Elektrisk potential och elektriskt fält: höjd, lutning och laddning

Två punkter kan ligga högt på ett berg medan marken mellan dem är nästan plan. En tredje punkt kan ligga betydligt lägre men på en brant sluttning. Höjd och lutning beskriver olika saker hos samma landskap.

Elektrisk potential och elektriskt fält har ett liknande samband. Potentialen ger ett värde på varje plats. Fältet berättar hur värdet ändras när du rör dig, inklusive riktningen där det minskar som snabbast. En hög potential betyder inte automatiskt ett starkt fält.

Den här guiden handlar om elektrostatik: laddningar och fält som inte ändras med tiden. I det fallet beskriver ett enda potentiallandskap hela det elektriska fältet.

Fyra storheter, två användbara par

Börja med storheterna som en viss laddning påverkas av. En elektrisk kraft $\mathbf{F}$ verkar på den, och den har elektrisk potentiell energi $U$ i laddningarnas uppställning.

Dela var och en med testladdningen $q$:

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}, \qquad V=\frac{U}{q}$$

Fältet $\mathbf{E}$ och potentialen $V$ beskriver omgivningen. Sätt dit en annan liten testladdning så ändras kraften och energin, men inte omgivningen, förutsatt att testladdningen inte stör källaddningarna märkbart.

Fältet är en vektor: riktningen är en del av svaret. Potentialen är en skalär: den har ett värde med tecken men ingen riktning. OpenStax introduktion till potential utvecklar skillnaden mellan energi och energi per laddning.

Vår guide till Coulombs lag förklarar hur källaddningar ger upphov till kraft och fält. Potential ger en annan väg genom samma problem.

Spänning jämför två platser

En spänning är en potentialskillnad:

$$\Delta V=V_B-V_A$$

För en laddning som rör sig från A till B är ändringen i potentiell energi

$$\Delta U=q\Delta V$$

Ta en laddning på $+3\ \mathrm{\mu C}$ som går från 10 V till 4 V. Potentialändringen är $4-10=-6\ \mathrm{V}$, alltså

$$\Delta U=(3\times10^{-6})(-6) =-18\times10^{-6}\ \mathrm{J}$$

Den förlorar 18 mikrojoule potentiell energi. Det elektriska fältet utför 18 mikrojoule positivt arbete på den. Om bara den elektriska kraften gör arbete ökar rörelseenergin lika mycket. Det är samma energibokföring som i vår guide till arbete och energi.

Ett annat nollvärde ändrar inte något av resultaten. Om båda potentialerna höjs med 100 V går laddningen från 110 V till 104 V, fortfarande ett fall på 6 V. Ett påstående som ”den här punkten ligger på 10 V” beror alltid på en referens.

Fältet är potentialens nedförslutning

Längs en koordinat är det elektrostatiska sambandet

$$E_x=-\frac{dV}{dx}$$

Minustecknet anger riktningen: fältet pekar mot lägre potential. Richard Fitzpatricks anteckningar från University of Texas härleder detta från arbete och energi. Ett homogent fält går att förstå utan derivator: dela potentialändringen med avståndet och vänd tecknet.

Anta att potentialen minskar med jämn takt från 18 V vid $x=0$ till 6 V vid $x=0.04\ \mathrm{m}$:

$$E_x=-\frac{6-18}{0.04}=+300\ \mathrm{V/m}$$

Plustecknet betyder att fältet pekar i positiv x-riktning. Om fallet över samma 4 cm bara vore 3 V skulle fältet vara 75 V/m. Det viktiga är minskningen per meter.

Genvägen $E=|\Delta V|/d$ förutsätter ett homogent fält och ett avstånd mätt längs fältet. Mellan stora parallella plattor, långt från kanterna, kan det vara en användbar approximation. Runt en punktladdning ändras fältet med avståndet. En potentialskillnad delad med ett ändligt avstånd ger då ett medelvärde längs sträckan, inte fältet i varje punkt.

När potentialen varierar visar OpenStax kapitel om fält från potential derivataformen och dess tredimensionella motsvarighet.

Negativa laddningar vänder kraftens riktning

Fältets riktning definieras med en positiv testladdning. Kraften på en godtycklig laddning är

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}$$

Ett negativt $q$ vänder riktningen. I fältet på 300 V/m ovan påverkas en laddning på $-2\ \mathrm{\mu C}$ av

$$F_x=(-2\times10^{-6})(300) =-6\times10^{-4}\ \mathrm{N}$$

Den elektriska kraften pekar mot negativ x-riktning, där potentialen är högre. Det betyder inte att laddningen får mer potentiell energi: när en ökning av $V$ multipliceras med en negativ laddning minskar $U$.

Var noga med rörelsen. En kraft bestämmer accelerationen, inte nödvändigtvis riktningen som partikeln redan färdas i. En negativ laddning som skickas mot lägre potential kan fortsätta åt det hållet medan den bromsas. ”Negativa laddningar går uppför” beskriver kraften, eller den första accelerationen från vila, inte varje tänkbar bana.

Noll potential och noll fält är olika påståenden

Placera två lika stora positiva punktladdningar på en linje. Mitt emellan dem är deras fält lika stora och motsatt riktade, så det resulterande fältet är noll. Om potentialen sätts till noll vid oändligheten bidrar båda laddningarna med positiv potential och bidragen adderas. Potentialen i mittpunkten är positiv trots att fältet är noll.

Byt nu ut den ena källaddningen mot en lika stor negativ laddning. I mittpunkten tar positiva och negativa potentialen ut varandra. Men båda fältbidragen pekar från den positiva laddningen mot den negativa, så de adderas i stället för att ta ut varandra.

Exemplen visar ett vanligt misstag: att lägga ihop fältens storlekar som om de vore skalära potentialer. När du kombinerar fält måste du ta hänsyn till riktningarna. När du kombinerar potentialer måste du behålla de algebraiska tecknen.

Att fältet är noll i en punkt betyder inte heller att potentialen är konstant i området runt omkring. Det kan vara en stationär punkt i ett varierande landskap, på samma sätt som en sluttning kan ha en lokalt plan fläck.

Ekvipotentialer är höjdkurvor

På en höjdkarta har punkterna längs samma höjdkurva lika höjd. På en ekvipotentialyta har punkterna samma elektriska potential.

När en laddning flyttas längs ytan ändras inte dess elektriska potentiella energi. Det elektriska fältet utför inget arbete vid den förflyttningen, även om ett fält kan finnas där. Där fältet inte är noll står det vinkelrätt mot ekvipotentialytan.

Tätt liggande kurvor visar ett starkare fält bara om närliggande kurvor motsvarar lika stora potentialsteg. Har kartan olika stora spänningsintervall måste du läsa etiketterna innan du jämför avstånden.

Välj ekvation efter frågan

Söks kraften? Hitta det elektriska fältet vid laddningen och multiplicera med laddningen inklusive tecken. Ange riktningen.

Söks energi eller fart? Använd potentialskillnaden för att hitta $\Delta U=q\Delta V$. Om andra krafter utför arbete måste de tas med innan du omvandlar energiförändringen till en fart.

Finns en potentialgraf? Läs av dess lutning för att hitta fältkomponenten längs grafens koordinat. Ett högre värde i grafen innebär inte automatiskt en brantare lutning.

Arbetar du med en krets? Följ potentialskillnaderna mellan noder. Vår guide till serie- och parallellkopplade kretsar förklarar varför spänningsskillnader adderas längs en väg medan parallella grenar delar samma båda ändpunkter.

När du övar i Physics Zen, ha en anteckning med fyra kolumner intill uppgiften: fält, kraft, potential, energi. Skriv in enheterna i rätt kolumn innan du sätter in talen. Den lilla uppdelningen gör ett teckenfel eller en saknad laddning mycket lättare att se.