Интенсивность звука и расстояние: задачи на обратные квадраты

Вы отошли вдвое дальше от небольшой звуковой колонки на открытом пространстве. Уменьшилась ли интенсивность звука вдвое? В простейшей физической модели она падает до одной четверти. Мощность не исчезла. Она распределилась по сферической поверхности, площадь которой стала в четыре раза больше. На расстоянии в четыре раза дальше площадь больше в шестнадцать раз, поэтому каждому квадратному метру достаётся лишь одна шестнадцатая исходной интенсивности.

Это закон обратных квадратов для интенсивности звука. Он описывает поток энергии через единицу площади, а не обещает, что человек услышит звук как вчетверо более тихий. Руководство выводит соотношение, решает числовые задачи, переводит отношение интенсивностей в децибелы и объясняет, когда комната или большая протяжённая колонка нарушает простую картину. Руководство по эффекту Доплера посвящено другому изменению: частоте при относительном движении источника и слушателя.

Сначала определим, что измеряет интенсивность

Звуковая волна переносит энергию. Мощность $P$ означает энергию, переданную за секунду, и измеряется в ваттах. Интенсивность $I$ равна мощности, проходящей через единицу площади, перпендикулярной потоку энергии; её единица ватт на квадратный метр:

$$I=\frac{P}{A}.$$

Определение относится не только к слуху. OpenStax University Physics, том 1, §17.3 применяет его к звуку, а затем вводит идеальную сферическую модель. Проверяйте единицы до вычислений: ватты, делённые на квадратные метры, дают $\mathrm{W/m^2}$. Ответ просто в ваттах обозначает мощность, а не интенсивность.

Колонка может излучать ту же акустическую мощность, пока интенсивность в более далёкой точке меняется. Площадь, через которую проходит эта мощность, растёт с расстоянием. Поэтому вопрос об «интенсивности колонки» без расстояния или поверхности измерения неполон. Два измерения с разных расстояний нельзя сравнивать так, словно изменился сам источник.

Почему появляется квадрат площади сферы

Представьте малый источник, равномерно излучающий во всех направлениях. На рассматриваемых расстояниях нет препятствий, отражений и значительной потери мощности на среду. На радиусе $r$ та же расходящаяся мощность пересекает сферическую поверхность площадью

$$A=4\pi r^2.$$

Подставим эту площадь в определение интенсивности:

$$I(r)=\frac{P}{4\pi r^2}.$$

Радиус возводится в квадрат потому, что площадь поверхности сферы растёт пропорционально квадрату радиуса. Закон не становится обратно кубическим лишь потому, что звук распространяется в трёхмерном пространстве. Мы делим на площадь поверхности, а не на объём внутри неё. Если радиус удвоится, $4\pi(2r)^2=4(4\pi r^2)$. Та же мощность распределится по вчетверо большей площади, так что на квадратный метр останется четверть.

Формула полезна только при выполнении её предпосылок. Направленная колонка не излучает одинаково во все стороны. Стена возвращает часть энергии. Источник, размер которого сравним с расстоянием, не похож на точку. Сферический расчёт надо считать идеальной моделью, а не универсальным предсказанием микрофона.

Сначала отношение, потом калькулятор

Если мощность источника не меняется, разделите две сферические формулы. $P$ и $4\pi$ сократятся:

$$\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.$$

Пусть в идеальной модели интенсивность на расстоянии $2.0\ \mathrm m$ равна $0.0080\ \mathrm{W/m^2}$. На $4.0\ \mathrm m$ отношение составляет $(2.0/4.0)^2=1/4$, так что ожидаемая интенсивность равна $0.0020\ \mathrm{W/m^2}$. На $6.0\ \mathrm m$ отношение $(2.0/6.0)^2=1/9$, что даёт примерно $0.00089\ \mathrm{W/m^2}$.

Важно отношение расстояний от источника. Не возводите в квадрат число дополнительно пройденных метров. При переходе от 2 к 4 м расстояние удваивается, а от 4 к 6 м увеличивается в 1,5 раза. Эти перемещения не могут давать одинаковое отношение интенсивностей. «Вдвое дальше значит вдвое слабее» звучит заманчиво, но это линейный ответ, забывающий рост площади.

От мощности через площадь к интенсивности

Теперь начнём без заданной интенсивности. Пусть гипотетический точечный источник равномерно излучает во все направления акустическую мощность $P=4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W$. На расстоянии $r=1.0\ \mathrm m$ площадь сферы равна $4\pi\ \mathrm{m^2}$. Следовательно,

$$I_1=\frac{4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W}{4\pi\ \mathrm{m^2}} =1.0\times10^{-4}\ \mathrm{W/m^2}.$$

На 2,0 м площадь составляет $16\pi\ \mathrm{m^2}$, а интенсивность $2.5\times10^{-5}\ \mathrm{W/m^2}$. На 4,0 м получаются $64\pi\ \mathrm{m^2}$ и $6.25\times10^{-6}\ \mathrm{W/m^2}$. Мощность в числителе не меняется. Падение местной интенсивности в этой модели вызвано геометрическим растеканием, а не уменьшением мощности источника.

Числа придуманы для вычислительного примера. Они не описывают реальную колонку, помещение для измерения или безопасную длительность воздействия. Используйте их для проверки геометрии: при удвоении радиуса с 2 до 4 м интенсивность снова делится на четыре. Если в вашей таблице площадь лишь удвоилась, квадрат потерян.

Как перевести отношение интенсивностей в децибелы

Уровень интенсивности звука записывается по логарифмической шкале. Для интенсивности $I$ и опорной интенсивности $I_0$ OpenStax даёт

$$\beta=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\ \mathrm{dB}.$$

При обычном опорном значении $I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$ результат на 1 м в нашем примере равен $10\log_{10}(10^{-4}/10^{-12})=80\ \mathrm{dB}$. На 2 м это $10\log_{10}(2.5\times10^7)\approx74\ \mathrm{dB}$, а на 4 м около $68\ \mathrm{dB}$. Каждое удвоение расстояния уменьшает уровень примерно на 6 дБ в идеальной модели.

Разность можно вычислить и без двух абсолютных уровней:

$$\Delta\beta=10\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right) =10\log_{10}(1/4)\approx-6.02\ \mathrm{dB}.$$

Не вычитайте четверть от 80 дБ и не говорите, что уровень стал 20 дБ, потому что интенсивность упала до четверти. Децибелы являются логарифмами отношений: умножение интенсивности превращается в сложение или вычитание уровней. Кроме того, уровень интенсивности представляет физическую величину, а воспринимаемая громкость зависит от частоты, слуха и обстановки. Из примера нельзя заключить, что звук услышат как вчетверо более тихий. OpenStax разделяет интенсивность, её уровень и громкость восприятия.

Где простая модель перестаёт работать

Закон обратных квадратов требует примерно точечного источника и свободного поля. В комнате отражённый звук возвращается от стен, потолка и пола. Общий уровень в точке слушателя может не снижаться на 6 дБ при каждом удвоении расстояния. Материал Auditory Neuroscience прямо отмечает это ограничение из-за отражений. На улице препятствия, земля, направленность источника и поглощение тоже могут менять результат. Геометрия остаётся верной, но реальная обстановка не отвечает простой модели.

Рядом с большой колонкой или другим протяжённым источником модель маленькой точки, излучающей во все стороны, также может быть плохой. Не применяйте сферическую формулу без проверки на расстоянии, сравнимом с размером источника. В учебной задаче слова «изотропный точечный источник», «сферическая волна», «поглощением пренебречь» разрешают пользоваться формулой. Если их нет, явно назовите своё допущение.

Шумомер или приложение в телефоне может показать значение в дБ. Само по себе оно не определяет акустическую мощность источника и не доказывает закон обратных квадратов. Для этого нужны данные об измерении и калибровке. Наш расчёт предсказывает идеальную интенсивность по заданным мощности и расстоянию, а не предлагает оценивать безопасность для слуха по экрану телефона.

Две короткие задачи для проверки

Задача 1. Точечный источник в идеальном свободном поле создаёт интенсивность $0.0036\ \mathrm{W/m^2}$ на 3 м. Какова интенсивность на 9 м? Расстояние утроилось, значит интенсивность стала одной девятой: $0.0036/9=0.00040\ \mathrm{W/m^2}$. Разница уровней равна $10\log_{10}(1/9)\approx-9.54\ \mathrm{dB}$. Для этой разницы опорная интенсивность не нужна.

Задача 2. Два слушателя находятся на расстоянии 1 м и 2 м от источника в маленькой комнате с отражениями. Можно ли обещать разницу в 6 дБ? Нет. При идеальных допущениях около 6 дБ можно рассчитать для прямой сферической составляющей, но отражения меняют суммарный звук в каждой точке. Укажите, какую именно величину описывает ответ. Такая оговорка входит в решение.

Другой тип задач о звуке: стоячие волны определяют допустимые частоты струны или трубы, а смещение Доплера описывает кажущееся изменение частоты. Интенсивность ставит другой вопрос: сколько мощности проходит через квадратный метр здесь? Когда названы величина и условия модели, и квадрату, и логарифму отводится ясная роль.