Förstå harmonisk svängning intuitivt: varför rörelsen upprepas

Dra en massa bort från en fjäders jämviktsläge och släpp den. Fjädern drar tillbaka massan, men den stannar inte i mitten. Den kommer dit med fart, passerar igenom, trycker ihop fjädern och knuffas tillbaka igen.

Det här återkommande utbytet är harmonisk svängning, ofta kallad SHM. Sinus- och cosinusekvationer beskriver den, men är inte idéns utgångspunkt. Utgångspunkten är en kraft som alltid pekar hemåt och växer i direkt proportion till hur långt föremålet har avvikit.

Jämviktsläget är rörelsens mitt

Jämviktsläget är platsen där den resulterande kraften är noll. För en ideal vågrät fjäder kallar vi läget $x = 0$. Sträckning åt höger ger positiv förskjutning, hoptryckning åt vänster negativ.

Hookes lag är

$$F = -kx$$

Fjäderkonstanten $k$ anger styvheten. Minustecknet säger att kraften pekar motsatt förskjutningen. Är massan till höger om jämviktsläget pekar kraften åt vänster. Är den till vänster pekar kraften åt höger.

Newtons andra lag ger sedan

$$a = -\frac{k}{m}x$$

Sambandet definierar mönstret. Accelerationen är proportionell mot förskjutningen och riktad mot jämviktsläget. Vår guide till Newtons lagar ger ramverket för krafterna; harmonisk svängning är vad ramverket förutsäger för en linjär återförande kraft.

OpenStax University Physics härleder samma samband ur Hookes lag och använder det för att hitta perioden för en massa på en fjäder. Härledningen visar exakt var den ideala modellen börjar.

Inte varje upprepad rörelse är harmonisk. En studsande boll upprepar sin rörelse men har inte en acceleration proportionell mot förskjutningen från ett jämviktsläge i mitten. En verklig oscillator kan också avvika när den återförande kraften blir olinjär eller dämpningen är stark.

Varför massan passerar jämviktsläget

I vändläget till höger är förskjutningen $+A$, där $A$ är amplituden. Fjäderkraft och acceleration pekar åt vänster och massan står stilla ett ögonblick.

När den rör sig mot mitten ökar farten. I jämviktsläget är fjäderkraft och acceleration noll, men farten är störst. Noll kraft i ett ögonblick betyder inte noll hastighet. Massan har tröghet och passerar mitten.

På andra sidan blir förskjutningen negativ. Den återförande kraften pekar nu åt höger och bromsar massan tills den stannar vid $-A$. Sedan går förloppet åt andra hållet.

Det ger en användbar karta:

• Vid $x = \pm A$: farten är noll och accelerationens storlek som störst.
• Vid $x = 0$: farten är störst och accelerationen noll.
• Däremellan: förskjutning, hastighet och acceleration ändras alla kontinuerligt.

Accelerationen är inte alltid motsatt hastigheten. När massan färdas mot jämviktsläget pekar acceleration och hastighet åt samma håll, så farten ökar. Efter passagen pekar de åt olika håll, så farten minskar.

Cosinusekvationen är cykelns klocka

Om oscillatorn börjar med största positiva förskjutning och släpps från vila kan läget skrivas

$$x(t) = A\cos(\omega t)$$

Vinkelfrekvensen $\omega$ anger hur snabbt oscillatorn går genom sin cykel. Ett mer allmänt startvillkor kräver en faskonstant:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

Fasen $\phi$ väljer var i cykeln klockan visar noll. Den ändrar inte amplituden eller upprepningstakten.

Derivera läget så får du hastighet och acceleration:

$$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$$ $$a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2x(t)$$

Den sista likheten återvänder till grundidén: accelerationen är proportionell mot förskjutningen och pekar åt andra hållet.

De största beloppen följer direkt:

$$v_{\max} = A\omega$$ $$a_{\max} = A\omega^2$$

Läge, hastighet och acceleration är inte tre skilda rörelser. De är tre perspektiv på samma cykel, förskjutna relativt varandra.

Period, frekvens och vinkelfrekvens

Perioden $T$ är tiden för en fullständig svängning. Frekvensen $f$ räknar svängningar per sekund:

$$f = \frac{1}{T}$$

Vinkelfrekvensen mäter samma takt i radianer per sekund:

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

För en ideal massa på en fjäder gäller

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Därför blir

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

En större massa svänger långsammare, en styvare fjäder snabbare. I den ideala modellen finns amplituden inte med i periodformeln. Drar du massan längre ökar kraften, men den får också längre att färdas. Effekterna balanserar varandra så att cykeltiden förblir densamma.

Genomräknat fjäderexempel

Sätt en massa på $0.50\ \mathrm{kg}$ på en ideal fjäder med $k = 200\ \mathrm{N/m}$. Dra massan $0.080\ \mathrm{m}$ från jämviktsläget och släpp den från vila på ett friktionsfritt underlag.

Bestäm först vinkelfrekvensen:

$$\omega = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

Perioden är

$$T = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

Eftersom massan släpps från största positiva förskjutningen är $\phi = 0$ och

$$x(t) = 0.080\cos(20t)\ \mathrm{m}$$

Största farten är

$$v_{\max} = A\omega = 0.080(20) = 1.6\ \mathrm{m/s}$$

Största accelerationsbeloppet är

$$a_{\max} = A\omega^2 = 0.080(20)^2 = 32\ \mathrm{m/s^2}$$

Maxvärdena inträffar på olika platser. Farten når 1,6 m/s i jämviktsläget. Accelerationens storlek når 32 m/s² vid ändlägena.

Energi förklarar samma rörelse utan klocka

En ideal oscillator växlar hela tiden mellan fjäderns lägesenergi och rörelseenergi:

$$U = \frac{1}{2}kx^2$$ $$K = \frac{1}{2}mv^2$$

Vid ändlägena står massan stilla, så all mekanisk energi är fjäderns lägesenergi. I jämviktsläget är fjäderns lägesenergi noll relativt den punkten och rörelseenergin som störst. Summan förblir

$$E = \frac{1}{2}kA^2$$

För det genomräknade exemplet:

$$E = \frac{1}{2}(200)(0.080)^2 = 0.64\ \mathrm{J}$$

Vid vilket läge som helst kan energins bevarande ge farten utan att du löser tiden:

$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

Det är sambandet med vår guide till arbete och energi. Använd sinusformade ekvationer när tid och fas spelar roll. Använd energi när frågan kopplar fart till läge utan att fråga när oscillatorn når dit.

En pendel är bara ungefär harmonisk vid små vinklar

En matematisk pendel har en återförande komponent av tyngdkraften. Den exakta vinkelekvationen innehåller $\sin\theta$ och är därför inte helt linjär. Vid små vinklar mätta i radianer är $\sin\theta \approx \theta$, och rörelsen blir ungefär harmonisk.

Perioden i småvinkelmodellen är

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Massan finns inte med. I den ideala småvinkelmodellen har ett tyngre pendellod samma period som ett lättare vid samma längd och plats. En längre pendel får längre period, starkare tyngdkraft förkortar den.

För $L = 0.90\ \mathrm{m}$ och $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.90}{9.81}} \approx 1.90\ \mathrm{s}$$

Vid större amplituder blir småvinkelapproximationen sämre och den verkliga perioden längre än formeln förutsäger. Ange approximationen i stället för att behandla varje pendelsvängning som exakt harmonisk.

Verkliga oscillatorer förlorar energi

Ideal harmonisk svängning fortsätter för evigt eftersom ingen energi lämnar systemet. Verkliga oscillatorer har friktion, luftmotstånd eller inre förluster. Amplituden minskar med tiden, vilket kallas dämpning.

En periodisk yttre kraft kan ersätta förlorad energi och driva oscillatorn. När drivfrekvensen ligger nära systemets egenfrekvens kan svaret bli stort. Det kallas resonans. Dämpning begränsar ökningen och ändrar hur skarp responsens topp är.

Vår guide till dopplereffektens formel ger ett annat sätt att använda frekvens genom att jämföra vad en rörlig källa och lyssnare hör.

Effekterna utökar grundmodellen snarare än upphäver den. Identifiera först jämviktsläge, återförande kraft, egenfrekvens och energiutbyte. Lägg sedan till dämpning eller drivning om uppgiften kräver det.

En pålitlig lösningsordning

Börja med att definiera jämviktsläget och positiv riktning. Mät förskjutning från jämviktsläget, inte automatiskt från fjäderns naturlängd. För en lodrät fjäder flyttar tyngdkraften jämviktsläget; svängningar kring den flyttade punkten har ändå samma massa-fjäder-period i idealmodellen.

Bestäm sedan vad frågan söker. Gäller den upprepningstakten använder du periodsambandet. Gäller den läget vid en viss tid väljer du rätt fas utifrån startvillkoren. Gäller den farten i ett visst läge är energi ofta kortare.

Kontrollera till sist det fysiska mönstret. Accelerationen måste peka mot jämviktsläget. Farten ska vara noll i ändlägena och störst i mitten. En styvare fjäder ska förkorta perioden och en större massa förlänga den.

Öva idéerna i Physics Zens område Harmonisk svängning, med fjädrar, pendlar och energi i harmonisk svängning. Låt bilden komma före formeln: förskjutning skapar en återförande kraft, föremålet passerar jämviktsläget och energin växlar fram och tillbaka medan cykeln upprepas.