Kaströrelsens ekvationer: lösta exempel från mark och klippa

En boll lämnar marken i 20 m/s, 30 grader över horisontalplanet, och landar ungefär 35 m bort. Kasta samma boll på samma sätt från toppen av en klippa på 15 m så landar den ungefär 53 m bort. Många elever får 35 m även för klippan, eftersom de använder formeln för kastlängd utan att kontrollera dess antaganden. Ekvationerna för kaströrelse är inte svåra. Hela färdigheten är att veta vilka som gäller i den situation du har framför dig.

Guiden använder en teckenkonvention, samlar ekvationerna i en tabell med deras villkor och räknar sedan samma kast från plan mark och en klippa samt ett vågrätt kast från ett bord. Alla tal använder $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$ och försummar luftmotstånd.

Dela kastet i två rörelser

Börja med en skiss. Rita startpunkten, marken och en pil för starthastigheten $v_0$ med vinkeln $\theta$ över horisontalplanet. Lägg origo vid startpunkten, välj uppåt som positivt och framåt som positivt. Dela sedan upp starthastigheten:

$$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.$$

Därefter är det två endimensionella problem som delar en klocka. Vågrätt påverkas bollen inte av någon drivande kraft när den släppts, så $a_x=0$ och $v_x$ förblir $v_{0x}$. Lodrätt ger tyngdkraften en konstant $a_y=-g$. OpenStax avsnitt om kaströrelse bygger på just detta oberoende mellan vinkelräta rörelser när luftmotstånd försummas. Även kursbeskrivningen för AP Physics 1 säger det i en mening: kaströrelse är tvådimensionell rörelse med noll acceleration i en riktning och konstant, icke-noll acceleration i den andra (College Board, AP Physics 1 CED, avsnitt 1.5).

Om själva uppdelningen känns osäker går vår guide till kinematik igenom beräkningarna med konstant acceleration som används längs varje axel.

Vilken ekvation gäller här?

Fyra ekvationer beskriver alla kast i denna modell. Tre till är genvägar som härletts ur dem, och varje genväg har ett villkor som är lätt att glömma.

OpenStax anger båda begränsningarna direkt: genvägen för flygtid gäller inte vid annan landningshöjd, och kastlängdsformeln gäller bara för start och nedslag på en vågrät yta. Formeln för största höjd fungerar fortfarande vid en klippa eftersom den bara använder den lodräta rörelsen fram till banans topp, där $v_y=0$. Den ger hur högt bollen stiger över sin startpunkt, inte över marken nedanför.

Om $t$ tas bort ur de två första raderna får du banan, en parabel:

$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

Den är praktisk som oberoende kontroll, vilket syns i klippexemplet.

Exempel 1: plan mark med 20 m/s och 30°

Komponenterna först: $v_{0x}=20\cos 30^\circ=17.32\ \mathrm{m/s}$ och $v_{0y}=20\sin 30^\circ=10.0\ \mathrm{m/s}$.

Flygtid. Start och landning ligger på samma höjd, så genvägen är tillåten:

$$T=\frac{2(10.0)}{9.81}=2.04\ \mathrm{s}.$$

Kontrollera på ett annat sätt: bollen når toppen när $v_y=0$, vid $t=10.0/9.81=1.02\ \mathrm{s}$. På plan mark speglar vägen ner vägen upp, så hela tiden är dubbelt så lång, 2,04 s.

Största höjd.

$$H=\frac{(10.0)^2}{2(9.81)}=5.10\ \mathrm{m}.$$

Kontrollera genom att sätta in tiden vid toppen i höjdekvationen: $y=10.0(1.02)-4.905(1.02)^2=5.10\ \mathrm{m}$.

Kastlängd.

$$R=\frac{(20)^2\sin 60^\circ}{9.81}=35.3\ \mathrm{m}.$$

Kontroll utan genvägen: $x=v_{0x}T=17.32\times 2.04=35.3\ \mathrm{m}$. Två metoder ger samma svar, vilket är bra innan du går vidare. Om din kurs använder $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$, som AP Physics 1-övningarna i Physics Zen gör, ändras svaren först i tredje siffran: 2,04 s, 5,10 m och 35,3 m avrundas likadant.

Exempel 2: samma kast från en klippa på 15 m

Kasta nu med samma 20 m/s och 30°, men från kanten av en klippa 15 m över plan mark. Med origo vid startpunkten sker landningen vid $y=-15\ \mathrm{m}$. Genvägen för kastlängd går inte att använda eftersom bollen landar lägre än den startade. Använd den allmänna höjdekvationen:

$$-15=10.0\,t-4.905\,t^2.$$

Omskriven blir den $4.905t^2-10.0t-15=0$. Lösning med andragradsformeln ger

$$t=\frac{10.0\pm\sqrt{(10.0)^2+4(4.905)(15)}}{2(4.905)}=\frac{10.0\pm 19.86}{9.81},$$

så $t=3.04\ \mathrm{s}$ eller $t=-1.00\ \mathrm{s}$. Den negativa roten är en tidpunkt före kastet då en boll på samma parabel skulle ha passerat marknivå på vägen upp. Den är giltig matematik men irrelevant fysik och ska väljas bort. Sätt tillbaka den positiva roten som kontroll: $10.0(3.044)-4.905(3.044)^2=-15.0$. Valet av rot är ett av matematikfelen vi tar upp i fysikmisstag som egentligen är matematikmisstag.

Kastlängd från klippan.

$$x=17.32\times 3.044=52.7\ \mathrm{m}.$$

En andra kontroll med banekvationen: vid $x=52.7\ \mathrm{m}$ är $y=52.7\tan 30^\circ-\dfrac{9.81(52.7)^2}{2(20)^2\cos^2 30^\circ}=30.4-45.4=-15.0\ \mathrm{m}$. Bollen är precis vid marken.

Vad genvägen skulle ha kostat. Om du återanvänder $R=v_0^2\sin 2\theta/g$ får du 35,3 m, svaret för plan mark. Den riktiga kastlängden är 52,7 m. Genvägen ger 17,4 m för lite, ungefär 33 procent av den riktiga sträckan, och formeln varnar dig inte. Största höjden är fortfarande 5,10 m över startpunkten, vilket är 20,1 m över marken nedanför.

Hastighet vid nedslag. Vid landningen är $v_y=10.0-9.81(3.044)=-19.86\ \mathrm{m/s}$ och $v_x$ fortfarande 17,32 m/s. Alltså

$$v=\sqrt{17.32^2+19.86^2}=26.3\ \mathrm{m/s},$$

riktad $\arctan(19.86/17.32)=48.9^\circ$ under horisontalplanet. Energi ger farten oberoende av detta: $v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{20^2+2(9.81)(15)}=26.3\ \mathrm{m/s}$. Vår guide till arbete och energi förklarar varför genvägen fungerar.

Är 45° fortfarande bäst? Inte från en klippa. Med 20 m/s och ett fall på 15 m löser vi samma andragradsekvation för flera vinklar:

Bland dessa är 37° bäst, och 45° ger kortare kast än 30°. En högre start ger redan mer tid i luften, så ett flackare kast med större vågrät hastighet lönar sig bättre.

Exempel 3: en boll rullar av ett bord

En boll rullar av ett bord som är 0,90 m högt med 3,0 m/s. Här är $\theta=0$, så $v_{0x}=3.0\ \mathrm{m/s}$ och $v_{0y}=0$. Återigen skiljer sig landningshöjden från starthöjden, så bara de allmänna ekvationerna gäller.

Falltid. När $v_{0y}=0$ blir höjdekvationen $-0.90=-4.905t^2$:

$$t=\sqrt{\frac{2(0.90)}{9.81}}=0.428\ \mathrm{s}.$$

Det är samma falltid som för en boll som släpps rakt ner från bordskanten. Den vågräta hastigheten bromsar inte fallet.

Landningsplats. $x=3.0\times 0.428=1.29\ \mathrm{m}$ från bordets fot. LibreTexts sida om kaströrelse behandlar vågrätt kast från höjd på samma sätt med falltiden $\sqrt{2H/g}$.

Fart och vinkel vid nedslag. $v_y=-9.81(0.428)=-4.20\ \mathrm{m/s}$, så

$$v=\sqrt{3.0^2+4.20^2}=5.16\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=\arctan\frac{4.20}{3.0}=54.5^\circ$$

under horisontalplanet. Energin ger samma svar: $\sqrt{3.0^2+2(9.81)(0.90)}=5.16\ \mathrm{m/s}$.

Två övningsuppgifter med svar

1. Plan mark. En boll sparkas i 15 m/s, 60° över plan mark. Bestäm flygtid, största höjd och kastlängd. Svar: $v_{0y}=13.0\ \mathrm{m/s}$, $T=2.65\ \mathrm{s}$, $H=8.60\ \mathrm{m}$ och $R=19.9\ \mathrm{m}$. Alla tre genvägar gäller här; kontrollera kastlängden med $v_{0x}T=7.5\times 2.65$.

2. Vågrätt kast. En sten kastas vågrätt i 12 m/s från en avsats 20 m över vattnet. Hur länge är den i luften, hur långt bort landar den och vilken fart har den vid nedslag? Svar: $t=\sqrt{2(20)/9.81}=2.02\ \mathrm{s}$, $x=24.2\ \mathrm{m}$ och $v=\sqrt{12^2+2(9.81)(20)}=23.2\ \mathrm{m/s}$ vid $58.8^\circ$ under horisontalplanet. Ingen genväg från raderna för plan mark gäller.

Öva uppdelningen tills den sker av sig själv

Kast kommer tidigt i alla större kurser. AP Physics 1 tar upp dem i enhet 1, och vår guide till AP Physics 1 visar var kinematiken hör hemma i en full studieplan. Metoden ändras inte mellan proven; bara $g$ och siffrorna gör det.

Området Kinematik i Physics Zen är gratis från början till slut på iPhone och Android. Där ingår kaströrelse med nya starthastigheter, vinklar och höjder varje gång, direkt rättning och en genomgången lösning efter varje svar. Lös några uppgifter och ställ frågan från tabellen före varje: landar bollen på samma höjd som den startade? Om inte, hoppa över genvägarna och lös tiden först.