Как рисовать диаграмму сил: пять шагов без типичных ошибок

В начальной механике многие неверные ответы определяются ещё до первой формулы. Силы нарисованы не в ту сторону, какая-то сила забыта или добавлена стрелка, которая вообще не обозначает силу. Исправьте схему, и с алгеброй обычно станет проще.

Диаграмма сил проста: отдельно взятое тело, на котором все действующие силы показаны стрелками. Её польза в дисциплине, которую она задаёт. До второго закона Ньютона нужно выбрать тело, назвать каждую силу и её источник, а также определить направление.

Здесь дан метод из пяти шагов, разобраны стандартные случаи и перечислены ошибки, которые часто видят проверяющие. Предполагается, что вы знаете второй закон Ньютона. Если нужно начать с него, прочитайте руководство по законам Ньютона, где эти диаграммы объясняются в контексте.

Шаг 1: выберите тело и нарисуйте отдельно

Точно решите, что считать «телом». Ящик на наклонной плоскости, ящик вместе с плоскостью и человек, толкающий ящик, это три разные системы с тремя разными диаграммами. Запишите выбор.

Затем нарисуйте только тело. Достаточно точки или маленького прямоугольника. Уберите пол, верёвку, стену и всё остальное, что его касается. Эти предметы появятся только в виде сил, которые они прикладывают.

Именно поэтому тело на диаграмме называют свободным: его отделяют от окружения, чтобы каждое взаимодействие было показано явно. Если оставить наклонную плоскость под ящиком, легко забыть, что она толкает ящик.

Шаг 2: перечислите все реальные силы и их источники

Проверяйте контакты и силы поля в одном порядке, чтобы ничего не пропустить.

Вес. На любое тело с массой вблизи Земли действует вес $mg$, направленный вертикально вниз и создаваемый Землёй. Он есть и тогда, когда тело не движется.

Силы нормальной реакции. Каждая поверхность, с которой соприкасается тело, толкает его перпендикулярно поверхности и от неё. Пол толкает вверх, стена вбок, склон перпендикулярно склону.

Трение. Каждая шероховатая поверхность контакта может создавать силу параллельно себе, препятствуя скольжению или стремлению к нему. Трение скольжения препятствует движению, а трение покоя тому движению, которое возникло бы без него.

Натяжение. Верёвка, нить или трос, прикреплённые к телу, тянут вдоль себя, от тела. Верёвка не может толкать.

Приложенные силы. Любое указанное в условии толкание или притяжение под заданным углом.

Силы пружины, сопротивления, подъёмная и выталкивающая силы, электрические и магнитные силы, если они нужны по условию.

Для каждой силы назовите предмет, который её создаёт. Например, «реакция пола» или «натяжение левой верёвки». Если источник назвать нельзя, такой силы не должно быть на диаграмме. Эта одна проверка убирает большинство придуманных сил.

Шаг 3: нарисуйте каждую силу от тела в её реальном направлении

Каждая стрелка начинается на точке и указывает туда, куда действует сила. Более длинные стрелки для больших сил помогают, но не обязательны: главное направление.

Подпишите стрелки обозначениями, которые затем используете в уравнениях: $W$ или $mg$, $N$, $f$, $T$, $F$. Если есть две силы одного вида, различайте их: $T_1$ и $T_2$, $N_{\text{floor}}$ и $N_{\text{wall}}$.

Не рисуйте силы, которые само тело прикладывает к другим предметам. Ящик давит на пол вниз, но эта сила действует на пол, поэтому её место на диаграмме пола, а не ящика. Пары сил из третьего закона Ньютона никогда не появляются на одной диаграмме: они действуют на разные тела.

Шаг 4: выберите оси по направлению движения

Рядом с диаграммой нарисуйте две небольшие оси. Одну направьте вдоль ускорения или вдоль поверхности, если тело движется по ней. На ровном полу это обычные горизонталь и вертикаль. На склоне одна ось идёт вдоль него, другая перпендикулярно.

Причина практическая. При осях вдоль склона нормальная реакция и трение лежат точно на осях, а разложить нужно только вес. Если выбрать горизонтальную и вертикальную оси на склоне, вместо одной силы придётся раскладывать три, и алгебры станет втрое больше.

Если ускорения нет, подходит любая ориентация, но то же правило всё равно уменьшает число компонентов.

Шаг 5: запишите второй закон вдоль каждой оси

Считайте силы по очереди вдоль осей. Сложите компоненты первой оси и приравняйте к $ma$ для этой оси; повторите для второй. Силы в отрицательном направлении получают минус. Для оси без ускорения справа будет нуль.

Теперь диаграмма сделала свою работу. Уравнения просто переписывают рисунок математически. Это не новый этап угадывания: правильный рисунок даёт правильные уравнения.

Решите и сверьте результат со схемой. Отрицательная сила трения означает направление, обратное вашей стрелке. Отрицательная реакция опоры означала бы, что поверхность должна тянуть тело, чего она не может. Значит, тело оторвалось от поверхности и модель изменилась.

Разбор: ящик на шероховатом полу

Ящик массой 10 кг толкают горизонтальной силой 40 Н по полу с коэффициентом трения скольжения 0,3. Найдите ускорение.

Тело: ящик. Силы: вес $mg$ вниз (Земля), реакция $N$ вверх (пол), трение $f$ против движения (пол), приложенная сила $F$ вперёд (толкание). Четыре стрелки.

Оси: $x$ вдоль толкания, $y$ вверх. По вертикали ускорения нет, поэтому

$$N - mg = 0$$

и $N = 98\ \text{N}$. По горизонтали

$$F - f = ma$$

При $f = \mu N = 0.3 \times 98 = 29.4\ \text{N}$ получаем $a = (40 - 29.4)/10 = 1.06\ \text{m/s}^2$.

Заметьте, что трение зависит от нормальной реакции, а она получена из вертикального уравнения. На схеме эта связь видна: трение и реакция являются двумя силами от одной поверхности.

Разбор: брусок на наклонной плоскости

Брусок находится на склоне с углом $\theta$. Силы: вес $mg$ вертикально вниз, реакция $N$ перпендикулярно склону, трение $f$ вдоль склона. Три стрелки.

Оси идут вдоль склона и перпендикулярно ему. Вес разделяется на $mg\sin\theta$ вниз по склону и $mg\cos\theta$ внутрь склона. Перпендикулярно:

$$N - mg\cos\theta = 0$$

Вдоль склона для бруска, скользящего вниз с трением,

$$mg\sin\theta - \mu N = ma$$

откуда $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$.

Самая частая ошибка здесь состоит в том, что реакцию опоры рисуют вертикально. Она перпендикулярна поверхности, на склоне это не вертикаль, и именно поэтому $N$ меньше $mg$. Следом часто путают синус и косинус в компонентах. Это проверка геометрии, а не физики; в нашем материале о математических ошибках в физике показано, как каждый раз выбрать правильно.

Разбор: груз на нити

Груз висит на нити, его тянут вверх, и он ускоряется с $a$. Силы: вес $mg$ вниз, натяжение $T$ вверх. Две стрелки. Вертикальная ось направлена вверх:

$$T - mg = ma$$

Поэтому $T = m(g + a)$. Если бы груз ускорялся вниз, $a$ стало бы отрицательным, а $T$ меньше $mg$. Если нить ослабнет, $T$ станет нулём и останется одна стрелка.

Две силы на одной прямой, но и такая диаграмма ловит устойчивую ошибку: к движущемуся вниз грузу добавляют направленную вниз «силу движения». Движение не сила. Груз движется вниз, потому что вес превышает натяжение. Обе силы уже есть на рисунке.

Пять ошибок, которые чаще всего видят проверяющие

1. Добавление равнодействующей отдельной стрелкой. Равнодействующая является суммой уже нарисованных стрелок, а не ещё одной силой. Иначе вы посчитаете её дважды.
2. Добавление центростремительной силы отдельной стрелкой. В круговом движении силу к центру создают реальные силы на диаграмме, например натяжение или трение. Руководство по круговому движению объясняет, как их читать. Не добавляйте ещё одну «центростремительную» стрелку.
3. Изображение скорости или ускорения как сил. Ни то ни другое не сила. Если хотите показать ускорение, нарисуйте его рядом с диаграммой другим способом.
4. Пропуск контакта. Каждая поверхность, верёвка и рука, касающаяся тела, прикладывает силу. Перед рисунком мысленно пройдите вокруг тела и назовите контакты.
5. Вертикальная реакция на склоне или трение перпендикулярно поверхности. Реакция перпендикулярна поверхности, трение параллельно ей. Произнесите эти две фразы перед тем, как рисовать стрелки.

Проверка за тридцать секунд

• Выбрано и отдельно нарисовано одно тело, оно названо.
• Вес от Земли направлен вертикально вниз.
• Для каждой поверхности показана одна нормальная реакция перпендикулярно ей.
• Трение параллельно каждой шероховатой поверхности и направлено против скольжения.
• Натяжение вдоль каждой верёвки тянет от тела.
• Приложенная сила направлена под углом из условия.
• Нет стрелок равнодействующей, центростремительной силы, скорости или ускорения как сил.
• Оси идут вдоль ускорения или поверхности.
• Для каждой оси записано одно уравнение второго закона, отрицательные направления имеют минус.

Практикуйте этот подход в теме Physics Zen о динамике. Законы Ньютона, трение и наклонные плоскости каждый раз дают новую ситуацию и проверяют уравнения сил. Затем примените тот же метод к круговому движению, где схема особенно нужна, чтобы правильно определить силу к центру.

Диаграмма сил не является формальностью перед настоящей работой. Она и есть настоящая работа. Нарисуйте её правильно, и физическая задача превратится в гораздо более простую задачу по алгебре.