Формулы броска под углом: задачи с земли, обрыва и стола

Шар бросают с земли со скоростью 20 м/с под углом 30 градусов к горизонту, и он падает примерно в 35 м. Тот же бросок с обрыва высотой 15 м даёт примерно 53 м. Многие получают для обрыва те же 35 м, потому что не проверяют условия короткой формулы дальности. Уравнения движения брошенного тела несложны. Главное выбрать те, что подходят именно этому броску.

Здесь мы зададим правила знаков, соберём уравнения и условия применения в таблицу, решим один и тот же бросок с земли и обрыва, а также горизонтальный вылет со стола. Во всех расчётах $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$, сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Разделите бросок на два движения

Начните с рисунка. Отметьте точку броска, землю и стрелку начальной скорости $v_0$ под углом $\theta$ над горизонтом. Совместите начало координат с точкой броска, направьте вверх положительно и вперёд положительно. Затем разложите начальную скорость:

$$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.$$

Теперь перед вами две одномерные задачи с общими часами. По горизонтали после отпускания шар ничего не толкает, поэтому $a_x=0$ и $v_x$ сохраняет значение $v_{0x}$. По вертикали тяжесть даёт постоянное ускорение $a_y=-g$. Раздел OpenStax о броске тела строится на независимости перпендикулярных движений без сопротивления воздуха. Программа AP Physics 1 говорит то же кратко: бросок двумерен, с нулевым ускорением в одном направлении и постоянным ненулевым в другом (описание курса и экзамена AP Physics 1 от College Board, тема 1.5).

Если разделять оси пока трудно, руководство по кинематике повторяет одномерные методы с постоянным ускорением, которые нужны для каждой оси.

Какое уравнение подходит в этом случае?

Четыре уравнения описывают любое движение брошенного тела в этой модели. Ещё три короткие формулы выводятся из них, и каждая имеет условие, которое легко забыть.

OpenStax прямо указывает оба ограничения: короткая формула времени полёта не подходит при другой высоте приземления, а формула дальности верна лишь при броске и падении на одной горизонтальной поверхности. Формула максимальной высоты подходит и для обрыва, поскольку описывает только подъём до вершины с $v_y=0$. Она даёт высоту над точкой броска, а не над землёй внизу.

Если исключить $t$ из первых двух строк, получится траектория, парабола:

$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

Дальше она даст независимую проверку расчёта с обрыва.

Пример 1: ровная земля, 20 м/с и 30 градусов

Сначала компоненты: $v_{0x}=20\cos 30^\circ=17.32\ \mathrm{m/s}$ и $v_{0y}=20\sin 30^\circ=10.0\ \mathrm{m/s}$.

Время полёта. Высота приземления совпадает с высотой броска, поэтому можно применить короткую формулу:

$$T=\frac{2(10.0)}{9.81}=2.04\ \mathrm{s}.$$

Проверьте иначе: шар достигает вершины при $v_y=0$ через $t=10.0/9.81=1.02\ \mathrm{s}$. На ровной земле спуск повторяет подъём, значит полное время вдвое больше, 2,04 с.

Максимальная высота.

$$H=\frac{(10.0)^2}{2(9.81)}=5.10\ \mathrm{m}.$$

Подстановка времени вершины в уравнение высоты тоже даёт $y=10.0(1.02)-4.905(1.02)^2=5.10\ \mathrm{m}$.

Дальность.

$$R=\frac{(20)^2\sin 60^\circ}{9.81}=35.3\ \mathrm{m}.$$

Без короткой формулы получаем $x=v_{0x}T=17.32\times 2.04=35.3\ \mathrm{m}$. Два способа совпадают, что полезно проверить до продолжения. Если в вашем курсе берут $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$, как в AP Physics 1 в Physics Zen, меняется лишь третья цифра: округлённые 2,04 с, 5,10 м и 35,3 м остаются прежними.

Пример 2: тот же бросок с обрыва 15 м

Теперь бросьте с прежними 20 м/с и 30 градусами с края обрыва, на 15 м выше ровной земли. Если нуль координат в точке броска, приземление происходит при $y=-15\ \mathrm{m}$. Короткая формула дальности больше не подходит: шар падает ниже точки броска. Используйте общее вертикальное уравнение:

$$-15=10.0\,t-4.905\,t^2.$$

После переноса $4.905t^2-10.0t-15=0$. Формула корней даёт

$$t=\frac{10.0\pm\sqrt{(10.0)^2+4(4.905)(15)}}{2(4.905)}=\frac{10.0\pm 19.86}{9.81},$$

поэтому $t=3.04\ \mathrm{s}$ или $t=-1.00\ \mathrm{s}$. Отрицательный корень относится к моменту до броска, когда шар на продолжении той же параболы проходил бы уровень земли при подъёме. Он допустим алгебраически, но не является физическим временем этой задачи. Отбросьте его. Проверьте положительный корень: $10.0(3.044)-4.905(3.044)^2=-15.0$. Выбор подходящего корня входит в разбор физических ошибок, которые на самом деле математические.

Дальность с обрыва.

$$x=17.32\times 3.044=52.7\ \mathrm{m}.$$

Вторая проверка по уравнению траектории: при $x=52.7\ \mathrm{m}$ имеем $y=52.7\tan 30^\circ-\dfrac{9.81(52.7)^2}{2(20)^2\cos^2 30^\circ}=30.4-45.4=-15.0\ \mathrm{m}$. Шар находится ровно на уровне нижней земли.

Ошибка короткой формулы. Если здесь применить $R=v_0^2\sin 2\theta/g$, получится 35,3 м, результат для земли на той же высоте. Настоящая дальность 52,7 м. Короткая формула недооценивает её на 17,4 м, примерно на 33 процента от настоящего расстояния, и сама не предупреждает. Максимальная высота по-прежнему 5,10 м над точкой броска, то есть 20,1 м над нижней землёй.

Скорость при ударе. При приземлении $v_y=10.0-9.81(3.044)=-19.86\ \mathrm{m/s}$, а $v_x$ остаётся 17,32 м/с. Поэтому

$$v=\sqrt{17.32^2+19.86^2}=26.3\ \mathrm{m/s},$$

направление равно $\arctan(19.86/17.32)=48.9^\circ$ ниже горизонтали. Энергия независимо подтверждает модуль: $v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{20^2+2(9.81)(15)}=26.3\ \mathrm{m/s}$. Почему это работает, объясняет руководство по работе и энергии.

Остаётся ли 45 градусов лучшим углом? Нет для обрыва. Сохраним 20 м/с и перепад 15 м и решим то же квадратное уравнение для разных углов:

Из этих углов лучший 37 градусов, а при 45 дальность даже меньше, чем при 30. Начало с высоты уже добавляет время полёта, поэтому более пологий бросок с большей горизонтальной скоростью выгоден.

Пример 3: шар вылетает со стола

Шар скатывается с края стола высотой 0,90 м со скоростью 3,0 м/с. Здесь $\theta=0$, значит $v_{0x}=3.0\ \mathrm{m/s}$ и $v_{0y}=0$. Высоты броска и приземления снова разные, поэтому подходят только общие уравнения.

Время падения. Так как $v_{0y}=0$, уравнение высоты принимает вид $-0.90=-4.905t^2$:

$$t=\sqrt{\frac{2(0.90)}{9.81}}=0.428\ \mathrm{s}.$$

Это то же время, что для шара, просто отпущенного вертикально с края. Горизонтальная скорость не задерживает падение.

Место падения. $x=3.0\times 0.428=1.29\ \mathrm{m}$ от основания стола. Страница LibreTexts о бросках так же рассматривает горизонтальный бросок с высоты со временем $\sqrt{2H/g}$.

Модуль скорости и угол при ударе. $v_y=-9.81(0.428)=-4.20\ \mathrm{m/s}$, поэтому

$$v=\sqrt{3.0^2+4.20^2}=5.16\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=\arctan\frac{4.20}{3.0}=54.5^\circ$$

ниже горизонтали. Энергия подтверждает: $\sqrt{3.0^2+2(9.81)(0.90)}=5.16\ \mathrm{m/s}$.

Две задачи с ответами для практики

1. Ровная земля. Шар бросают с земли при 15 м/с и 60 градусах. Найдите время полёта, максимальную высоту и дальность. Ответы: $v_{0y}=13.0\ \mathrm{m/s}$, $T=2.65\ \mathrm{s}$, $H=8.60\ \mathrm{m}$, $R=19.9\ \mathrm{m}$. Все три короткие формулы подходят. Проверьте дальность по $v_{0x}T=7.5\times 2.65$.

2. Горизонтальный бросок. Камень вылетает горизонтально со скоростью 12 м/с с выступа на 20 м выше воды. Сколько он пробудет в воздухе, как далеко упадёт и с какой скоростью ударит по воде? Ответы: $t=\sqrt{2(20)/9.81}=2.02\ \mathrm{s}$, $x=24.2\ \mathrm{m}$, $v=\sqrt{12^2+2(9.81)(20)}=23.2\ \mathrm{m/s}$ при направлении $58.8^\circ$ ниже горизонтали. Короткие формулы для одной высоты не подходят.

Практикуйте разложение по осям до автоматизма

Броски рано появляются в основных программах: AP Physics 1 включает их в первый раздел, а наш план подготовки к AP Physics 1 показывает место кинематики во всей подготовке. Метод не меняется между экзаменами, меняются лишь $g$ и числа.

Тема «Кинематика» в Physics Zen полностью бесплатна на iPhone и Android. В неё входит навык бросков с новыми скоростями, углами и высотами, мгновенной проверкой и подробным решением после ответа. Решите несколько задач и каждый раз спросите себя: шар падает на той же высоте, откуда был брошен? Если нет, не берите короткие формулы, найдите время из уравнения.