Förstå Coulombs lag: laddning, kraft och elektriskt fält

Gnid en ballong mot håret, så kan den fastna på väggen. Dra en plastkam genom torrt hår, så kan den lyfta små pappersbitar från ett bord. Inget synligt förbinder kammen med papperet, men något drar över mellanrummet, allt starkare när kammen kommer närmare.

Det är den elektriska kraften. Coulombs lag ger den ett värde: hur kraften beror på laddningarnas storlek och, särskilt starkt, på avståndet. Exemplen utgår från små laddningar i vila i vakuum eller luft.

Laddning går att räkna

Elektrisk laddning finns i två slag, positiv och negativ. Lika laddningar stöter bort varandra; olika laddningar attraherar varandra. En proton bär en positiv elementarladdning och en elektron en negativ. Storleken på denna laddning är

$$e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

Sedan SI-systemets omdefinition 2019 är detta värde exakt per definition. Ett föremåls laddning är en heltalsmultipel av elementarladdningen, och en coulomb motsvarar ungefär $6.24 \times 10^{18}$ elementarladdningar.

Laddning bevaras också. När du gnider en ballong mot håret skapas ingen laddning; elektroner flyttas. Det ena föremålet får vad det andra förlorar. Även ett neutralt föremål innehåller laddning, men lika mycket positiv som negativ.

Coulombs lag: formeln och enheterna

År 1785 publicerade Charles-Augustin de Coulomb mätningar med torsionsvåg av repulsionen mellan två små laddade kulor. Som APS News berättar varierade kraften omvänt med kvadraten på avståndet mellan kulornas medelpunkter.

I modern form, för punktladdningarna $q_1$ och $q_2$ på avståndet $r$:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

$F$ mäts i newton, laddningarna i coulomb och $r$ i meter, från medelpunkt till medelpunkt. Coulombs konstant $k$ ger rätt enhet när laddning och avstånd sätts in:

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

Här är $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ vakuumpermittiviteten. Med fyra värdesiffror är $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$. OpenStax avsnitt om Coulombs lag använder samma formel.

Absolutbeloppet gör att formeln bara ger kraftens storlek. Laddningarnas tecken avgör om kraften är frånstötande eller tilldragande, och den verkar alltid längs linjen mellan laddningarna.

Varför avståndet spelar så stor roll

Faktorn $r^2$ gör avståndet till formelns starkaste hävstång. Fördubbla avståndet så minskar kraften till en fjärdedel; tredubbla det så blir kraften en niondel.

Här är en bild att tänka med, inte en härledning. Föreställ dig att laddningens påverkan sprids lika i alla riktningar. På avståndet $r$ fördelas den över en sfär med arean $4\pi r^2$. Dubbelt $r$ ger fyra gånger större area, så varje liten yta får en fjärdedel så mycket. Samma $4\pi$ ingår i $k$.

Kvadraten hjälper också till att förstå ballongen på väggen. Laddningarna i den neutrala väggen förskjuts lite: motsatt laddning mot ballongen, lika laddning bort från den. Eftersom kraften är så känslig för avstånd blir attraktionen till de närmare laddningarna större än repulsionen från de längre bort, och ballongen fastnar.

Räkneexempel: två lika stora laddningar

Två små kulor har vardera laddningen $+2.0\ \mu\mathrm{C}$ och ligger $0.30\ \mathrm{m}$ från varandra. En mikrocoulomb är $10^{-6}\ \mathrm{C}$, så sätt in $2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ för varje laddning:

$$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})^2}{(0.30)^2} = \frac{0.03596}{0.090} \approx 0.40\ \mathrm{N}$$

Båda laddningarna är positiva, så kraften är frånstötande. Kulorna skjuts rakt bort från varandra med ungefär 0,40 N vardera, ungefär tyngden hos en massa på 40 gram.

Flytta dem till $0.60\ \mathrm{m}$. Avståndet har fördubblats, så kraften blir en fjärdedel, $0.10\ \mathrm{N}$, utan någon ny uträkning.

Räkneexempel: hur stark är den elektriska kraften?

Ta elektronen och protonen i väteatomen på ett avstånd av en Bohrradie: $r = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$, ett typiskt avstånd i atomens grundtillstånd. Båda har laddningsstorleken $e$:

$$F_e = \frac{(8.99 \times 10^{9})(1.602 \times 10^{-19})^2}{(5.29 \times 10^{-11})^2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

För gravitationen mellan samma par använder du $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$, $m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ och $m_p = 1.673 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$:

$$F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3.63 \times 10^{-47}\ \mathrm{N}$$

Den elektriska kraften är ungefär $2.27 \times 10^{39}$ gånger större. Båda avtar som $1/r^2$, så förhållandet gäller oavsett avstånd.

Varför håller då gravitationen dig mot golvet och månen i sin bana? Materia är nästan helt neutral. Protoner motsvaras av elektroner, så de väldiga elektriska attraktionerna och repulsionerna tar nästan exakt ut varandra. Massa har ingen negativ motsvarighet, så gravitationen upphävs inte: varje kilogram i en planet bidrar till dragningen.

Bestäm riktningen och addera sedan

Med flera laddningar samverkar varje par som om de andra inte fanns, och den resulterande kraften är vektorsumman. Det är superpositionsprincipen.

Placera tre laddningar på en linje:

• $q_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C}$ vid $x = 0$
• $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$ vid $x = 0.20\ \mathrm{m}$
• $q_3 = +1.0\ \mu\mathrm{C}$ vid $x = 0.10\ \mathrm{m}$

Bestäm den resulterande kraften på $q_3$, som är $0.10\ \mathrm{m}$ från var och en av de andra. Bestäm riktningarna före uträkningen. Både $q_1$ och $q_3$ är positiva, så $q_1$ stöter $q_3$ från sig mot $+x$. Laddningen $q_2$ är negativ och drar $q_3$ till sig, också mot $+x$.

De två kraftstorlekarna ska adderas, så behåll fyra siffror med $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$:

$$F_{13} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 2.696\ \mathrm{N}$$ $$F_{23} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 1.798\ \mathrm{N}$$

Båda verkar åt samma håll, så storlekarna adderas:

$$F_{\mathrm{net}} = 2.696 + 1.798 = 4.494\ \mathrm{N} \approx 4.49\ \mathrm{N}$$

Den resulterande kraften på $q_3$ är ungefär 4,49 N åt höger. Fysiken avgjorde riktningarna; formeln gav bara storlekarna.

Från kraft till fält

Coulombs lag beskriver ett par laddningar. Det elektriska fältet beskriver utrymmet kring en av dem. Fältstyrkan är kraften per laddningsenhet på en liten positiv testladdning $q$:

$$E = \frac{F}{q}$$

Enheten är newton per coulomb. Fältet pekar åt det håll en positiv laddning skulle skjutas. Förkorta bort testladdningen ur Coulombs lag för att få fältet från en punktladdning $Q$:

$$E = k\frac{|Q|}{r^2}$$

På avståndet $0.30\ \mathrm{m}$ från en laddning på $2.0\ \mu\mathrm{C}$:

$$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.30)^2} \approx 2.0 \times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

Fältet finns även utan en testladdning. Beräkna det en gång, så ger $F = qE$ kraften på valfri laddning som placeras där: ytterligare en laddning på $2.0\ \mu\mathrm{C}$ påverkas av 0,40 N från det första exemplet. En negativ laddning får en kraft motsatt fältets riktning.

Elektriska fältlinjer börjar på positiva laddningar och slutar på negativa eller fortsätter till oändligheten. Fältet i en punkt ligger tangent till linjen genom punkten, och tätare linjer betyder starkare fält. Linjerna korsar aldrig varandra eftersom fältet bara har en riktning i varje punkt. Kring en ensam laddning går lika många linjer genom varje sfär, så tätheten avtar som $1/r^2$: samma inversa kvadratlag.

Nästa steg är elektrisk potential, energi per laddningsenhet, mätt i volt. Spänningen i vår guide till serie- och parallellkopplade kretsar är en potentialskillnad.

Coulomb och Newton sida vid sida

Här är de två lagarna:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Båda växer med produkten av två källstorheter och avtar med kvadraten på avståndet. Skillnaden är tecknet: laddning finns i två slag och massa i ett, så elektriska krafter kan dra till sig eller stöta bort, medan gravitationen bara drar till sig. Styrkorna skiljer sig åt med den ungefärliga faktorn $10^{39}$ som vi räknade ut ovan.

Newtons lagar omvandlar en Coulombkraft till acceleration precis som för andra krafter. Även tredje lagen gäller: i exemplet med tre laddningar trycker $q_3$ tillbaka på $q_1$ med samma 2,696 N, trots att $q_1$ har tre gånger så stor laddning. Vår guide till cirkelrörelse visar hur gravitationen ger den inåtriktade kraften i en bana; i Bohrs modell för väteatomen sköter Coulombattraktionen den uppgiften för elektronen.

Misstag som kostar poäng

• Att glömma kvadraten på avståndet. Dividerar du med 0,30 i stället för 0,090 i det första exemplet får du 0,12 N, inte 0,40 N.
• Att hoppa över enhetsomvandlingar. Mikro betyder $10^{-6}$, nano $10^{-9}$ och 30 cm är 0,30 m. Om båda laddningarna lämnas i mikrocoulomb blir kraften $10^{12}$ gånger för stor.
• Att läsa ett tecken som en riktning. Med laddningarnas tecken medräknade blir produkten av $q_2$ och $q_3$ negativ, vilket kan se ut som ”vänster”. Det betyder attraktion, och attraktion mot $q_2$ pekar åt höger. Väljer du vänster får du cirka 0,90 N, inte 4,49 N.
• Att addera storlekar som pekar åt olika håll. Storlekar adderas direkt bara när krafterna pekar åt samma håll. Motsatta krafter längs en linje subtraheras; krafter i vinkel behöver delas upp i komponenter.
• Att blanda ihop E och F. Ett fält i N/C hör till en punkt i rummet, en kraft i newton hör till en bestämd laddning.

De två första är räknefel. Vår guide till fysikmisstag som egentligen är matematikmisstag tar upp prefix och tiopotenser.

Öva med lagen

Området Elektrostatik i Physics Zen har tre delmoment: Laddning och Coulombs lag, Elektriskt fält och Elektrisk potential. De två första delmomenten är gratis på iPhone och Android; bara Elektrisk potential, det sista delmomentet, kräver Premium. Elektrostatik finns också på vägarna för A-Level, Abitur och Bac. Våra guider för A-Level-fysik, Abitur och Bac visar var det hör hemma.

Bestäm först åt vilket håll varje kraft pekar. Kontrollera sedan avståndet: det ska kvadreras, anges i meter och påverkar svaret mer än något annat i Coulombs lag.