Формула тонкой линзы: расчёты действительного и мнимого изображения

Поставьте предмет перед собирающей линзой и постепенно приближайте к стеклу. В некоторых положениях на экране с другой стороны видно резкое изображение. Переместите предмет ближе фокусного расстояния, и экран перестанет его ловить. Но через линзу предмет может выглядеть увеличенным. Формула тонкой линзы описывает оба случая, если знаки указывают, с какой стороны лучи реально встречаются или кажутся встречающимися.

Арифметика короткая. Большинство ошибок возникает раньше: нет рисунка, мнимому изображению приписано положительное расстояние или знак увеличения приняли за размер. Используем одно явно заданное правило знаков от начала до конца и проверим каждый ответ лучевой схемой.

Нарисуйте линзу до выбора знаков

Нарисуйте горизонтальную главную оптическую ось и вертикальную линию линзы. Предмет поместите слева. Во всех следующих случаях свет идёт слева направо. Отметьте фокусы с обеих сторон на расстоянии $|f|$ от линзы. Схема даст место для изображения после расчёта.

Для собирающей линзы луч от вершины предмета, идущий параллельно оси, выходит в направлении дальнего фокуса. Луч через центр линзы в модели тонкой линзы идёт примерно прямо. Пересечение выходящих лучей создаёт действительное изображение. Если выходящие лучи расходятся, продолжите их назад пунктиром. Пересечение продолжений есть мнимое изображение: настоящие выходящие лучи там не собираются. Рассеивающая линза разводит параллельный входящий луч так, словно тот вышел из ближнего фокуса.

Это идеализированные лучи. Линза имеет толщину, а настоящее изображение может отличаться от приближения тонкой линзы и параксиальных лучей. Формулы и схемы здесь предполагают лучи близко к главной оси и небольшие углы. Раздел OpenStax о тонких линзах даёт формулу, построение лучей и используемое соглашение.

Уравнение и одно правило знаков

Обозначим расстояние предмета от линзы $d_o$, расстояние изображения $d_i$ и фокусное расстояние $f$. Тогда

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.$$

Все три расстояния должны быть в одних единицах. Подойдут сантиметры, если в них все числа, или метры, если все в метрах. Ответ получит ту же единицу. Для нахождения расстояния изображения преобразуйте формулу до подстановки:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}, \qquad d_i=\frac{fd_o}{d_o-f}.$$

Для обычного действительного предмета со стороны падающего света используем соглашение действительное положительно:

В некоторых курсах используют декартовы координаты с иными знаками положения. Не смешивайте правила в одном расчёте. Если курс пишет другую форму уравнения, последовательно следуйте его определениям. Физические вопросы не меняются: куда идут лучи, где встречаются, как ориентировано изображение?

Расчёт: действительное изображение собирающей линзы

Поставьте предмет на $30\ \mathrm{cm}$ перед собирающей линзой с $f=+10\ \mathrm{cm}$. Предмет дальше одного фокусного расстояния, поэтому действительное изображение на другой стороне возможно. Подставьте $d_o=+30\ \mathrm{cm}$:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30} =\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Получаем $d_i=+15\ \mathrm{cm}$. Плюс помещает изображение с другой стороны линзы. Обратная подстановка: $1/10=1/30+1/15$. На рисунке параллельный луч преломляется к дальнему фокусу и там пересекается с центральным. Изображение действительное, поэтому идеальный экран в этой плоскости может перехватить сходящиеся лучи.

Изображение меньше предмета и перевёрнуто. Вместо догадки рассчитайте увеличение.

Увеличение: отделите ориентацию от размера

При том же соглашении поперечное увеличение со знаком равно

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},$$

где $h_o$ и $h_i$ высоты предмета и изображения относительно главной оси. Отрицательное $m$ означает перевёрнутое, а положительное $m$ прямое изображение. Модуль $|m|$ показывает отношение высот. Это не длина и единиц нет.

Для первой линзы $m=-15/30=-0.50$. Предмет высотой $4.0\ \mathrm{cm}$ даст $h_i=(-0.50)(4.0)=-2.0\ \mathrm{cm}$. Минус означает, что вершина ниже оси, модуль высоты равен $2.0\ \mathrm{cm}$. Не называйте отрицательную высоту физически отрицательным размером.

Расчёт: увеличенное мнимое изображение

Оставьте собирающую линзу с $f=+12\ \mathrm{cm}$, но поместите предмет на расстоянии $8.0\ \mathrm{cm}$. Поскольку $d_o<f$, выходящие лучи расходятся. Их продолжения назад встречаются со стороны предмета. До расчёта ожидайте $d_i<0$:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{12}-\frac{1}{8} =-\frac{1}{24}\ \mathrm{cm^{-1}}, \qquad d_i=-24\ \mathrm{cm}.$$

Мнимое изображение находится на $24\ \mathrm{cm}$ от линзы со стороны предмета. Увеличение:

$$m=-\frac{-24}{8.0}=+3.0.$$

В идеальной модели изображение прямое и втрое выше предмета. Никакой экран в точке мнимого изображения не перехватит там пучок лучей, создающих его: положение найдено продолжением выходящих лучей назад. В этом разница между тем, чтобы видеть мнимое изображение, и тем, чтобы проецировать действительное на экран.

Расчёт: рассеивающая линза

Теперь возьмите рассеивающую линзу с $f=-15\ \mathrm{cm}$. Настоящий предмет расположен на $30\ \mathrm{cm}$ перед ней. Отрицательный фокус важен: $+15\ \mathrm{cm}$ означал бы другую линзу.

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-15}-\frac{1}{30} =-\frac{3}{30}=-\frac{1}{10}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Значит $d_i=-10\ \mathrm{cm}$, мнимое изображение со стороны предмета. Увеличение $m=-(-10)/30=+1/3$: изображение прямое, его высота составляет треть высоты предмета. На рисунке выходящие лучи расходятся, а их продолжения назад пересекаются между линзой и ближним фокусом. Сверьте уравнение со знаками: $-1/15=1/30-1/10$.

Для реального предмета и простой рассеивающей линзы в этой модели обычно получается прямое уменьшенное мнимое изображение. Расчёт показывает результат для одной пары расстояний, а отрицательное $f$ определяет его характер.

Что происходит в фокальной плоскости?

В преобразованной формуле $d_i=fd_o/(d_o-f)$ знаменатель стремится к нулю, когда действительный предмет приближается к фокусу собирающей линзы. Снаружи от $f$ расстояние $d_i$ растёт как положительное число, внутри как отрицательное по модулю. Точно при $d_o=f$ получаем $1/d_i=0$: в идеальной модели выходящие лучи параллельны и конечного расстояния до изображения нет.

Не подставляйте $d_o=f$ в дробь, объявляя ошибку деления на нуль физическим результатом. Нарисуйте параллельные лучи и скажите, что изображение в идеальной модели находится на бесконечности.

Три задачи для решения и проверки

1. Действительное изображение и высота. Собирающая линза имеет $f=+20\ \mathrm{cm}$. Действительный предмет высотой $3.0\ \mathrm{cm}$ стоит на $60\ \mathrm{cm}$. Найдите расстояние и высоту изображения. Расчёт: $1/d_i=1/20-1/60=1/30\ \mathrm{cm^{-1}}$, поэтому $d_i=+30\ \mathrm{cm}$. Далее $m=-30/60=-0.50$ и $h_i=-1.5\ \mathrm{cm}$. Действительное изображение перевёрнуто и вдвое ниже.

2. Внутри фокусного расстояния. Собирающая линза имеет $f=+9.0\ \mathrm{cm}$, а действительный предмет расположен при $d_o=+6.0\ \mathrm{cm}$. Найдите изображение и увеличение. Расчёт: $1/d_i=1/9-1/6=-1/18\ \mathrm{cm^{-1}}$, значит $d_i=-18\ \mathrm{cm}$. Затем $m=-(-18)/6.0=+3.0$. Изображение мнимое, прямое, увеличенное.

3. Рассеивающая линза. Действительный предмет стоит на $24\ \mathrm{cm}$ от линзы с $f=-12\ \mathrm{cm}$. Найдите расстояние и тип изображения. Расчёт: $1/d_i=-1/12-1/24=-1/8\ \mathrm{cm^{-1}}$, поэтому $d_i=-8.0\ \mathrm{cm}$. Знак указывает на сторону предмета, значит изображение мнимое. Также $m=-(-8)/24=+1/3$, значит прямое и уменьшенное.

Работа линз начинается с изменения направления света. Наше руководство по закону Снеллиуса объясняет преломление на одной границе. Для практики расчётов линз и типов изображений откройте тему Physics Zen об оптике. Руководства по A-Level Physics, Abitur Physik и Bac physique помещают оптику в более широкий план подготовки.