Работа и энергия без зубрёжки: как вести баланс движения

Второй закон Ньютона даёт ускорение в каждый момент. В большинстве задач столько информации не требуется. Отпустите шар с вершины изогнутой горки и спросите, как быстро он движется внизу. Второй закон потребует находить силу в каждой точке кривой. По мере изгиба горки её направление меняется, так что пришлось бы интегрировать вдоль всего пути.

Работа и энергия позволяют сократить путь решения. Ведите баланс с двумя колонками, движение и положение. Между любыми двумя моментами он сойдётся, если учесть то, что силы внесли и забрали по дороге. Не нужно находить ускорение: сравните запас наверху и внизу.

Это третья статья серии по механике после объяснения кинематики и законов Ньютона. Мы разберём, что считать работой, откуда берутся кинетическая и потенциальная энергия, почему сохранение похоже на бухгалтерский учёт, как учитывать трение, что измеряет мощность и когда использовать энергию вместо законов Ньютона.

Энергия как число для учёта, а не видимый предмет

Никто не видел энергию напрямую. Видно движущийся шар или шар на некоторой высоте. Физика присваивает этим состояниям числа так, чтобы определённая сумма сохранялась. Ради этого понятие энергии и нужно. В XIX веке физики заметили, что при правильном определении величин для движения и положения сумма в конце равна сумме в начале плюс или минус вклад внешних сил, каким бы сложным ни было промежуточное движение.

Считайте энергию состоянием счёта. Кинетическая энергия это запас в движении, потенциальная запас в положении. Работа является вкладом или снятием средств. Закон сохранения энергии подводит итог всем операциям.

Работа равна силе, умноженной на расстояние действия

Работа описывает действие силы, пока тело перемещается. Если сила толкает тело на расстояние $d$ в направлении толчка, её работа равна

$$W = F d$$

и измеряется в джоулях: один ньютон на протяжении одного метра. Если сила направлена не вдоль движения, учитывается только её составляющая вдоль перемещения:

$$W = F d \cos\theta$$

где $\theta$ угол между силой и перемещением. Три случая покрывают большую часть задач:

• Сила вдоль движения, $\theta = 0$. Она помогает движению, $\cos 0 = 1$, а работа положительна. Это вклад в запас.
• Сила против движения, $\theta = 180^\circ$. Она сопротивляется, $\cos 180^\circ = -1$, а работа отрицательна. Это расход. Трение скольжения всегда действует так.
• Сила перпендикулярна движению, $\theta = 90^\circ$. Работа равна нулю. Реакция ровного пола, натяжение нити при движении шара по окружности и сила тяжести на горизонтально движущемся теле не совершают работу, какими бы большими ни были.

Случай с перпендикулярной силой удивляет: кажется, что силу нужно учесть. Но по определению работа измеряет передачу энергии вдоль перемещения. Перпендикулярная сила меняет направление движения, но не энергию движения. Поэтому спутник на круговой орбите сохраняет одну скорость.

Работа является скаляром. У неё есть знак, но нет направления, поэтому баланс удобно вести обычным сложением положительных и отрицательных чисел.

Кинетическая энергия как видимый результат работы

Толкайте брусок массой $m$ из состояния покоя постоянной равнодействующей $F$ на расстояние $d$. Из закона Ньютона ускорение равно $a = F/m$, а из кинематики конечная скорость следует из $v^2 = 2ad$. Подставьте и упростите:

$$F d = \tfrac{1}{2} m v^2$$

Слева выполненная работа. Справа величина, которую теперь имеет брусок. Назовём её кинетической энергией:

$$K = \tfrac{1}{2} m v^2$$

Та же алгебра при ненулевой начальной скорости даёт теорему о работе и кинетической энергии:

$$W_{\text{net}} = \Delta K = \tfrac{1}{2} m v^2 - \tfrac{1}{2} m v_0^2$$

Так понятна роль кинетической энергии. Работа всех сил над телом, сложенная с их знаками, равна изменению кинетической энергии. Положительная суммарная работа увеличивает скорость, отрицательная уменьшает. При нулевой суммарной работе модуль скорости не меняется, какими бы сильными ни были отдельные силы.

Заметьте две вещи. Кинетическая энергия зависит от $v^2$: удвоение скорости увеличивает энергию вчетверо. Поэтому машине при 100 км/ч нужна вчетверо большая длина торможения, чем при 50 км/ч. Кроме того, кинетическая энергия не бывает отрицательной. Движение назад при том же модуле скорости даёт такую же энергию, как движение вперёд.

Потенциальная энергия как работа, которую можно вернуть

Поднимите книгу массой $m$ на высоту $h$ с постоянной скоростью. Вы выполните работу $mgh$ против тяжести, но кинетическая энергия книги в начале и конце одинакова. Куда делась работа?

Она сохранилась в положении. Отпустите книгу: при падении тяжесть совершит работу $mgh$, и к концу книга получит точно $\tfrac{1}{2} m v^2 = mgh$ кинетической энергии. Работа подъёма не исчезла, она запаслась как гравитационная потенциальная энергия:

$$U_g = m g h$$

В курсе AP используется $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$, в A-Level $9.81\,\mathrm{m/s^2}$. Берите число из условия.

Пружина даёт похожую упругую потенциальную энергию. Сожмите или растяните пружину жёсткости $k$ на расстояние $x$ от естественной длины. Запасённая энергия равна

$$U_s = \tfrac{1}{2} k x^2$$

Половина возникает потому, что во время сжатия сила пружины растёт от нуля до $kx$, а её среднее значение равно половине конечного.

Потенциальную энергию можно связать только с силами особого рода: их работа зависит от начальной и конечной точек, но не от пути. Так действуют тяжесть и пружина. Трение зависит от длины пути, поэтому у него нет потенциальной энергии и учитывать его нужно иначе. Такие силы называют консервативными; каждой можно выделить колонку баланса.

Есть полезная свобода: можно самим выбрать уровень $h = 0$. Важны только изменения потенциальной энергии, поэтому разместите нуль в нижней точке задачи, и все высоты станут положительными.

Сохранение: баланс сходится

Соберите колонки. Если работу совершают только консервативные силы, например тяжесть и пружина, полная механическая энергия не меняется:

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$$

Это уравнение позволяет не разбирать путь. Шар, спустившийся по изогнутой горке с высоты $h$, приходит вниз с $\tfrac{1}{2} m v^2 = m g h$, поэтому $v = \sqrt{2gh}$. Форма горки не участвует. Маятник, отпущенный с высоты $h$ над нижней точкой, достигнет её со скоростью $\sqrt{2gh}$ независимо от длины нити. Американские горки на вершине второго холма, ниже первого на $\Delta h$, имеют скорость $\sqrt{2 g \Delta h}$, если стартовали из покоя.

Масса часто сокращается. Это не случайность, а тот же факт об одинаковом ускорении свободного падения, рассмотренный через энергию.

Трение нарушает равенство предсказуемым образом. Трение скольжения совершает над телом отрицательную работу $-f d$, где $f$ сила трения, а $d$ фактическое расстояние скольжения. Добавьте расход в баланс:

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2 + f d$$

Член $f d$ показывает энергию, ушедшую из механического баланса в тепло. Она не исчезла из Вселенной, но более недоступна этой задаче. Брусок после спуска по шероховатому склону длиной $d$ имеет менее $mgh$ кинетической энергии. Недостающее равно $f d$, где $f = \mu N$ из раздела о трении в статье о Ньютоне.

Тот же член описывает брусок, скользящий по шероховатому полу до остановки. Вся кинетическая энергия перешла в $f d$, поэтому тормозной путь $d = \tfrac{1}{2} m v^2 / f = v^2 / (2 \mu g)$ совсем не зависит от массы.

Мощность показывает темп передачи

Работа сообщает, сколько энергии передано. Мощность сообщает, насколько быстро:

$$P = \frac{W}{t}$$

Единица ватт, равный джоулю в секунду. Лампа 60 Вт передаёт 60 джоулей каждую секунду, а чайник мощностью 1 кВт передаёт 1000 джоулей в секунду.

Для силы, толкающей тело с постоянной скоростью, полезна другая форма. Работа равна $F d$, а пройденный за время $t$ путь равен $v t$, поэтому

$$P = F v$$

Это уравнение часто встречается в задачах об автомобилях. При постоянной скорости равнодействующая на автомобиль нулевая, поэтому тяга двигателя равна общему сопротивлению, а мощность двигателя равна сопротивлению, умноженному на скорость. Удвойте скорость на шоссе: сопротивление воздуха примерно пропорционально $v^2$, а требуемая мощность примерно $v^3$.

Ловушка с единицами: киловатт-час измеряет энергию, не мощность. Это 1000 Вт за 3600 с, или $3.6 \times 10^6$ джоулей. В счёте за электричество указывают энергию; число на чайнике означает мощность.

Когда применять энергию, а когда Ньютона

Два метода отвечают на разные вопросы. Неверный выбор часто впустую тратит время при решении механики.

Используйте энергию, когда:

• Известны состояния в двух точках и нужно найти скорость или высоту в одной из них.
• Путь изогнут либо сила меняет направление вдоль него.
• Время, ускорение и сила не спрашиваются.
• Единственная неконсервативная сила это трение на известном расстоянии.

Используйте законы Ньютона, когда:

• Нужно найти силу, натяжение, нормальную реакцию или ускорение.
• Нужно время, которого нет в уравнении энергии.
• Неконсервативная сила меняется вдоль пути, и её работу нельзя записать как $f d$.
• Движение идёт по окружности и требуется условие центростремительной силы.

Многие задачи используют оба подхода. Энергия даёт скорость в нижней точке петли, а закон Ньютона помогает найти там нормальную реакцию. Переход возможен в обе стороны. Важно понять, какую величину на самом деле спрашивают.

Для чего нужны работа и энергия

Кинематика описывает движение, законы Ньютона объясняют его. Работа и энергия позволяют сразу сравнить начало и конец, не прослеживая каждый промежуточный шаг. Цена такого сокращения в потере информации: энергия не скажет, сколько длилось движение и какая сила действовала в конкретный момент. Выигрыш в том, что форма пути становится неважной, хотя именно она осложняла решение по Ньютону.

Вся дальнейшая механика пользуется тем же балансом. Импульс является вторым сохраняющимся счётом. При простом гармоническом движении энергия переходит между кинетической колонкой и пружиной. Термодинамика ведёт похожий учёт, добавляя отдельную колонку для тепла.

Чтобы навык закрепился, применяйте цикл из руководства по эффективному изучению физики: выберите два момента, запишите баланс, учтите работу каждой неконсервативной силы, решите и проверьте единицы и пределы. В теме Physics Zen «Работа и энергия» новые числа используются для задач о работе силы под углом, кинетической и потенциальной энергии, сохранении с трением и без него. Мощность изучается в последнем навыке с Premium. Так запомнится баланс, а не конкретный ответ.