Dopplereffektens formel: tecken och lösta ljudexempel

En tuta ljuder med en bestämd frekvens. När fordonet närmar sig hör du en högre ton; när det har passerat hör du en lägre. Källan har inte ställt om tutan. Rörelsen har ändrat hur ofta vågfronterna når dig. Formeln för dopplereffekten sätter ett tal på förändringen, men dess två tecken är lätta att blanda ihop om du bara lär dig ett mönster med plus i täljaren och minus i nämnaren.

Vi använder ljud som färdas genom stilla luft, med källa och lyssnare i rörelse längs linjen mellan dem. En tabell visar hur tecknen väljs. Sedan räknar vi på samma utsända ton två gånger: först med källan i rörelse och sedan med lyssnaren i rörelse med samma hastighet. I det sista fallet rör sig båda. Jämförelsen är användbar eftersom ljud har ett medium: de två första fallen liknar varandra men är inte matematiskt identiska.

Ange källa, lyssnare och medium först

Kalla den utsända frekvensen $f_s$ och frekvensen som lyssnaren hör $f_o$. Låt $v$ vara ljudhastigheten relativt luften, $v_s$ källans hastighet relativt luften och $v_o$ lyssnarens hastighet relativt luften. Alla tre hastigheterna måste ha samma enhet, vanligtvis meter per sekund. I exemplen använder vi $v=340\ \mathrm{m/s}$ som ett givet värde i uppgiften, inte som en universell ljudhastighet för alla luftförhållanden.

Skillnaden mellan källa och lyssnare är fysisk. En källa i rörelse sänder ut nästa vågtopp från en ny plats. Framför den ligger vågtopparna närmare varandra, så våglängden i luften blir kortare. En lyssnare i rörelse ändrar inte våglängden utan passerar de befintliga vågtopparna oftare eller mer sällan. OpenStax härleder båda fallen ur dessa två iakttagelser.

Rita en pil från källan till lyssnaren innan du sätter in värden. Markera åt vilket håll varje föremål rör sig längs pilen. Om en bil rör sig tvärs över ditt synfält kan du inte bara sätta in hela dess hastighet i den här endimensionella formeln. Vid en sned bana är det hastigheternas komponenter längs siktlinjen i det ögonblicket som är relevanta. Använd den geometri och teckenkonvention som din kurs anger i en introduktionsuppgift.

Ljudformeln och en tabell för teckenval

För rörelse längs en linje i stilla luft skriver vi

$$f_o=f_s\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}.$$

De parade symbolerna är en förkortning, inte en uppmaning att välja båda övre tecknen samtidigt. Välj täljaren efter lyssnarens rörelse och nämnaren efter källans rörelse, oberoende av varandra:

Sätt hastigheten för ett stillastående föremål till noll. Om båda rör sig mot varandra höjer båda valen resultatet: $f_o=f_s(v+v_o)/(v-v_s)$. Om de rör sig isär sänker båda valen det: $f_o=f_s(v-v_o)/(v+v_s)$. Riktningen kan bytas när ett föremål passerar lyssnaren, så använd inte tecknet för närmande efter passagen.

En snabb gränskontroll fångar de värsta teckenfelen: sätt $v_s=v_o=0$. Formeln ska då ge $f_o=f_s$. Närmande ska ge ett värde över den utsända frekvensen, och rörelse isär ett värde under den. Om svaret bryter mot någon av kontrollerna ska du gå tillbaka till bilden före uträkningen. Vid långsammare rörelse är förskjutningarna måttliga. En faktor tio tyder oftast på blandade enheter eller fel tecken i nämnaren.

Exempel 1: källan rör sig mot en stilla lyssnare

En tuta sänder ut $f_s=680\ \mathrm{Hz}$. Ett fordon för den mot en stillastående lyssnare med $v_s=34\ \mathrm{m/s}$. Använd $v=340\ \mathrm{m/s}$. Lyssnaren står stilla, alltså är $v_o=0$. Källan närmar sig, så dess hastighet subtraheras i nämnaren:

$$f_o=680\frac{340}{340-34} =680\frac{340}{306} =755.6\ \mathrm{Hz}.$$

Det är ungefär $75.6\ \mathrm{Hz}$ över den utsända tonen. Kontrollera faktorn: $340/306=1.111\ldots$ är större än ett, som den måste vara när källan närmar sig. Hastigheternas enheter tar ut varandra; hertz återstår. Resultatet är en ideal ögonblicklig frekvens för den enkla situationen med jämn rörelse, inte en förutsägelse om ljudstyrka.

Vad händer om samma fordon har passerat och rör sig bort med samma hastighet? Då ändras bara tecknet i nämnaren:

$$f_o=680\frac{340}{340+34} =618.2\ \mathrm{Hz}.$$

Frekvenserna vid närmande och avlägsnande ligger inte exakt lika långt över respektive under $680\ \mathrm{Hz}$. Nämnarna är $306$ och $374$, inte lika stora omvända förändringar. Subtrahera inte frekvensökningen vid närmande från källfrekvensen för att gissa tonen efter passagen.

Våglängdsförklaringen går också att räkna på. Tiden mellan utsända vågtoppar är $1/680\ \mathrm{s}$. Under den tiden flyttar sig källan $34/680=0.050\ \mathrm{m}$; en vågfront färdas $340/680=0.500\ \mathrm{m}$ genom luften. Framför den rörliga källan är avståndet mellan två vågtoppar $0.500-0.050=0.450\ \mathrm{m}$. En stilla lyssnare tar emot dem med $340/0.450=755.6\ \mathrm{Hz}$, samma svar på ett annat sätt.

Exempel 2: flytta lyssnaren i stället

Låt tutan stå stilla i luften och fortsätta sända ut $680\ \mathrm{Hz}$. Nu närmar sig lyssnaren med $v_o=34\ \mathrm{m/s}$. Våglängden i luften förblir $v/f_s=340/680=0.500\ \mathrm{m}$. Lyssnaren möter vågtopparna med den relativa hastigheten $340+34=374\ \mathrm{m/s}$:

$$f_o=680\frac{340+34}{340} =748.0\ \mathrm{Hz}.$$

Jämför $748.0\ \mathrm{Hz}$ med $755.6\ \mathrm{Hz}$ i exempel 1. Båda är högre än $680\ \mathrm{Hz}$, men den rörliga källan ger en något större förskjutning vid denna hastighet. Att ersätta båda föremålen med en enda allmän ”relativ hastighet” skulle dölja skillnaden för ljud i ett medium. Källan ändrar våglängden; lyssnaren ändrar hur snabbt den passerar vågtopparna.

Om lyssnaren i stället rör sig bort använder du $v-v_o$ i täljaren: $680(340-34)/340=612.0\ \mathrm{Hz}$. Det är lägre än resultatet för en källa som rör sig bort, $618.2\ \mathrm{Hz}$. Jämförelsen med samma hastighet gäller på båda sidor om passagen.

Tabellen har räknats fram för den här guiden och fungerar som en kontroll. I varje kolumn är utsänd ton, ljudhastighet och det rörliga föremålets hastighet desamma. Bara vilket föremål som rör sig ändras. Det är ett bra självtest efter varje dopplerberäkning.

Exempel 3: båda rör sig mot varandra

Använd samma tuta på $680\ \mathrm{Hz}$ och ljudhastigheten $340\ \mathrm{m/s}$. Den här gången rör sig källan mot lyssnaren med $20\ \mathrm{m/s}$, medan lyssnaren rör sig mot källan med $10\ \mathrm{m/s}$. Båda valen måste höja den observerade frekvensen. Lyssnarens hastighet adderas i täljaren; källans subtraheras i nämnaren:

$$f_o=680\frac{340+10}{340-20} =680\frac{350}{320} =743.75\ \mathrm{Hz}.$$

Faktorn $350/320=1.09375$ är större än ett. Kontrollera även genom att ta bort lyssnarens rörelse: $680(340/320)=722.5\ \mathrm{Hz}$. När en lyssnare som närmar sig läggs till stiger frekvensen till $743.75\ \mathrm{Hz}$, precis som bilden förutspår. Om lyssnaren i stället rörde sig bort med $10\ \mathrm{m/s}$ samtidigt som källan närmade sig skulle effekterna motverka varandra: $680(330/320)=701.25\ \mathrm{Hz}$. Välj de två tecknen var för sig i stället för att kalla hela situationen ”närmande”.

Gränser som ger svaret mening

Det här är exempel på klassiskt ljud. Hastigheterna är relativa till ett bestämt medium, här stilla luft, och den endimensionella formeln använder rörelsen längs ljudets väg. Vind ändrar hastigheterna relativt luften; en bana i sidled kräver komponenter. Vi låter källan hålla sig under ljudhastigheten. När en närmande källa kommer nära $v_s=v$ går nämnaren mot noll. Det visar att bilden av åtskilda vågfronter bakom formeln slutar gälla; det betyder inte att en lyssnare hör en oändlig frekvens. Ljudbangar och stötfronter kräver en annan modell.

Ljus uppvisar också dopplerförskjutning men färdas i vakuum utan ett luftliknande medium. Sätt inte in ljushastigheten i ljudformeln och använd oberoende hastigheter för källa och lyssnare relativt en tänkt stillastående luft. OpenStax kapitel om ljus ger den relativistiska relationen uttryckt med relativ rörelse. Den fysiska idén att närmande höjer frekvensen gäller fortfarande, men beräkningen ändras.

Vid en ny ljuduppgift: skriv upp $f_s$, $v$, $v_s$ och $v_o$ med enheter, skissa rörelsen och använd teckentabellen. Kontrollera svaret mot närmande eller rörelse isär och gränsen vid noll hastighet. Om det svåra är att bestämma riktningarna ger guiden till kinematik ett sätt att hålla ordning på hastigheternas tecken. Området Vågor och ljud i Physics Zen innehåller dopplerövningar med nya tal, direkt rättning och genomgångna lösningar. En tydlig skiss och två kontroller hjälper mer än en inlärd teckenrad.