Arkimedes princip: lyftkraft förklarad med exempel

Tryck ner en tom försluten flaska under ytan i en pool. Din hand känner att den trycker tillbaka. Släpp den så stiger flaskan tills bara en del är under vatten. Släpp sedan en metallnyckel i samma pool. Den sjunker, men vattnet trycker fortfarande uppåt på den. Skillnaden är om den uppåtriktade kraften kan balansera föremålets tyngd.

Arkimedes princip ger storleken på kraften: lyftkraften är lika stor som tyngden av vätskan föremålet tränger undan. Den gäller saker som flyter, sjunker och hålls under vatten. Beräkningen beror på hur stor del av föremålet som är nedsänkt. De flesta fel i uppgifter om lyftkraft kommer av att man använder hela föremålets volym när bara en del tränger undan vätska.

I exemplen använder vi vatten med densiteten $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ och tyngdaccelerationen $9.81\ \mathrm{m/s^2}$. Det är avrundade modellvärden. Vi antar att vattnets densitet är jämn, att föremålen inte suger upp vatten eller ändrar volym och att de står stilla om inte ett släpp uttryckligen diskuteras.

Varför kraften pekar uppåt

Vatten trycker på alla sidor av ett nedsänkt föremål. Trycket ökar med djupet, så vattnet trycker hårdare på undersidan än på ovansidan. I ett enkelt symmetriskt fall balanserar de vågräta trycken varandra och en resulterande uppåtriktad kraft återstår. OpenStax avsnitt om lyftkraft utvecklar tryckbilden och beskriver Arkimedes princip vid delvis och fullständig nedsänkning.

Det går att se resultatet på ett annat sätt. Ta bort föremålet i tanken och fyll tillbaka volymen med vattnet som trängdes undan. Vattnet skulle bäras upp av trycket från det omgivande vattnet. Sätt tillbaka föremålet: det omgivande vattnet ger fortfarande samma uppåtriktade stöd åt volymen som upptas. Därför är kraften uppåt lika stor som tyngden hos det undanträngda vattnet. Föremålets egen tyngd avgör om stödet räcker, inte om stödet alls finns.

Vid jämn vätskedensitet har den undanträngda vätskan massan $\rho_{\mathrm{fluid}}V_{\mathrm{displaced}}$. Multiplicera med $g$ för dess tyngd:

$$F_{\mathrm{b}}=\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{displaced}}$$

Enheterna kontrollerar formeln: $(\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm{m^3})=\mathrm{kg\,m/s^2}=\mathrm{N}$. Lyftkraft är en kraft i newton, inte en massa i kilogram. UC Santa Barbaras demonstration av Arkimedes princip visar formeln och jämför hur mycket en vågs utslag minskar med vattnet som samlas upp från ett nedsänkt klot.

Vilken volym ska in i formeln?

Använd volymen undanträngd vätska. Den är exakt lika stor som den del av föremålet som ligger i vätskan, förutsatt att vätskan inte kan passera genom föremålet.

• För ett fast föremål helt under vatten är den undanträngda volymen lika stor som föremålets hela yttre volym.
• För ett föremål som flyter delvis över ytan är den undanträngda volymen bara volymen under vatten.
• När ett föremål sänks ner i vatten växer den undanträngda volymen i takt med nedsänkningen, tills hela föremålet är under ytan.

Formeln frågar inte efter föremålets massa eller densitet när lyftkraften ska beräknas direkt. De storheterna behövs när du jämför lyftkraft med tyngd eller hittar flytläget. Rita vattenlinjen och använd sedan bara volymen nedanför.

Genomräknat exempel: ett sjunkande föremål som hålls under vatten

Ta ett kompakt föremål med massan $1.0\ \mathrm{kg}$ och yttre volymen $0.5\ \mathrm{L}=0.0005\ \mathrm{m^3}$. Sänk ner det helt i vatten med en tunn krok på en våg. Håll det upphängt utan att det vidrör botten. Bortse från luftens lilla lyftkraft när tyngden i luft skrivs $mg$.

Tyngden är

$$W=mg=(1.0)(9.81)=9.81\ \mathrm{N}$$

Föremålet är helt nedsänkt och tränger därför undan $0.0005\ \mathrm{m^3}$ vatten. Lyftkraften är

$$F_{\mathrm{b}}=(1000)(9.81)(0.0005)=4.905\ \mathrm{N}$$

Tyngdkraften drar fortfarande nedåt med $9.81\ \mathrm{N}$. Vattnet trycker uppåt med $4.905\ \mathrm{N}$. Vågen ger resten av kraften uppåt, så den visar

$$T=W-F_{\mathrm{b}}=9.81-4.905=4.905\ \mathrm{N}$$

Det avlästa värdet är föremålets skenbara tyngd när det hänger under vatten. NASAs lektion om lyftkraft använder samma subtraktion i andra enheter. Föremålet har inte förlorat massa. Vattnet bär en del av tyngden. Lossar du kroken är tyngden större än lyftkraften och föremålet accelererar nedåt. Når det botten tillkommer en kontaktkraft därifrån, så ekvationen för den upphängda vågen beskriver inte längre hela kraftbalansen.

Rita krafterna innan du avgör om det flyter

Metoden för kraftdiagram är särskilt användbar här. Rita bara krafter på föremålet. För det upphängda föremålet ritar du tyngden $W$ nedåt, lyftkraften $F_{\mathrm{b}}$ uppåt och spännkraften från vågen $T$ uppåt. I vila gäller $T+F_{\mathrm{b}}-W=0$. Om vågen släpper föremålet tar du bort $T$ och använder Newtons andra lag för den återstående resulterande kraften.

För ett fritt flytande föremål i vila finns ingen våg och ingen kontakt med botten. Bara tyngd och lyftkraft balanserar:

$$F_{\mathrm{b}}=W$$

Likheten är ett resultat av jämvikt. Den betyder inte att vattnet på något sätt vet föremålets tyngd i förväg. Föremålet rör sig tills tillräckligt mycket av det är under ytan för att tränga undan vatten med samma tyngd. Mer last får ett flytande föremål att sjunka djupare, mindre last får det att stiga. Vår guide till Newtons lagar förklarar varför noll resulterande kraft beskriver vila eller jämn rörelse, medan obalanserad kraft ändrar rörelsen.

Genomräknat exempel: hur mycket av en kloss ligger under ytan?

Ta en försluten kloss med hela volymen $1.0\ \mathrm{L}=0.001\ \mathrm{m^3}$ och medeldensiteten $600\ \mathrm{kg/m^3}$. Dess massa är $(600)(0.001)=0.6\ \mathrm{kg}$, så tyngden är

$$W=(0.6)(9.81)=5.886\ \mathrm{N}$$

Låt klossen flyta fritt. I vila måste det undanträngda vattnet väga $5.886\ \mathrm{N}$. Lös ut vattenvolymen:

$$V_{\mathrm{displaced}}=\frac{W}{\rho_{\mathrm{water}}g} =\frac{5.886}{(1000)(9.81)} =0.0006\ \mathrm{m^3}=0.6\ \mathrm{L}$$

Alltså är $0.6/1.0=0.60$, eller 60 procent av klossens volym, under vatten. Resterande 40 procent är över ytan i den ideala modellen. Det följer också direkt av densitetsförhållandet:

$$\frac{V_{\mathrm{submerged}}}{V_{\mathrm{object}}} =\frac{\rho_{\mathrm{object,average}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}} =\frac{600}{1000}=0.60$$

Genvägen förutsätter att föremålet flyter fritt i jämvikt, att vätskan har jämn densitet och att föremålets medeldensitet beräknats med dess yttre volym. Det är ingen formel för hur stor del av ett sjunkande föremål som är under vatten när det hålls uppe av ett rep eller vilar på botten. Förhållandet kan inte heller överstiga ett vid fritt flytande jämvikt i detta enkla fall: om föremålets medeldensitet överstiger vätskans kan det inte tränga undan tillräckligt mycket vätska och samtidigt flyta.

Tryck nu samma kloss helt under vatten och håll den där. Den tränger undan hela $1.0\ \mathrm{L}$, så lyftkraften blir $(1000)(9.81)(0.001)=9.81\ \mathrm{N}$. Tyngden är fortfarande $5.886\ \mathrm{N}$. Innan den kvarhållande kraften appliceras skulle den resulterande kraften vara $9.81-5.886=3.924\ \mathrm{N}$ uppåt. Därför måste du trycka nedåt för att hålla klossen nedsänkt. Använd inte $9.81\ \mathrm{N}$ som lyftkraft när den flyter fritt; då är lyftkraften $5.886\ \mathrm{N}$ eftersom bara $0.6\ \mathrm{L}$ är under vatten.

Området Vätskor och gaser i Physics Zen ger undanträngd volym och kraftbalans en egen plats i kursen. Räkna först om volymen till kubikmeter och jämför sedan krafter i newton.

Två korta övningsuppgifter

Uppgift 1. Ett stelt föremål helt under vatten tränger undan $0.002\ \mathrm{m^3}$ vatten. Bestäm lyftkraften med modellvärdena ovan. Svaret är $(1000)(9.81)(0.002)=19.62\ \mathrm{N}$ uppåt. Du behöver inte massan för detta steg. Den behövs om du vill avgöra om föremålet stiger när det släpps.

Uppgift 2. Ett förslutet föremål som flyter fritt har medeldensiteten $750\ \mathrm{kg/m^3}$ i modellvattnet. Hur stor andel av volymen är nedsänkt? Svaret är $750/1000=0.75$, eller 75 procent. Om dess yttre volym är $2.0\ \mathrm{L}$ är volymen under vatten $1.5\ \mathrm{L}$. Kontrollera med massan: $(750)(0.002)=1.5\ \mathrm{kg}$, lika med massan hos $1.5\ \mathrm{L}$ modellvatten.

Vanliga misstag att fånga upp

Hela volymen används för ett delvis flytande föremål. Bara den nedsänkta delen tränger undan vätska. Bestäm den delen ur jämvikten i stället för att anta att den är hela klossen.

Ett sjunkande föremål antas sakna lyftkraft. Kraften uppåt på det sjunkande föremålet kan vara stor; den räcker bara inte till för att balansera tyngden när föremålet släpps.

Skenbar tyngd behandlas som ändrad gravitation. Föremålets tyngd är fortfarande $mg$. Vågen visar mindre eftersom vattnet ger ytterligare en kraft uppåt.

Liter och kubikmeter blandas. En liter är $0.001\ \mathrm{m^3}$. Omvandla innan du multiplicerar med en densitet per kubikmeter.

Densitetsförhållandet används utanför sina antaganden. Ett föremål som hålls nere, stöds av botten eller ligger i en vätska med varierande densitet kräver sin verkliga kraftbalans. Rita diagrammet och gå tillbaka till undanträngd volym.

Vanliga frågor

Ökar lyftkraften med djupet?

I modellen med konstant densitet ändras inte den undanträngda volymen när ett redan helt nedsänkt stelt föremål flyttas djupare, så $\rho gV$ förblir densamma. Medan föremålet sänks ner ökar lyftkraften när mer av volymen hamnar under ytan. Andra förhållanden, som ett kompressibelt föremål eller en vätska vars densitet ändras med djupet, kräver en annan analys.

Varför flyter ett tungt fartyg när en liten metallnyckel sjunker?

Tyngden ensam avgör inte. Ett fartygsskrov omsluter utrymme och har tillräckligt låg medeldensitet när den volymen räknas med för att tränga undan vatten lika tungt som fartyget innan vattenlinjen når toppen. En kompakt nyckel har högre medeldensitet än vatten, så inte ens full nedsänkning ger tillräcklig lyftkraft för att balansera tyngden.

Är undanträngt vatten samma sak som vatten som rinner över?

Undanträngd volym är volymen där föremålet hindrar vatten från att finnas. I ett kärl som rinner över kan en lika stor mängd vatten rinna ut. I en pool stiger vattennivån i stället. Lyftkraften beror på tyngden av den undanträngda vätskan, inte på om du samlar upp vatten som rinner över.