Fysikfel som egentligen är matematikfel, och hur du rättar dem

Öppna den genomräknade lösningen efter ett felaktigt svar och leta efter raden där dina steg skiljer sig från facit. Kraftdiagrammet stämmer. Ekvationen är rätt. En rad senare har friktionen fel tecken, den negativa tiden har behållits eller svaret är exakt 3,6 gånger för stort.

Inget av detta är fel i fysiken. Det är matematikfel inuti en fysikuppgift. Skillnaden spelar roll eftersom lösningen är en annan: att läsa om kapitlet om krafter hindrar dig inte från att skriva $\cos\theta$ där $\sin\theta$ hör hemma.

Här följer de sju mattefel vi oftast ser i lösningar i Physics Zen. För vart och ett visar vi hur det syns på papperet, ett snabbt test som hittar det och en färdighet att öva. För matematiken hänvisar vi till systerappen Math Zen, som genererar nya uppgifter för varje färdighet på samma sätt som Physics Zen gör för fysik.

1. Teckenfel: välj en riktning och håll fast vid den

En boll kastas uppåt med $12\ \text{m/s}$. Om uppåt är positiv riktning är accelerationen $-9.8\ \text{m/s}^2$ under hela flygningen, också på vägen ned. Efter två sekunder är hastigheten

$$v = 12 + (-9.8)(2) = -7.6\ \text{m/s}$$

Minustecknet är information: bollen rör sig nedåt. Det betyder inte att den ”bromsar”, och det är inget fel som ska rättas genom att stryka tecknet.

Teckenfel uppstår när den positiva riktningen ändras mitt i en uppgift eller när ett negativt tal behandlas som ett mindre positivt tal. Testet är enkelt: skriv axelns positiva riktning högst upp och tolka varje tecken utifrån den. Pekar en storhet åt motsatt håll är den negativ och ska förbli negativ i senare steg.

Samma vana hindrar tecknen i täljare och nämnare från att glida isär i ett genomräknat exempel på dopplereffekten.

Den underliggande färdigheten är räkning med negativa tal. Math Zens guide till negativa tal bygger upp den från början. Öva där och återvänd sedan till fritt fall i Kinematik, där tecknet på $g$ spelar roll i varje uppgift.

2. Lösa ut ur ett bråk eller en kvadrat

Centripetalaccelerationen är $a = \frac{v^2}{r}$. När farten söks får förvånansvärt många $v = ar$ och stannar där. Korrekt omskrivning multiplicerar först med $r$ och tar sedan kvadratroten:

$$v = \sqrt{ar}$$

Samma fel uppstår för rörelseenergin $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$, där farten är $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$. Att glömma tvåan eller roten är ett algebrafel.

Sätt tillbaka svaret i den ursprungliga formeln med de givna talen. Om de två leden inte stämmer är omskrivningen fel. Testet tar tjugo sekunder och fångar nästan alla sådana fall.

Du kan öva på omskrivningar i Math Zens algebraområde. Algebraguiden förklarar varför varje steg är tillåtet. I fysik används de två omskrivningarna ständigt i cirkelrörelse och arbete och energi.

3. Sinus och cosinus på fel komponent

På ett lutande plan med vinkeln $\theta$ är tyngdens komponent längs planet $mg\sin\theta$ och komponenten in mot planet $mg\cos\theta$. Byt plats på dem, så blir normalkraften, friktionen och accelerationen fel trots att kraftdiagrammet var rätt.

Regeln är att komponenten intill den kända vinkeln får cosinus, och komponenten mittemot får sinus. På ett lutande plan är vinkeln vid planets nedre kant lika med vinkeln mellan tyngdvektorn och riktningen vinkelrätt mot planet. Därför är normalkomponenten den med cosinus.

Testa ett gränsfall. Sätt $\theta = 0$. Planet är plant, så inget ska dra klossen längs det. $mg\sin 0 = 0$, alltså klarar sinusversionen testet. Hade du skrivit $mg\cos\theta$ som komponent längs planet, skulle ett plant underlag ge hela $mg$ i sidled, vilket är orimligt. Testa också $90^\circ$ om du är osäker.

Detta är trigonometri i en rätvinklig triangel, inget mer avancerat. Math Zens trigonometriguide visar sinus och cosinus som koordinater på en cirkel så att regeln om intill och mittemot blir tydlig. Trigonometrifärdigheten ger övning. Gå sedan tillbaka till det lutande planet i Dynamik, eller läs vår guide till Newtons lagar för fysiken runt uppgiften.

4. Andragradsekvationer och roten du förkastar

En sten kastas uppåt med $15\ \text{m/s}$ från en bro $20\ \text{m}$ över vattnet. När träffar den vattenytan? Med uppåt som positivt och bron som origo:

$$-20 = 15t - 4.9t^2$$

Detta är en andragradsekvation i $t$. Formeln ger ungefär $t = 4.07\ \text{s}$ och $t = -1.00\ \text{s}$. Den negativa roten är inte fel matematik. Den motsvarar tiden då en sten på samma parabel skulle ha passerat vattenytans höjd på väg upp, före kastet. Fysiken förkastar den, men algebran måste först hitta båda.

Vanliga fel är teckenfel i lösningsformeln, att använda $b$ i stället för $-b$ och räknefel under rottecknet. Sätt in roten du vill behålla i ekvationen. Den ska ge ungefär $-20$ efter avrundning.

Math Zens guide till andragradsekvationer förklarar var formeln kommer från. Lösningsfärdigheten i algebraområdet ger nya tal varje gång. Kastuppgifter i Kinematik, som är gratis i Physics Zen, använder detta när tiden är okänd, som i klippkastet i våra räkneexempel om kastparabler.

5. Enheter, prefix och tiopotenser

En bil med farten $72\ \text{km/h}$ bromsar till stillastående på $4\ \text{s}$. Om du sätter in farten som $72$ får du retardationen $18\ \text{m/s}^2$, vilket skulle kasta föraren genom vindrutan. Omvandla till $20\ \text{m/s}$, så får du ett rimligare svar: $5\ \text{m/s}^2$.

Att dividera med $3.6$ är inte ett fysikaliskt faktum att memorera. Det kommer från förhållandet mellan $1000$ meter per kilometer och $3600$ sekunder per timme. Samma typ av fel är att omvandla centimeter till meter men glömma att kvadrera omvandlingsfaktorn för en area, eller att läsa $6.67 \times 10^{-11}$ som ett stort tal bara för att siffrorna i exponenten ser stora ut.

Testet är en rimlighetskontroll. En acceleration större än $g$ för en vanlig bil, en kastad bolls hastighet större än ljudhastigheten eller en tennisbolls energi på miljontals joule tyder på att en enhet blivit fel. Leta efter faktorn innan du letar efter ett fysikfel.

Math Zens guide till kvoter och proportioner och guide till potenser täcker båda delarna. Appens aritmetikområde tränar dem. Likformig rörelse, den första gratis färdigheten i Physics Zen, ber om omvandling från km/h i de flesta uppgifter.

6. Grafer: lutning är inte höjd

I en hastighet–tid-graf är lutningen acceleration, och arean mellan kurvan och tidsaxeln är förflyttning. Ett vanligt svar på frågan ”när är accelerationen störst?” pekar på grafens högsta del. Där är hastigheten störst. Accelerationen är störst där linjen lutar mest.

Det andra vanliga felet är att ignorera areans tecken. Area under tidsaxeln motsvarar negativ förflyttning. En graf som först ligger över och sedan under axeln kan beskriva en lång tillryggalagd sträcka men noll nettoförflyttning.

Testet: säg högt om frågan gäller lutning, höjd eller area innan du svarar. Hitta sedan just den storheten. Det låter för enkelt för att hjälpa, men det fungerar.

Att läsa lutningar och areor utan fysik är exakt vad Math Zens område för grafanalys övar. Vår egen guide till kinematik förklarar sedan varför lutning och area har dessa fysikaliska betydelser.

7. Två obekanta, en ekvation

En elastisk kollision bevarar både rörelsemängd och rörelseenergi, så du får två ekvationer för de två sluthastigheterna. En krets med två batterier behöver två slingekvationer; vår guide till Kirchhoffs knutpunkts- och slingregel löser en sådan. En kastuppgift har en vågrät och en lodrät ekvation som delar flygtiden.

Felet är att försöka lösa en ekvation med två obekanta, eller att göra en insättning i samma ekvation som du nyss använde. Räkna okända storheter och oberoende ekvationer; börja inte lösa förrän antalen stämmer.

Detta är ekvationssystem, som övas som linjära system i Math Zens algebraområde. I Physics Zen återkommer strukturen i rörelsemängd och kollisioner samt i elektriska kretsar. Vår guide till rörelsemängd visar varför kollisioner behöver båda ekvationerna.

Lösningen: en kort avstickare till matte och sedan tillbaka

Varje rad nedan visar ett fel, mattefärdigheten bakom det och fysikområdet du ska återvända till när matematiken sitter.

Rutinen är kort. När en genomräknad lösning visar ett mattesteg du gjort fel, lägg tio minuter på just den färdigheten med nya genererade uppgifter. Återvänd sedan till fysiken och lös tre uppgifter till från samma område. Läs inte om teorin du redan förstår.

Math Zen är byggd av samma team som Physics Zen och använder samma cykel: genererad uppgift, direkt kontroll, genomräknad lösning. Appen finns för iPhone och Android. På Math Zens blogg finns spegelartikeln matematiken du behöver för fysik, ordnad efter fysikområde i stället för feltyp.

Ett tappat minustecken betyder inte att du inte förstår krafter. Det visar att en liten färdighet behöver fem minuter för sig själv. Då kan den fysik du redan förstår också ge poäng.