Стоячие волны в струнах и трубах: разобранные примеры

Стоячая волна в одном смысле выглядит неподвижной: её узлы остаются на месте. Но струна или воздух между узлами продолжают двигаться. Чтобы решить задачу на частоту, начните с концов. Они определяют допустимые формы, а скорость волны превращает каждую разрешённую длину волны в частоту.

В этом руководстве три примера; каждый ответ мы проверим по рисунку, единицам и следующей допустимой моде. Используем идеальные струны и воздушные столбы. Реальные концы инструментов, изменение температуры и затухание требуют более осторожной модели, поэтому в последнем разделе указано, где простые формулы перестают работать.

Бегущая волна превращается в стоячий рисунок

Волна, идущая вдоль струны, отражается от конца. Когда падающая и отражённая волны одинаковой частоты накладываются друг на друга, их смещения в одних местах складываются, в других взаимно уничтожаются. Узел сохраняет нулевое смещение. Пучность достигает наибольшего смещения данной моды. Этот рисунок не переносит один горб непрерывно слева направо, хотя в настоящую вынужденно колеблющуюся систему энергия всё же поступает и теряется.

Глава OpenStax о стоячих волнах выводит разрешённые моды из граничных условий. Главное не запомнить формулу раньше рисунка. Изобразите, что среда может делать на каждом конце, затем посчитайте, какие доли длины волны умещаются между ними.

Частота, длина волны и скорость по-прежнему связаны:

$$v=f\lambda.$$

Здесь $v$ означает скорость распространения бегущего возмущения в среде, $f$ число циклов в секунду, а $\lambda$ метры за цикл. Стоячий рисунок получается наложением двух таких волн и не меняет связи. Это не то же самое, что груз на пружине из нашего руководства по гармоническим колебаниям: одна точка струны может колебаться примерно так, но у струны много точек и много возможных форм мод.

Закреплённая струна: узлы с обеих сторон

Струна, жёстко закреплённая на обоих концах, не может смещаться в точках крепления. Нарисуйте там по узлу смещения. Самая короткая форма имеет одну выпуклость между ними: на длине $L$ укладывается половина длины волны. Для каждой следующей моды добавляется ещё половина:

$$L=n\frac{\lambda_n}{2},\qquad \lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad f_n=\frac{nv}{2L},\quad n=1,2,3,\ldots$$

Первая мода основная, $f_1=v/(2L)$. Вторая имеет частоту $2f_1$ и ещё один внутренний узел. Третья равна $3f_1$. Называть их гармониками полезно лишь после проверки, что оба конца действительно закреплены. Свободный конец задавал бы иное условие для смещения.

У идеальной натянутой струны скорость определяют сила натяжения $T$ и линейная плотность массы $\mu$:

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.$$

Натяжение должно быть в ньютонах, $\mu$ в килограммах на метр. Корень тогда имеет размерность метров в секунду. Модель предполагает гибкую струну, почти постоянное натяжение и малое поперечное смещение. Она не утверждает, что толстая, жёсткая, сильно возбуждаемая реальная струна в точности следует всем идеальным гармоникам.

Разобранный пример 1: струна с известным натяжением

Струна длиной 1,20 м имеет натяжение $48\ \mathrm{N}$ и линейную плотность $0.012\ \mathrm{kg/m}$. Найдите её первую и третью разрешённые частоты. Начните со скорости:

$$v=\sqrt{48/0.012}=\sqrt{4000}\approx63.25\ \mathrm{m/s}.$$

Затем $f_1=63.25/(2\times1.20)\approx26.4\ \mathrm{Hz}$ и $f_3=3f_1\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. Для третьей моды $\lambda_3=2(1.20)/3=0.80\ \mathrm{m}$. Проверка: $v/\lambda_3=63.25/0.80\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. На рисунке должны быть узлы на двух концах и два внутри струны. Ответ вдвое выше основной частоты описывал бы вторую моду, а не третью.

Другое натяжение меняет $v$ и все частоты мод. Удвоение натяжения не удваивает частоту: из-за корня множитель равен $\sqrt{2}$. Изменение длины при постоянной скорости действует иначе: частота обратно пропорциональна $L$. Перед сравнением двух струн назовите неизменную величину.

Концы труб: уточните смещение или давление

Звук в трубе представляет собой продольное возмущение. Воздух ходит вдоль трубы туда и обратно, пока давление растёт и падает. Слово «узел» неоднозначно без названия изображаемой величины. У приблизительно закрытого конца смещение воздуха ограничено: узел смещения и пучность давления. У приблизительно открытого конца воздух движется свободнее, а отклонение давления от атмосферного почти равно нулю: пучность смещения и узел давления.

Материалы Университета Теннесси о воздушных столбах прямо сопоставляют граничные условия для давления и смещения. Столбцы дополняют друг друга. Если на рисунке закрытый конец подписан узлом давления, а затем применяется формула для смещения, модели перемешаны. Моды звуковых волн у OpenStax показывают допустимые рисунки труб через смещение. Перед решением напишите над эскизом «смещение воздуха» и расставьте его узлы и пучности. Давление можно отметить снизу для проверки.

Труба с двумя открытыми концами имеет пучности смещения на обоих концах. Простейший рисунок содержит половину длины волны на $L$, как закреплённая струна по числу волн, хотя там на концах пучности, а не узлы. Поэтому для идеальной открытой трубы $f_n=nv/(2L)$ при $n=1,2,3,\ldots$. Труба с двумя закрытыми концами также имеет симметричные условия и в простой модели такую же последовательность частот, но с узлами смещения на концах.

Разобранный пример 2: открытая труба

Возьмите идеальную трубу длиной 0,85 м, открытую с двух сторон, и примите в этом упражнении скорость звука $340\ \mathrm{m/s}$. На основной моде укладывается половина волны: $\lambda_1=2L=1.70\ \mathrm{m}$. Частота $f_1=340/1.70=200\ \mathrm{Hz}$. Следующая разрешённая мода: $f_2=400\ \mathrm{Hz}$ с $\lambda_2=0.85\ \mathrm{m}$.

Проверьте геометрию до доверия к вычислениям: открытые концы дают пучности смещения, а вторая мода добавляет ещё половину волны вдоль трубы. Единицы также верны: метры в секунду, делённые на метры, дают обратные секунды, то есть герцы. Принятые 340 м/с указаны только для задачи, это не универсальная скорость звука; температура и среда могут её менять.

Труба с закрытым и открытым концами допускает нечётные гармоники

Закройте один конец трубы, оставив другой открытым. Смещение должно иметь узел с одной стороны и пучность с другой. Кратчайшему рисунку достаточно четверти длины волны на $L$, так что $\lambda_1=4L$ и $f_1=v/(4L)$. Следующий рисунок при тех же условиях занимает три четверти, ещё следующий пять:

$$L=(2k-1)\frac{\lambda_k}{4},\qquad f_k=(2k-1)\frac{v}{4L},\quad k=1,2,3,\ldots$$

Частоты составляют $f_1,3f_1,5f_1,\ldots$. Выражение «только нечётные гармоники» относится к этим идеальным условиям. Вторая разрешённая мода является третьей гармоникой, не второй. Это предотвращает частый ответ $2f_1$ для закрыто-открытой трубы. Если задача спрашивает «второй резонанс», используйте $3f_1$ в идеальной модели.

Разобранный пример 3: труба, закрытая с одного конца

Возьмите закрыто-открытую трубу длиной 0,50 м и данное в задаче $v=340\ \mathrm{m/s}$. Первый резонанс: $\lambda_1=4(0.50)=2.0\ \mathrm{m}$, поэтому $f_1=340/2.0=170\ \mathrm{Hz}$. Второй разрешённый резонанс: $3f_1=510\ \mathrm{Hz}$ при $\lambda=340/510\approx0.667\ \mathrm{m}$. Три четверти этой длины волны примерно равны 0,50 м и помещаются в трубе. Напротив, $2f_1=340\ \mathrm{Hz}$ потребовало бы рисунка смещения, нарушающего одно граничное условие.

Проверка граничных условий: закрытый конец это узел смещения и пучность давления; открытый конец это пучность смещения и узел давления. Затем проверьте единицы, нумерацию нечётных гармоник и $v=f\lambda$. Все четыре проверки должны сходиться до принятия ответа.

Стоячие волны определяют возможные частоты; задачи об интенсивности звука считают мощность на единицу площади при изменении расстояния.

Где идеальная модель перестаёт работать

Воздух у открытого устья трубы не прекращает движение точно на физической кромке. Поэтому действительная акустическая длина трубы немного отличается от измеренной. Это поправка на открытый конец; материалы Университета Коннектикута о воздушных столбах объясняют различие. Размер поправки зависит от отверстия и окружения, поэтому формула абсолютно идеализированной трубы не предсказывает каждый реальный резонанс до герца. В примерах выше задача явно принимает простую модель границ и измеренную $L$ в качестве эффективной длины.

Температура меняет скорость звука; допущения о жёсткой стенке и потери тоже важны. Жёсткость и затухание струны могут сдвинуть или размыть моды. Это повод прочесть допущения задачи, а не отказаться от схемы узлов. Она показывает, с какого идеального семейства начать и какая поправка может понадобиться в более сложной задаче.

Не переносите правило нечётных гармоник на каждый источник звука. Оно относится к одному приблизительно закрытому и одному приблизительно открытому концу. Воздушный столб с двумя открытыми концами в той же идеализации допускает всю целочисленную последовательность. У колеблющейся струны собственные условия закреплённых концов. Формулу выбирает граница, а не название инструмента.

Сначала отработайте схему, затем считайте

В новой задаче нарисуйте граничные условия, подпишите, относятся ли узлы к смещению или давлению, посчитайте допустимую долю $\lambda$ и только потом подставляйте $v$ и $L$. Завершите обратной проверкой через $v=f\lambda$. Последний шаг ловит многие ошибки с множителем два.

В теме «Волны и звук» Physics Zen есть навык стоячих волн в струнах и трубах с новыми значениями и проверенными решениями. Используйте три примера как образцы: скорость струны через натяжение и плотность, открытая труба через половину волны, закрыто-открытая труба через нечётные количества четвертей волны.

Частые вопросы

Почему в закрыто-открытой трубе нет второй гармоники? Рисунок с половиной длины волны не может одновременно иметь узел смещения с одного конца и пучность с другого. В идеальной модели обеим границам соответствуют лишь одна, три, пять и дальнейшие нечётные четверти длины волны.

Открытый конец это узел или пучность? Для смещения воздуха он приблизительно пучность, для колебания давления приблизительно узел. Назовите величину, прежде чем использовать одно из слов.

Можно ли брать измеренную длину трубы напрямую? Используйте длину из учебной задачи с её идеальными допущениями. Для реальных измерений может потребоваться поправка на открытый конец; проверьте, дана физическая или эффективная длина.