Kondensatorer i serie och parallell: laddning, spänning och kapacitans

Två kondensatorer på 6 mikrofarad som ansluts till samma källa på 12 volt kan ge olika ersättningskapacitans. Koppla dem mellan samma två noder så blir den 12 mikrofarad. Koppla dem efter varandra så blir den 3 mikrofarad. Komponenterna har inte ändrats. Kopplingen avgör vilken storhet de delar.

Den användbara frågan för ett kondensatornätverk är inte ”vilken formel minns jag?” utan ”vilka plattor delar noder, och vilken knutpunkt är isolerad?” Här använder vi ideala kondensatorer och ledningar samt en konstant spänning som ansluts till ett nätverk där både kondensatorerna och isolerade inre knutpunkter från början är oladdade. Antagandena behövs för den vanliga regeln om lika stora laddningar i serie.

Börja med laddning per volt

En kondensator har två åtskilda ledande plattor. I den enkla modellen har den ena laddningen $+Q$ och den andra $-Q$. Symbolen $Q$ står för laddningsbeloppet på vardera plattan, inte summan av deras absoluta laddningar. Kapacitansen beskriver hur mycket laddning per volt som lagras över plattorna:

$$C=\frac{Q}{V},\qquad Q=CV$$

En farad är en coulomb per volt. I räkneuppgifter ger mikrofarad och mikrocoulomb hanterliga tal: $1\ \mu\mathrm{F}\times1\ \mathrm{V}=1\ \mu\mathrm{C}$. En kondensator på 6 mikrofarad över 12 volt får därför laddningsbeloppet $Q=72\ \mu\mathrm{C}$ på vardera plattan. OpenStax avsnitt om kapacitans definierar sambandet.

Blanda inte ihop kapacitans och laddning. Kapacitansen är en egenskap hos den ideala komponenten; laddningen ändras när spänningen över den ändras. Addera inte heller laddningsbeloppen på plus- och minusplattan hos samma kondensator och säg att den lagrar dubbelt $Q$. Nettoladdningen är noll, medan plattorna har lika stora laddningar med motsatt tecken.

Parallellt: samma spänning, laddningarna adderas

Två kondensatorer är parallellkopplade om båda ansluts mellan samma nodpar. De har samma potentialskillnad $V$. Vardera får sitt laddningsbelopp, $Q_1=C_1V$ och $Q_2=C_2V$. Källan levererar summan till plattorna på plussidan:

$$Q_{\mathrm{total}}=Q_1+Q_2=(C_1+C_2)V$$

Eftersom $Q_{\mathrm{total}}=C_{\mathrm{p}}V$ för den motsvarande kondensatorn gäller

$$C_{\mathrm{p}}=C_1+C_2$$

För fler parallellkopplade kondensatorer adderar du deras kapacitanser på samma sätt. Regeln säger inte att laddningarna är lika stora. Den större kapacitansen håller mer laddning vid den gemensamma spänningen.

Ta $C_1=2\ \mu\mathrm{F}$ och $C_2=4\ \mu\mathrm{F}$ över 12 volt. Båda har $V_1=V_2=12\ \mathrm{V}$. Laddningsbeloppen är

$$Q_1=(2\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=24\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_2=(4\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=48\ \mu\mathrm{C}$$

Tillsammans drar de $72\ \mu\mathrm{C}$ från källan, lika med $(6\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})$. Samma spänning och olika laddningar är precis vad $Q=CV$ förutsäger.

I serie: samma laddningsbelopp, spänningarna adderas

Koppla nu samma kondensatorer efter varandra mellan källans poler. Mellan dem finns en enda inre knutpunkt utan tredje ledning. I den angivna modellen har den från början noll nettoladdning och förblir isolerad. Den laddning som induceras på ena sidan måste balanseras av lika stor laddning med motsatt tecken på den andra sidan. Därför får de två kondensatorerna samma laddningsbelopp $Q$, även om plattornas tecken skiljer sig.

Källspänningen är summan av spänningsbeloppen över kondensatorerna. Eftersom $V_i=Q/C_i$ gäller

$$V=V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)$$

Den motsvarande kondensatorn följer också $V=Q/C_{\mathrm{s}}$, vilket ger

$$\frac{1}{C_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2},\qquad C_{\mathrm{s}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\quad\text{for two capacitors}$$

Med 2 och 4 mikrofarad i serie blir $C_{\mathrm{s}}=8/6=4/3\ \mu\mathrm{F}$. Vid 12 volt är det gemensamma laddningsbeloppet

$$Q=C_{\mathrm{s}}V=\frac{4}{3}\ \mu\mathrm{F}\times12\ \mathrm{V}=16\ \mu\mathrm{C}$$

Kondensatorn på 2 mikrofarad får $V_1=Q/C_1=8\ \mathrm{V}$; den på 4 mikrofarad får $V_2=4\ \mathrm{V}$. Spänningarna blir tillsammans 12 volt. Den mindre kapacitansen får högre spänning vid samma laddning. Samma laddning betyder inte samma spänning.

Ersättningskapacitansen i serie blir lägre än den minsta enskilda kapacitansen. Håll $Q$ fast för att förstå varför. Spänningsfallen adderas, så hela paret kräver mer volt per laddningsenhet än någon av komponenterna ensam. Därför måste dess $Q/V$ vara mindre. OpenStax härledning av serie- och parallellkoppling använder samma tanke om gemensam laddning och spänning.

Genvägen med lika stora laddningar kräver sina antaganden. En kondensator som redan är laddad, eller en knutpunkt som från början har nettoladdning, kan kräva att laddningen bokförs separat vid varje nod. En bryggkoppling kan sakna enkla serie- och parallellgrupper; varianten med resistorer löses med Kirchhoffs knutpunkts- och slingregel. Beskriv kopplingen innan du använder genvägen.

Var noga med ordet laddning i en serielösning. De två plattor som vetter mot varandra vid den isolerade knutpunkten har motsatta tecken. Att ”båda kondensatorerna har laddningen $Q$” syftar på lika stora belopp på deras plattor. Det betyder inte att en positiv laddning passerar det isolerande mellanrummet. Källans 12 volt ligger på samma sätt över hela kedjan, medan varje kondensator bara har sin del. Håll reda på plattornas tecken och spänningens ändpunkter även om uppgiften bara frågar efter belopp. Annars kan en riktig formel för ersättningskapacitans kombineras med fel fördelning av laddning eller spänning.

Förenkla ett blandat nätverk och gå sedan tillbaka

Anta en kondensator på 12 mikrofarad i serie med ett parallellpar på 2 och 4 mikrofarad. Anslut hela nätverket till en källa på 12 volt. Börja med att slå ihop parallellparet:

$$C_{23}=2+4=6\ \mu\mathrm{F}$$

Nu är nätverket 12 mikrofarad i serie med 6 mikrofarad:

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{12\times6}{12+6}=4\ \mu\mathrm{F}$$

Källan levererar laddningsbeloppet $Q_{\mathrm{eq}}=C_{\mathrm{eq}}V=48\ \mu\mathrm{C}$. Samma belopp finns på kondensatorn på 12 mikrofarad och på den motsvarande gruppen på 6 mikrofarad, eftersom dessa två grupper ligger i serie. Kondensatorn på 12 mikrofarad får $V_1=48/12=4\ \mathrm{V}$. Parallellgruppen får de återstående $8\ \mathrm{V}$.

Båda kondensatorerna i parallellgruppen har 8 volt över sig. Deras laddningar är

$$Q_2=(2\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=16\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_3=(4\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=32\ \mu\mathrm{C}$$

Grenarnas laddningsbelopp adderas till $48\ \mu\mathrm{C}$, samma laddning som seriegruppen har. Spänningskontrollen är $4+8=12\ \mathrm{V}$. Ett vanligt fel är att ge varje gren 48 mikrocoulomb eftersom den motsvarande gruppen har den laddningen. Det är gruppens summa som motsvarar seriekondensatorn; grenarna delar upp summan efter sin kapacitans.

Exemplet har samma struktur som OpenStax blandade nätverk, men stegen fungerar för alla nätverk som går att förenkla: gruppera efter gemensamma noder, förenkla inåt, beräkna källans laddning och gå sedan utåt igen. Slå inte ihop kondensatorer bara för att de ligger bredvid varandra i en ritning. Vår guide till serie- och parallellkopplade kretsar visar hur du hittar noder; dess räkneexempel gäller resistorer, där serie- och parallellformlerna är omvända.

Fyra kontroller innan du litar på svaret

1. Koppling: Parallella komponenter delar båda ändnoderna. Seriekopplade komponenter delar en isolerad mellanliggande knutpunkt utan extra gren.
2. Storlek: För positiva ideala kapacitanser är ersättningen i parallell större än varje del och ersättningen i serie mindre än varje del.
3. Enheter: Mikrofarad gånger volt ger mikrocoulomb. Skriv inte laddning i farad eller kapacitans i coulomb.
4. Återkontroll: Parallella grenars spänningar stämmer överens, seriespänningarna summeras till källans spänning och grenladdningarna adderas till parallellgruppens laddning.

Prova en kort kontroll baklänges. Två seriekopplade kondensatorer har $C_1=3\ \mu\mathrm{F}$ och $C_2=6\ \mu\mathrm{F}$ över 18 volt. Ersättningskapacitansen är 2 mikrofarad, så vardera har laddningsbeloppet $36\ \mu\mathrm{C}$. Spänningarna är 12 och 6 volt. Den större kondensatorn får lägre spänning, och summan är 18 volt. Om du fick 18 volt över båda använde du av misstag parallellregeln.

I området Kondensatorer och RC-kretsar i Physics Zen kan du först öva laddning, kapacitans och energi för att behärska grundsambandet innan du tar dig an blandade nätverk. Skriv kopplingstyp och enheter bredvid varje uträkning. När de är klara brukar aritmetiken vara den enkla delen.