Tunna linsens ekvation: exempel med reella och virtuella bilder

Placera ett föremål framför en samlingslins och flytta det mot glaset. På vissa avstånd kan du ställa en skärm på andra sidan och se en skarp bild. Flyttar du föremålet innanför brännvidden fångar skärmen inte längre någon bild. Tittar du genom linsen kan föremålet däremot se större ut. Tunna linsens ekvation beskriver båda fallen, om tecknen visar på vilken sida strålarna verkligen möts eller ser ut att mötas.

Uträkningen är kort. De flesta felen uppstår tidigare: skissen saknas, en virtuell bild får positivt avstånd eller förstoringens tecken tolkas som storlek. Vi håller oss till en uttalad konvention hela vägen och kontrollerar varje svar mot en strålbild.

Skissa linsen innan du väljer tecken

Rita en vågrät huvudaxel och en lodrät linje som lins. Placera föremålet till vänster. I fallen nedan går ljuset från vänster till höger. Märk ut en brännpunkt på avståndet $|f|$ från linsen på vardera sidan. Den enkla skissen visar var bilden ska placeras när du har räknat.

För en samlingslins går en stråle från föremålets topp parallellt med axeln och lämnar linsen mot brännpunkten på andra sidan. En stråle genom linsens centrum fortsätter ungefär rakt i modellen för tunna linser. Där de utgående strålarna skär varandra uppstår en reell bild. Om strålarna går isär förlänger du dem bakåt med streckade linjer. Bakåtförlängningarna möts i en virtuell bild; inget utgående ljus möts där. En spridningslins får en parallell infallande stråle att gå isär som om den kom från den närmaste brännpunkten.

Strålarna är idealiserade. En lins har tjocklek, och verklig avbildning kan avvika från approximationen med tunn lins och strålar nära axeln. Ekvationen och skisserna här förutsätter små vinklar och strålar nära huvudaxeln. OpenStax avsnitt om tunna linser visar ekvationen, strålkonstruktionerna och konventionen som används här.

Ekvationen och en teckenkonvention

Låt $d_o$ vara föremålets avstånd från linsen, $d_i$ bildavståndet och $f$ brännvidden. Då gäller

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.$$

Alla tre avstånd måste ha samma enhet. Centimeter fungerar om samtliga avstånd är i centimeter, och meter fungerar om alla är i meter. Svaret får samma enhet. Lös ut bildavståndet innan du sätter in tal:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}, \qquad d_i=\frac{fd_o}{d_o-f}.$$

För ett vanligt reellt föremål på sidan där ljuset kommer in använder vi konventionen reellt är positivt:

En del kurser använder kartesiska koordinater med andra tecken för positionerna. Blanda inte tecken från olika konventioner mitt i en uträkning. Om din kurs skriver ekvationen på annat sätt ska du följa dess definitioner konsekvent. De fysikaliska frågorna är desamma: åt vilket håll går strålarna, var möts de och hur är bilden orienterad?

Räkneexempel: reell bild med en samlingslins

Placera ett föremål $30\ \mathrm{cm}$ framför en samlingslins med $f=+10\ \mathrm{cm}$. Föremålet står längre bort än en brännvidd, så en reell bild på andra sidan är rimlig. Sätt in $d_o=+30\ \mathrm{cm}$:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30} =\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Alltså är $d_i=+15\ \mathrm{cm}$. Plustecknet placerar bilden på linsens andra sida. Kontrollera genom insättning: $1/10=1/30+1/15$. I skissen bryts den parallella strålen genom brännpunkten på andra sidan, där den korsar centrumstrålen. Bilden är reell, så en ideal skärm i det planet kan fånga de konvergerande strålarna.

Bilden är mindre och upp och ned. Beräkna det med förstoringen i stället för att gissa.

Förstoring: skilj orientering från storlek

Med samma konvention är den tvärgående förstoringen med tecken

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},$$

där $h_o$ och $h_i$ är föremålets och bildens höjd från huvudaxeln. Ett negativt $m$ betyder upp och ned, ett positivt $m$ betyder upprätt. Absolutbeloppet $|m|$ är förhållandet mellan bildens och föremålets höjd. Det är ingen längd och har ingen enhet.

För den första linsen är $m=-15/30=-0.50$. Ett föremål som är $4.0\ \mathrm{cm}$ högt skulle få $h_i=(-0.50)(4.0)=-2.0\ \mathrm{cm}$. Tecknet visar att föremålets topp avbildas nedanför axeln; höjdens belopp är $2.0\ \mathrm{cm}$. Kalla inte en höjd med minustecken för en fysiskt negativ storlek.

Räkneexempel: virtuell, förstorad bild

Behåll samlingslinsen med $f=+12\ \mathrm{cm}$, men placera föremålet bara $8.0\ \mathrm{cm}$ från den. Eftersom $d_o<f$ går de utgående strålarna isär. Deras bakåtförlängningar möts på föremålssidan. Förutse $d_i<0$ före uträkningen:

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{12}-\frac{1}{8} =-\frac{1}{24}\ \mathrm{cm^{-1}}, \qquad d_i=-24\ \mathrm{cm}.$$

Den virtuella bilden ligger $24\ \mathrm{cm}$ från linsen på föremålssidan. Förstoringen är

$$m=-\frac{-24}{8.0}=+3.0.$$

Bilden är alltså upprätt och tre gånger så hög som föremålet i den ideala modellen. Ingen skärm vid den virtuella bildens läge kan fånga ett strålknippe som bildar den där; läget bestäms genom att förlänga de utgående strålarna bakåt. Det är den viktiga skillnaden mellan att se en virtuell bild och att projicera en reell bild på en skärm.

Räkneexempel: spridningslins

Använd nu en spridningslins med $f=-15\ \mathrm{cm}$. Placera ett reellt föremål $30\ \mathrm{cm}$ framför den. Den negativa brännvidden är nödvändig; $+15\ \mathrm{cm}$ skulle beskriva en annan lins.

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-15}-\frac{1}{30} =-\frac{3}{30}=-\frac{1}{10}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

Därmed blir $d_i=-10\ \mathrm{cm}$, en virtuell bild på föremålssidan. Förstoringen är $m=-(-10)/30=+1/3$: upprätt och en tredjedel så hög. På skissen går strålarna isär efter linsen. Deras bakåtförlängningar skär varandra mellan linsen och den närmaste brännpunkten. Kontrollera med tecknen kvar: $-1/15=1/30-1/10$.

Med ett reellt föremål och en enkel spridningslins i den här modellen kan du vänta dig en virtuell, upprätt och förminskad bild. Uträkningen ovan visar mönstret för ett visst par avstånd. Det negativa $f$ ligger bakom det.

Vad händer i brännplanet?

I den omskrivna ekvationen $d_i=fd_o/(d_o-f)$ går nämnaren mot noll när ett reellt föremål närmar sig samlingslinsens brännvidd. När föremålet kommer utifrån, strax bortom $f$, blir $d_i$ stort och positivt. Inifrån blir det stort och negativt. Exakt vid $d_o=f$ är $1/d_i=0$: de utgående strålarna är parallella i idealmodellen och det finns inget ändligt bildavstånd att ange.

Sätt inte in $d_o=f$ i bråket och kalla räknarens divisionsfel för ett fysikaliskt svar. Rita parallella strålar och säg att bilden ligger i oändligheten i idealmodellen.

Tre uppgifter att försöka själv och sedan kontrollera

1. Reell bild och höjd. En samlingslins har $f=+20\ \mathrm{cm}$. Ett reellt föremål som är $3.0\ \mathrm{cm}$ högt står $60\ \mathrm{cm}$ bort. Bestäm bildavstånd och bildhöjd. Beräkning: $1/d_i=1/20-1/60=1/30\ \mathrm{cm^{-1}}$, så $d_i=+30\ \mathrm{cm}$. Sedan $m=-30/60=-0.50$ och $h_i=-1.5\ \mathrm{cm}$. Den reella bilden är upp och ned och hälften så hög.

2. Innanför brännvidden. En samlingslins har $f=+9.0\ \mathrm{cm}$ och ett reellt föremål vid $d_o=+6.0\ \mathrm{cm}$. Bestäm bilden och förstoringen. Beräkning: $1/d_i=1/9-1/6=-1/18\ \mathrm{cm^{-1}}$, alltså $d_i=-18\ \mathrm{cm}$. Sedan $m=-(-18)/6.0=+3.0$. Bilden är virtuell, upprätt och förstorad.

3. Spridningslins. Ett reellt föremål står $24\ \mathrm{cm}$ från en lins med $f=-12\ \mathrm{cm}$. Bestäm bildavstånd och bildtyp. Beräkning: $1/d_i=-1/12-1/24=-1/8\ \mathrm{cm^{-1}}$, så $d_i=-8.0\ \mathrm{cm}$. Eftersom bilden ligger på föremålssidan är den virtuell. Dessutom är $m=-(-8)/24=+1/3$, så den är upprätt och förminskad.

Linsens verkan börjar med att ljus byter riktning. Vår guide till Snells lag förklarar brytning vid en enda gränsyta. Öva linsberäkningar och bildtyper i området Optik i Physics Zen. Guiderna för A-Level-fysik, Abitur-fysik och Bac-fysik sätter optiken i ett bredare studiesammanhang.