Удельная теплоёмкость: разобранные примеры с Q = mcΔT

Две чашки могут получить одинаковую энергию и нагреться по-разному. Небольшая чашка воды нагреется сильнее большой; медный предмет и такая же масса воды поведут себя по-разному. Удельная теплоёмкость отражает роль материала в этом сравнении. Уравнение $Q=mc\Delta T$ короткое, однако ошибки часто возникают из-за смешения теплоты и температуры, подстановки граммов в величину на килограмм или забытого отрицательного изменения температуры при охлаждении.

Разберём нагревание, поиск неизвестной массы и конечной температуры, охлаждение и смешивание в изолированной системе. Таблица ошибок с единицами и проверка энергетического баланса помогут применять примеры снова. Значения для воды, меди и алюминия взяты из таблицы удельной теплоёмкости OpenStax. Это типичные значения для учебных расчётов, а не точные постоянные при любой температуре.

Теплота, температура и теплоёмкость различаются

Температура характеризует тепловое состояние материала. Передача теплоты $Q$ означает энергию, пересекающую границу из-за разности температур; её измеряют в джоулях. Горячий предмет не «содержит теплоту» как запасённое вещество. У него есть внутренняя энергия, а через теплообмен энергия может поступать к нему или уходить. Наше руководство по работе и энергии вводит более общий энергетический баланс, в котором это различие полезно.

Удельная теплоёмкость $c$ относится к материалу и фазе. В единицах СИ это энергия на килограмм и на кельвин: $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$. В начальных задачах для жидкой воды часто берут $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$, для меди $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$, а для алюминия $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Эти числа показывают, сколько энергии нужно килограмму для повышения температуры на один кельвин, если вещество остаётся в той же фазе. Само $c$ может меняться с температурой, поэтому в наших вычислениях считаем его приблизительно постоянным на указанном интервале.

Теплоёмкость конкретного тела равна $C=mc$, её единица $\mathrm{J/K}$. Если удвоить массу того же вещества, $C$ удвоится, а $c$ останется прежней. Для образца воды массой $0.250\ \mathrm{kg}$ имеем $C=0.250(4186)=1046.5\ \mathrm{J/K}$. В этой модели ему требуется около $1047\ \mathrm{J}$ на каждый подъём на один кельвин. Разделение $c$ и $C$ предупреждает частую ошибку в задачах с несколькими телами.

Применяйте Q = mcΔT с согласованными единицами

Записывайте изменение температуры как конечная минус начальная:

$$Q=mc\Delta T,\qquad \Delta T=T_f-T_i.$$

Здесь $m$ обозначает массу, а $Q$ энергию, переданную телу. Положительное $\Delta T$ даёт положительное $Q$ при нагревании; отрицательное $\Delta T$ даёт отрицательное $Q$ при охлаждении. Уравнение описывает нагревание или охлаждение без фазового перехода, когда $c$ можно считать постоянным.

Если $c$ дано в $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$, массу подставляйте в килограммах, а разность температур в кельвинах. Разность в градусах Цельсия численно та же: от $20^\circ\mathrm{C}$ до $60^\circ\mathrm{C}$ изменение составляет $40^\circ\mathrm{C}=40\ \mathrm{K}$. Не прибавляйте 273,15 к разности температур. Можно использовать и $\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$ с разностью в градусах Цельсия, но нельзя сочетать массу в граммах с удельной теплоёмкостью на килограмм.

Проверяйте по таблице величины и единицы до подстановки. Каждая строка связывает физическое прочтение условия с тем, что принимает формула. Если ответ выглядит невероятным, сначала ищите ошибку в этих преобразованиях, а уже потом меняйте физическую модель. Общий принцип описан в статье об ошибках по физике, которые на самом деле математические.

Пример 1: энергия для нагревания воды

Нагрейте $0.250\ \mathrm{kg}$ жидкой воды от $20^\circ\mathrm{C}$ до $60^\circ\mathrm{C}$. Возьмите $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Вода остаётся жидкой, а энергией, полученной сосудом и комнатой, пренебрегаем. Изменение $\Delta T=60-20=40\ \mathrm{K}$. Тогда:

$$Q=(0.250)(4186)(40)=41{,}860\ \mathrm{J}=41.86\ \mathrm{kJ}.$$

Проверьте без повторения всего умножения: теплоёмкость образца равна $1046.5\ \mathrm{J/K}$, следовательно, для роста на $40\ \mathrm{K}$ нужно $40(1046.5)=41{,}860\ \mathrm{J}$. Единицы тоже согласованы: $\mathrm{kg}\times\mathrm{J/(kg\cdot K)}\times\mathrm{K}=\mathrm{J}$. Положительный знак соответствует поступлению энергии в воду.

Если нагреватель отдаёт больше, разница может уйти в сосуд и окружающий воздух. $Q=mc\Delta T$ даёт энергию, полученную водой, а не обязательно электрическую энергию, взятую из розетки.

Пример 2: найдите массу или изменение температуры

Пусть $12{,}558\ \mathrm{J}$ переданы жидкой воде, температура которой выросла на $20\ \mathrm{K}$. Сначала выразите неизвестное:

$$m=\frac{Q}{c\Delta T} =\frac{12{,}558}{4186(20)} =0.150\ \mathrm{kg}.$$

Это $150\ \mathrm{g}$. Обратная подстановка даёт $0.150(4186)(20)=12{,}558\ \mathrm{J}$. Если бы вышло $150\ \mathrm{kg}$, первым делом стоило бы проверить перевод граммов в килограммы.

Для другого неизвестного передайте $0.500\ \mathrm{kg}$ алюминия энергию $9000\ \mathrm{J}$. При $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ повышение температуры составит:

$$\Delta T=\frac{Q}{mc}= \frac{9000}{0.500(900)}=20\ \mathrm{K}.$$

Если сначала было $20^\circ\mathrm{C}$, конечная температура равна $40^\circ\mathrm{C}$. Повышение равно $20\ \mathrm{K}$, а начальная и конечная температуры названы в градусах Цельсия. Это согласуется: шаги шкал Кельвина и Цельсия одинаковы, но их нулевые точки различаются.

Пример 3: охлаждение и отрицательное Q

Медная деталь массой $0.200\ \mathrm{kg}$ охлаждается от $80^\circ\mathrm{C}$ до $30^\circ\mathrm{C}$. При $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ имеем $\Delta T=30-80=-50\ \mathrm{K}$:

$$Q_{Cu}=(0.200)(387)(-50)=-3870\ \mathrm{J}.$$

Минус означает, что энергия ушла из меди по нашему соглашению «в тело». Модуль выделенной энергии равен $3870\ \mathrm{J}$. Нельзя говорить, что медь «содержит отрицательную теплоту». Если в изолированной системе всё это получает другое тело, его $Q$ будет положительным: $3870\ \mathrm{J}$. В открытой системе часть энергии может перейти в окружение; без дополнительных сведений нельзя приписывать весь модуль одному получателю.

Порядок величины верен: теплоёмкость детали $0.200(387)=77.4\ \mathrm{J/K}$. Умножьте на падение температуры $50\ \mathrm{K}$ и получите $3870\ \mathrm{J}$, со знаком минус для уходящей энергии.

Пример 4: смешайте горячую медь и прохладную воду

Поместите $0.200\ \mathrm{kg}$ меди с начальной температурой $90^\circ\mathrm{C}$ в $0.300\ \mathrm{kg}$ жидкой воды с начальной температурой $20^\circ\mathrm{C}$. Представьте изолированный сосуд с пренебрежимо малой теплоёмкостью и без фазовых переходов. Оба тела достигнут общей конечной температуры $T_f$. Энергия, потерянная медью, равна энергии, полученной водой:

$$Q_{Cu}+Q_w=0,$$ $$(0.200)(387)(T_f-90) +(0.300)(4186)(T_f-20)=0.$$

Теплоёмкости составляют $77.4\ \mathrm{J/K}$ для меди и $1255.8\ \mathrm{J/K}$ для воды. После преобразования:

$$T_f=\frac{77.4(90)+1255.8(20)}{77.4+1255.8} =24.06^\circ\mathrm{C}.$$

Ответ лежит между $20^\circ\mathrm{C}$ и $90^\circ\mathrm{C}$, ближе к начальной температуре воды, поскольку теплоёмкость её образца значительно выше. Ответ выше $90^\circ\mathrm{C}$ или ниже $20^\circ\mathrm{C}$ противоречил бы предположению об отсутствии внешней энергии.

Проверьте баланс с неокруглённым ответом: у меди $Q_{Cu}=77.4(24.0639-90)=-5103.45\ \mathrm{J}$, у воды $Q_w=1255.8(24.0639-20)=+5103.45\ \mathrm{J}$. Сумма равна нулю с точностью до округления. Раздел OpenStax о калориметрии использует тот же баланс потерь и поступлений. Реальный сосуд тоже поглощал бы энергию, поэтому в более подробном балансе нужна его теплоёмкость.

Когда это уравнение не подходит

Формула предполагает изменение температуры без смены фазы. При плавлении или кипении энергия может поступать, пока температура во время перехода остаётся почти постоянной. Подставить $\Delta T=0$ в $mc\Delta T$ и заключить, что энергия не потребовалась, означает выбрать неверную модель. Разделите многоэтапную задачу на части с изменением температуры через $mc\Delta T$ и части с фазовым переходом через $mL$, используя указанную скрытую теплоту. OpenStax рассматривает фазовые переходы отдельно.

Удельная теплоёмкость также не совершенно постоянна при любой температуре и в любой фазе, а открытая система не удерживает всю переданную энергию в названном образце. В учебном упражнении обычно указывают $c$ и потери, которыми можно пренебречь. Запишите эти допущения рядом с уравнением. Для эксперимента или настоящего устройства учитывайте сосуд, окружение и температурную зависимость через измерения или модель, а не навязывайте им одно табличное число.

В новой задаче запишите тело, его массу в килограммах, материал и фазу, $c$ с единицами и $T_f-T_i$. Определите, входит ли $Q$ в это тело или выходит. При смешивании запишите отдельное $Q$ со знаком для каждого тела и приравнивайте их сумму к нулю только для системы, принятой изолированной. Тема «Теплота и температура» в Physics Zen позволяет отработать схему на новых числах с разобранными решениями. Проверка единиц и энергетического баланса должна стать частью расчёта, а не запоздалой мыслью.