Specifik värmekapacitet: genomräknade exempel med Q = mcΔT

Två koppar kan ta emot lika mycket energi och ändå bli olika varma. En liten kopp vatten värms mer än en stor. Ett kopparföremål och samma massa vatten reagerar olika de också. Specifik värmekapacitet är materialets del av jämförelsen. Ekvationen $Q=mc\Delta T$ är kort, men många felsvar kommer av att värme förväxlas med temperatur, att gram används till ett värde per kilogram eller att den negativa temperaturändringen vid avkylning glöms bort.

Vi räknar igenom uppvärmning, okänd massa, sluttemperatur, avkylning och blandning i ett isolerat system. En tabell över enhetsfel och en kontroll av energibalansen gör exemplen användbara i nya uppgifter. Värdena för vatten, koppar och aluminium kommer från OpenStax tabell över specifik värmekapacitet. De är representativa läroboksvärden, inte exakta konstanter vid varje temperatur.

Värme, temperatur och värmekapacitet är olika storheter

Temperaturen beskriver ett materials termiska tillstånd. Värmeöverföring $Q$ är energi som passerar en gräns på grund av en temperaturskillnad och mäts i joule. Ett varmt föremål ”innehåller” inte värme som en lagrad substans. Det har inre energi, och värme kan överföra energi till eller från det. Vår guide till arbete och energi introducerar den bredare energibokföring som gör skillnaden användbar.

Den specifika värmekapaciteten $c$ hör till ett material i en viss fas. I SI-enheter är den energi per kilogram och kelvin: $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Flytande vatten representeras ofta i grundläggande uppgifter av $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$, koppar av $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ och aluminium av $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Värdena säger hur mycket energi ett kilogram behöver för en ökning med en kelvin om ämnet stannar i samma fas. Även $c$ kan variera med temperaturen, så våra beräkningar antar att det är ungefär konstant över det angivna intervallet.

Ett bestämt föremåls värmekapacitet är $C=mc$ med enheten $\mathrm{J/K}$. Fördubbla massan av samma material, så fördubblas $C$ medan $c$ förblir oförändrat. För ett vattenprov på $0.250\ \mathrm{kg}$ är $C=0.250(4186)=1046.5\ \mathrm{J/K}$. I modellen behöver det ungefär $1047\ \mathrm{J}$ för varje ökning med en kelvin. Håll isär $c$ och $C$ så undviker du ett vanligt fel i uppgifter med flera föremål.

Läs Q = mcΔT med konsekventa enheter

Skriv temperaturändringen som sluttemperatur minus starttemperatur:

$$Q=mc\Delta T,\qquad \Delta T=T_f-T_i.$$

Här är $m$ massan och $Q$ energin som överförs till föremålet. Positiv $\Delta T$ ger positiv $Q$ vid uppvärmning. Negativ $\Delta T$ ger negativ $Q$ vid avkylning. Ekvationen beskriver uppvärmning eller avkylning utan fasbyte medan $c$ kan behandlas som konstant.

När $c$ anges i $\mathrm{J/(kg\cdot K)}$ måste massan vara i kilogram och temperaturskillnaden i kelvin. En skillnad i Celsius har samma numeriska storlek: från $20^\circ\mathrm{C}$ till $60^\circ\mathrm{C}$ är ändringen $40^\circ\mathrm{C}=40\ \mathrm{K}$. Lägg inte till 273,15 i en temperaturskillnad. Du kan också använda $\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$ med en skillnad i Celsius, men blanda aldrig en massa i gram med en värmekapacitet per kilogram.

Använd tabellen för att kontrollera storheter och enheter innan du sätter in tal. Varje rad kopplar den fysikaliska tolkningen till de värden formeln faktiskt tar emot. Om resultatet verkar orimligt, granska omvandlingarna innan du byter fysikmodell. Det bredare mönstret tas upp i fysikmisstag som egentligen är matematikmisstag.

Exempel 1: energi för att värma vatten

Värm $0.250\ \mathrm{kg}$ flytande vatten från $20^\circ\mathrm{C}$ till $60^\circ\mathrm{C}$. Använd $c_w=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$. Vattnet förblir flytande och vi bortser från energi som tas upp av kärlet och rummet. Ändringen är $\Delta T=60-20=40\ \mathrm{K}$. Alltså

$$Q=(0.250)(4186)(40)=41{,}860\ \mathrm{J}=41.86\ \mathrm{kJ}.$$

Kontrollera utan att upprepa hela multiplikationen: provets värmekapacitet är $1046.5\ \mathrm{J/K}$, så en ökning med $40\ \mathrm{K}$ kräver $40(1046.5)=41{,}860\ \mathrm{J}$. Enheterna stämmer också: $\mathrm{kg}\times\mathrm{J/(kg\cdot K)}\times\mathrm{K}=\mathrm{J}$. Plustecknet passar med att energi går in i vattnet.

Om ett värmeelement tillför mer energi kan skillnaden gå till behållaren och omgivningsluften. $Q=mc\Delta T$ gav energin vattnet tog emot, inte nödvändigtvis den elenergi som drogs ur vägguttaget.

Exempel 2: lös ut massa eller temperaturändring

Anta att $12{,}558\ \mathrm{J}$ överförs till flytande vatten och att temperaturen stiger med $20\ \mathrm{K}$. Lös ut massan innan du sätter in talen:

$$m=\frac{Q}{c\Delta T} =\frac{12{,}558}{4186(20)} =0.150\ \mathrm{kg}.$$

Det är $150\ \mathrm{g}$. Insättning bakåt ger $0.150(4186)(20)=12{,}558\ \mathrm{J}$. Om du fick $150\ \mathrm{kg}$ är ett fel mellan gram och kilogram den första misstanken.

För en annan obekant får $0.500\ \mathrm{kg}$ aluminium $9000\ \mathrm{J}$. Med $c_{Al}=900\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ blir temperaturökningen

$$\Delta T=\frac{Q}{mc}= \frac{9000}{0.500(900)}=20\ \mathrm{K}.$$

Börjar den vid $20^\circ\mathrm{C}$ blir sluttemperaturen $40^\circ\mathrm{C}$. Ökningen är $20\ \mathrm{K}$, men start- och sluttemperaturerna är angivna i Celsius. Båda påståendena stämmer, eftersom steg i kelvin och Celsius är lika stora även om skalornas nollpunkter skiljer sig.

Exempel 3: avkylning och negativt Q

Ett kopparstycke på $0.200\ \mathrm{kg}$ svalnar från $80^\circ\mathrm{C}$ till $30^\circ\mathrm{C}$. Med $c_{Cu}=387\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ blir $\Delta T=30-80=-50\ \mathrm{K}$:

$$Q_{Cu}=(0.200)(387)(-50)=-3870\ \mathrm{J}.$$

Minustecknet betyder att energi lämnade kopparstycket med vår konvention ”till föremålet”. Beloppet av energin som avgavs är $3870\ \mathrm{J}$. Säg inte att kopparstycket ”innehåller negativ värme”. Om ett annat föremål i ett isolerat system tar emot all denna energi blir dess $Q$ positivt $3870\ \mathrm{J}$. I ett öppet system kan en del gå till omgivningen, så hela beloppet får inte tillskrivas en enda mottagare utan mer information.

Rimlighetskontrollen håller: kopparstyckets värmekapacitet är $0.200(387)=77.4\ \mathrm{J/K}$. Multiplicera med en sänkning på $50\ \mathrm{K}$ och du får $3870\ \mathrm{J}$, med ett minustecken för energi som lämnar.

Exempel 4: blanda varmt koppar med svalt vatten

Lägg $0.200\ \mathrm{kg}$ koppar som börjar vid $90^\circ\mathrm{C}$ i $0.300\ \mathrm{kg}$ flytande vatten som börjar vid $20^\circ\mathrm{C}$. Föreställ dig ett isolerat kärl med försumbar värmekapacitet och utan fasbyte. Båda når samma sluttemperatur $T_f$. Energin koppar förlorar är lika stor som den vatten får:

$$Q_{Cu}+Q_w=0,$$ $$(0.200)(387)(T_f-90) +(0.300)(4186)(T_f-20)=0.$$

Värmekapaciteterna är $77.4\ \mathrm{J/K}$ för koppar och $1255.8\ \mathrm{J/K}$ för vatten. Lös ut:

$$T_f=\frac{77.4(90)+1255.8(20)}{77.4+1255.8} =24.06^\circ\mathrm{C}.$$

Det ligger mellan $20^\circ\mathrm{C}$ och $90^\circ\mathrm{C}$, närmare vattnets starttemperatur eftersom vattnets provvärmekapacitet är mycket större. Ett svar över $90^\circ\mathrm{C}$ eller under $20^\circ\mathrm{C}$ skulle strida mot antagandet om ingen yttre energi.

Kontrollera balansen med det oavrundade svaret: koppar har $Q_{Cu}=77.4(24.0639-90)=-5103.45\ \mathrm{J}$ och vatten $Q_w=1255.8(24.0639-20)=+5103.45\ \mathrm{J}$. Summan är noll bortsett från avrundning. OpenStax avsnitt om kalorimetri använder samma balans av förlust plus vinst. Ett verkligt kärl skulle också ta upp energi, så dess värmekapacitet hör hemma i en mer detaljerad balans.

När ekvationen är fel modell

Ekvationen förutsätter temperaturändring inom en och samma fas. Under smältning eller kokning kan energi komma in medan temperaturen förblir ungefär konstant vid övergången. Att sätta $\Delta T=0$ i $mc\Delta T$ och dra slutsatsen att ingen energi behövs är då fel modell. Dela upp en flerstegsfråga i temperatursteg med $mc\Delta T$ och fasbytessteg med $mL$ när uppgiften ger passande latent värme. OpenStax behandlar fasbyte separat.

Specifik värmekapacitet är inte heller exakt konstant vid varje temperatur eller fas, och ett öppet system håller inte all överförd energi i det nämnda provet. En grundläggande övning anger oftast $c$ och vilka förluster du ska försumma. Skriv antagandena bredvid ekvationen. För ett experiment eller en verklig apparat måste du mäta eller modellera kärlet, omgivningen och temperaturberoendet i stället för att tvinga ett enda läroboksvärde på allt.

I en ny uppgift: skriv upp föremålet, massan i kilogram, dess material och fas, $c$ med enhet och $T_f-T_i$. Avgör om $Q$ går in i eller ut ur föremålet. Vid blandning skriver du ett $Q$ med tecken för varje föremål och sätter summan till noll bara om systemet behandlas som isolerat. I området Värme och temperatur i Physics Zen kan du öva detta med nya värden och genomräknade lösningar. Målet är att kontroll av enheter och energibalans ska ingå i beräkningen, inte komma som en eftertanke.