Kirchhoffs lagar: knutpunkts- och slingregeln med exempel

Två batterier, tre resistorer och en fråga: åt vilket håll går strömmen genom det mindre batteriet? De flesta ritar en pil ut från dess pluspol, eftersom det är vad batterier brukar göra. I kretsen nedan är gissningen fel, och algebran visar det med ett negativt tal. Att förstå det minustecknet är en stor del av arbetet med Kirchhoffs lagar.

Guiden beskriver de två reglerna, ger en tabell för tecknen när du passerar komponenter och räknar sedan en krets med två slingor där en ström avsiktligt antas gå åt fel håll. Till sist behandlas en bryggkoppling, det klassiska fallet där du inte ens kan börja med serie- och parallellförenkling. Vi använder ideala ledningar, ideala batterier utan inre resistans och stationär likström.

Knutpunktsregeln bokför laddning

En knutpunkt är en plats där minst tre ledningar möts. Kirchhoffs första lag, knutpunktsregeln eller strömlagen, säger att den totala strömmen in i en knutpunkt är lika med den totala strömmen ut:

$$\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$$

OpenStax kapitel om Kirchhoffs lagar grundar det i laddningens bevarande. Ström är laddning i rörelse, och laddning samlas inte oavbrutet i en ledning. Allt som kommer till knutpunkten måste därför lämna den. Om 3 A kommer in genom en ledning och 2 A går ut genom en annan, går 1 A ut genom den tredje.

Regeln kan användas vid alla knutpunkter, men i en krets med $n$ knutpunkter är bara $n-1$ av ekvationerna oberoende. Den sista upprepar information du redan har.

Slingregeln bokför potential

Kirchhoffs andra lag, slingregeln eller spänningslagen, säger att om du följer en sluten slinga och adderar alla ändringar i elektrisk potential får du noll:

$$\sum \Delta V=0$$

Du slutar där du började, och en punkt har bara en potential. OpenStax kopplar också regeln till energi: den energi som en källa tillför laddning som går runt slingan överförs vidare av kretsens andra komponenter.

Regeln är enkel. Det är tecknen som brukar kosta poäng, så bestäm dem en gång för alla:

Det är samma fyra regler som OpenStax ger. Lägg märke till två saker. Tecknet över resistorn beror på strömpilen du ritade, inte på den verkliga strömmen som du ännu inte vet. Batteriets tecken beror bara på vilken pol du passerar först, aldrig på strömmen genom det.

En krets med två slingor och en felaktig gissning

Tänk dig två vågräta ledningar, en övre med knutpunkt A och en undre med knutpunkt B. Tre lodräta grenar förbinder dem:

Pilarna för $I_1$ och $I_3$ går båda ut från pluspolerna. Det är en naturlig gissning, men för batteriet på 3 V är den fel. Försök inte undvika det: metoden klarar det.

Knutpunkt A. Två strömmar in, en ut:

$$I_1+I_3=I_2$$

Vänster slinga. Börja vid B och gå upp genom vänstra grenen, över toppen till A och ned genom mittgrenen till B. När du passerar batteriet på 12 V från minus till plus får du $+12$. Resistorn på 2 Ω passeras längs $I_1$ och ger $-2I_1$. Ned genom mitten längs $I_2$ ger $-3I_2$:

$$12-2I_1-3I_2=0$$

Höger slinga. Börja vid B, gå upp genom högra grenen till A och sedan ned genom mitten:

$$3-3I_3-3I_2=0$$

Tre okända, tre oberoende ekvationer. Nu löser vi dem.

Lös ekvationerna och läs sedan tecknet

Högra slingan förenklas till $I_2+I_3=1$, alltså $I_3=1-I_2$. Sätt in knutpunktsekvationen i vänstra slingan genom att ersätta $I_1$ med $I_2-I_3$:

$$12-2(I_2-I_3)-3I_2=0\quad\Rightarrow\quad 12-5I_2+2I_3=0$$

Sätt sedan in $I_3=1-I_2$:

$$12-5I_2+2-2I_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=2\ \mathrm{A}$$

Då blir $I_3=1-2=-1\ \mathrm{A}$ och $I_1=I_2-I_3=2-(-1)=3\ \mathrm{A}$.

Minustecknet framför $I_3$ är själva poängen. Beloppet 1 A är rätt. Strömmen går åt motsatt håll mot pilen, alltså nedåt genom den högra grenen och in i 3 V-batteriets pluspol. OpenStax säger samma sak: om du antagit fel strömriktning får du ett negativt värde, men svaret är fortfarande rätt.

Två vanor hjälper dig att behålla tecknet:

• Vänd inte pilen och börja om. Ekvationerna bygger på dina pilar och är konsekventa med dem.
• Ta med det negativa värdet i varje senare steg. $I_1=I_2-I_3$ blir 3 A bara om $I_3$ sätts in som $-1$. Utelämnar du minustecknet får du 1 A och felet sprider sig.

Fysiskt driver 12 V-batteriet ström baklänges genom 3 V-batteriet. Om det senare vore ett uppladdningsbart batteri skulle det laddas. Om själva ekvationslösningen känns svår har vår guide till fysikmisstag som egentligen är matematikmisstag ett avsnitt om två obekanta och ekvationssystem.

Kontrollera två gånger: nodspänning och effektbalans

Nodspänning. Alla grenar förbinder A med B, så var och en måste ge samma potentialskillnad $V_A-V_B$. Mitten: $3\times2=6\ \mathrm{V}$. Vänster: batteriet höjer potentialen med 12 V och resistorn sänker den med $2\times3=6\ \mathrm{V}$, vilket ger 6 V. Höger: $3-3\times(-1)=6\ \mathrm{V}$. Tre grenar, ett svar.

Effektbalans. OpenStax rekommenderar att kontrollera en Kirchhofflösning genom att jämföra effekten som källorna levererar med effekten som de andra komponenterna tar upp. Här får vi

Levererat: 36 W. Upptaget: 18 + 12 + 3 + 3 = 36 W. Kontrollen går ihop bara om 3 V-batteriet räknas som en komponent som tar upp effekt. Det är den negativa strömmen igen, nu uttryckt som energi. Om du hade läst $I_3$ som +1 A skulle balansen slå fel med 6 W.

När serie- och parallellförenkling räcker

Vår guide till serie- och parallellkoppling förenklar ett nätverk stegvis: hitta två resistorer på samma väg utan förgrening eller mellan samma två noder, slå ihop dem och upprepa. När det fungerar bör du använda det. Det är Kirchhoffs lagar färdigtillämpade.

Det fungerar inte i två situationer. Den första är kretsen ovan: när olika grenar innehåller batterier kan inte vilka två grenar som helst ersättas av en enda resistor. Den andra är en bryggkoppling. Koppla en källa på 12 V mellan noderna A och B. Den vänstra armen går från A genom 1 Ω till C och sedan genom 4 Ω till B. Den högra går från A genom 4 Ω till D och sedan genom 1 Ω till B. En bryggresistor på 2 Ω förbinder C och D.

Inga två resistorer delar båda ändpunkterna och inga står ensamma på en oförgrenad väg, så det finns ingen enkel förenkling att börja med. OpenStax påpekar att många kretsar ser ut så här. Använd i stället knutpunktsregeln vid C och D, med B satt till 0 V:

$$\frac{12-V_C}{1}=\frac{V_C}{4}+\frac{V_C-V_D}{2},\qquad \frac{12-V_D}{4}=\frac{V_D}{1}+\frac{V_D-V_C}{2}$$

Lösningen är $V_C=8\ \mathrm{V}$ och $V_D=4\ \mathrm{V}$. Därför går 2 A genom bryggan från C till D, källan levererar 6 A och nätverket motsvarar 2 Ω. Kontroll vid C: 4 A kommer genom resistorn på 1 Ω, 2 A lämnar genom resistorn på 4 Ω och 2 A genom bryggan.

Den lockande genvägen är att ignorera bryggan och behandla armarna som två parallella vägar på 5 Ω. Det ger 2,5 Ω och 4,8 A, alltså 20 procent mindre än de verkliga 6 A. Genvägen fungerar bara när bryggan är balanserad: armarna delar spänningen i samma förhållande, C och D får samma potential och ingen ström går genom bryggan. Här sitter 1 Ω överst i vänstra armen och 4 Ω överst i den högra. Förhållandena är omvända och bryggan leder ström.

Två övningskretsar med svar

1. Båda batterierna urladdas. Använd samma koppling med två slingor som ovan, men ha ett 12 V-batteri och en resistor på 3 Ω i vänstra grenen, en resistor på 2 Ω i mitten och ett 9 V-batteri med en resistor på 3 Ω i högra grenen. Båda pluspolerna uppåt. Bestäm alla tre strömmarna och kontrollera effekten. Svar: $I_1=2\ \mathrm{A}$, $I_2=3\ \mathrm{A}$ och $I_3=1\ \mathrm{A}$, alla i de ursprungliga pilarnas riktning, med $V_A-V_B=6\ \mathrm{V}$. Effekt: $24+9=33\ \mathrm{W}$ levereras och $12+18+3=33\ \mathrm{W}$ tas upp i resistorerna.

2. Balanserad brygga. Samma bryggform vid 12 V. Vänstra armen har 1 Ω följt av 2 Ω; högra armen 2 Ω följt av 4 Ω. Bryggresistorn får ha vilket värde som helst. Bestäm bryggströmmen och källströmmen. Svar: $V_C=V_D=8\ \mathrm{V}$, alltså 0 A genom bryggan. Armarna är 3 Ω och 6 Ω parallellt, totalt 2 Ω, och källan levererar 6 A. Bara här får du ta bort bryggan.

Öva tills tecknen sitter

Metoden ändras inte mellan kretsarna: rita strömpilar, välj knutpunkter, skriv slingor med teckentabellen, lös, läs tecknen och kontrollera effekten. Det som ändras är hur snabbt du kan göra det utan att tveka inför ett minus. Kirchhoff ingår i elektricitetsdelen av vår studieplan för A-Level-fysik. Samma vana behövs i kondensatornätverk, där vår guide till kondensatorer i serie och parallell använder laddningens bevarande vid en nod.

I Physics Zen leder området Elektriska kretsar från Ohms lag via serie och parallell och elektrisk effekt till delmomentet Kirchhoffs lagar med två källor. Det delmomentet ingår i Premium på iPhone och Android. Varje uppgift får nya värden, direkt kontroll och en genomräknad lösning. Då kan du öva på att se en negativ ström som information om riktning, inte som ett misstag.