейные шаги доходят до нуля, закон распада никогда.
• Смешанные единицы времени. $t$ и $T_{1/2}$ должны быть в одних единицах, а $\lambda$ должна быть в $\mathrm{s^{-1}}$, если нужна активность в беккерелях.
• Путаница log и ln. $\ln 2\approx0.693$, тогда как $\log_{10}2\approx0.301$. Если берёте $\log_{10}$ от отношения, делите на $\log_{10}2$, а не на 0,693. В статье о физических ошибках, которые на самом деле математические есть и другие такие ловушки.
• Путаница материнского изотопа и образца. Формула описывает нераспавшиеся материнские ядра, а не общую массу образца.
• Забытый фон. Скорость счёта в лаборатории включает фоновое излучение. Вычтите его, прежде чем брать отношения.

Три задачи для тренировки с ответами

Задача 1. Изотоп с $T_{1/2}=15\ \mathrm h$ начинает с 6400 Бк. Какова активность через 60 ч? Четыре периода: $6400/16=400\ \mathrm{Bq}$.

Задача 2. Какая доля образца остаётся через 1,5 периода полураспада? $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5}\approx0.354$, около 35 %, а не 25 %.

Задача 3. Скорость счёта за 36 мин падает с 1000 до 125 импульсов в минуту, фон уже вычтен. Чему равен период полураспада? Отношение 8 это 3 периода, значит $T_{1/2}=12\ \mathrm{min}$.

Задачи на период полураспада есть почти в каждом школьном курсе физики; в нашем руководстве по A-level Physics видно, где радиоактивный распад стоит среди других тем современной физики. В любом курсе порядок один и тот же: согласовать единицы, считать число периодов как $t/T_{1/2}$, оставлять показатель дробным, когда он дробный, и проверять, что ответ лежит между значениями для соседних целых периодов.