都卜勒效應公式：符號選擇與聲音題目詳解

喇叭始終發出固定頻率的聲音。載著喇叭的車駛近時，你聽到的音調更高；駛過後，音調變低。聲源沒有重新調節喇叭。運動改變了波前到達你的頻率。都卜勒效應公式可以算出這個變化，但如果只死記“分子加、分母減”，很容易把兩個符號弄反。

這裡討論聲音在靜止空氣中傳播，聲源與聽者都沿兩者之間的直線運動。先用一張表明確符號，再對同一個發聲頻率計算兩次：一次移動聲源，一次讓聽者以相同速度移動。最後一例讓雙方同時運動。之所以要成對比較，是因為聲音有介質：前兩種運動相似，卻並非完全相同的數學情況。

先認清聲源、聽者和介質

把發聲頻率記作 $f_s$，聽者聽到的頻率記作 $f_o$。設 $v$ 為聲音相對於空氣的速度，$v_s$ 為聲源相對於空氣的速度，$v_o$ 為聽者相對於空氣的速度。三個速度必須使用相同單位，通常是公尺每秒。例題中的 $v=340\ \mathrm{m/s}$是題目給定值，並非所有空氣條件下的通用聲速。

區分聲源與聽者有物理原因。移動的聲源會在新位置發出下一個波峰，前方的波峰間距縮短，因此空氣中的波長變短。移動的聽者不改變這個波長，只是更頻繁或更少地穿過已有的波峰。OpenStax 根據這兩點推導了兩種情況。

代入前，從聲源向聽者畫一支箭頭。標出每個物體沿箭頭方向怎樣運動。車從視野中橫向駛過，不能把全部車速直接放進這條一維公式。若路徑成角度，有關的速度是該時刻沿視線方向的分量；入門題應遵循課程指定的幾何條件與符號約定。

聲音公式與符號選擇表

對於靜止空氣中沿同一直線的運動，可以寫成：

$$f_o=f_s\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}.$$

成對符號只是簡寫，不是讓你同時選兩處的上方符號。根據聽者的運動獨立選擇分子，根據聲源的運動獨立選擇分母：

靜止物體的速度設為零。雙方互相靠近時，兩項選擇都使結果升高：$f_o=f_s(v+v_o)/(v-v_s)$。雙方分離時，兩項都使結果降低：$f_o=f_s(v-v_o)/(v+v_s)$。物體越過聽者後方向可能反轉，不要繼續使用靠近時的符號。

簡單的極限檢查能發現嚴重的符號錯誤：令 $v_s=v_o=0$，公式必須得到 $f_o=f_s$。靠近時結果應高於發聲頻率，遠離時應低於它。違反任一條件，都應先檢查示意圖，再檢查計算。低速運動的頻移通常不大；若出現十倍差距，常見原因是單位混用或分母符號填錯。

例題 1：聲源靠近靜止聽者

喇叭以 $f_s=680\ \mathrm{Hz}$發聲。車輛載著它以 $v_s=34\ \mathrm{m/s}$的速度靠近靜止的聽者。取 $v=340\ \mathrm{m/s}$。聽者不動，所以 $v_o=0$。聲源靠近，分母要減去它的速度：

$$f_o=680\frac{340}{340-34} =680\frac{340}{306} =755.6\ \mathrm{Hz}.$$

這比原聲高約 $75.6\ \mathrm{Hz}$。檢查倍數：$340/306=1.111\ldots$大於一，符合聲源靠近的情況。速度單位約去後留下赫茲。這是簡化、穩定運動條件下的理想瞬時頻率，並非音量預測。

若同一輛車已經駛過，並以相同速度遠離呢？只有分母的符號改變：

$$f_o=680\frac{340}{340+34} =618.2\ \mathrm{Hz}.$$

靠近與遠離時的頻率並不恰好在 $680\ \mathrm{Hz}$上下對稱。分母分別是 $306$和 $374$，因此頻率相對原聲的變化並不對稱。不要把靠近時的升幅直接從原頻率中減掉來猜遠離時的音調。

也可以用數值看到波長的解釋。相鄰波峰發出的時間間隔為 $1/680\ \mathrm{s}$。在這段時間裡，聲源前進 $34/680=0.050\ \mathrm{m}$，一個波前在空氣中前進 $340/680=0.500\ \mathrm{m}$。在移動聲源前方，連續波峰相距 $0.500-0.050=0.450\ \mathrm{m}$。靜止聽者接收它們的頻率是 $340/0.450=755.6\ \mathrm{Hz}$，從另一條路徑得到相同答案。

例題 2：改為移動聽者

讓喇叭相對於空氣靜止，仍以 $680\ \mathrm{Hz}$發聲。現在聽者以 $v_o=34\ \mathrm{m/s}$向喇叭靠近。空氣中的波長保持 $v/f_s=340/680=0.500\ \mathrm{m}$。聽者以相對速度 $340+34=374\ \mathrm{m/s}$遇到波峰：

$$f_o=680\frac{340+34}{340} =748.0\ \mathrm{Hz}.$$

比較 $748.0\ \mathrm{Hz}$與例題 1 的 $755.6\ \mathrm{Hz}$。兩者都高於 $680\ \mathrm{Hz}$，但在這個速度下，聲源移動產生的頻移稍大。對介質中的聲音，如果只用一個籠統的“相對速度”取代兩種運動，就會掩蓋差別。聲源改變波長，聽者改變穿過波前的頻率。

若聽者改為遠離，分子使用 $v-v_o$：$680(340-34)/340=612.0\ \mathrm{Hz}$。這低於聲源遠離時的 $618.2\ \mathrm{Hz}$。同速比較在駛過前後都適用。

這張表是本指南獨立計算的檢驗表。每欄的發聲頻率、聲速和運動物體的速度都相同，唯一改變的是哪個物體運動。做完任何都卜勒計算後，都可以用它自查。

例題 3：雙方互相靠近

仍用 $680\ \mathrm{Hz}$的喇叭和 $340\ \mathrm{m/s}$的聲速。這次聲源以 $20\ \mathrm{m/s}$向聽者靠近，聽者以 $10\ \mathrm{m/s}$向聲源靠近。兩種運動都應提高聽到的頻率。聽者的速度加到分子，聲源的速度從分母減去：

$$f_o=680\frac{340+10}{340-20} =680\frac{350}{320} =743.75\ \mathrm{Hz}.$$

倍數 $350/320=1.09375$大於一。再做一次檢查：去掉聽者的運動，結果是 $680(340/320)=722.5\ \mathrm{Hz}$。加入靠近的聽者後升到 $743.75\ \mathrm{Hz}$，正如圖示所預測。如果聲源仍在靠近，但聽者以 $10\ \mathrm{m/s}$遠離，兩種影響就會相互競爭：$680(330/320)=701.25\ \mathrm{Hz}$。不能把整個情境簡單標成“靠近”，必須分別選兩個符號。

保證結果有意義的適用範圍

這些例題討論的是經典聲學。速度以指定的介質為基準，這裡是靜止空氣；直線公式使用沿聲音傳播路徑的運動。風會改變相對於空氣的速度，側向路徑則要分解速度。這裡聲源低於聲速。靠近的聲源速度趨近 $v_s=v$時，分母趨近零。這表示公式所用的分離波前模型失效，不代表聽者會聽到無限大的頻率。音爆和衝擊波需要其他模型。

光也有都卜勒頻移，但它能在真空中傳播，沒有類似空氣的介質。不能把光速放進這個聲音分式，再假定虛構的靜止空氣來分別測聲源和聽者的速度。OpenStax 的光學章節給出基於相對運動的相對論關係。靠近使頻率升高的物理思路仍適用，但計算方法不同。

遇到新的聲音問題，先連同單位寫下 $f_s$、$v$、$v_s$和 $v_o$，畫出運動，再查符號表。用靠近或遠離的方向，以及速度為零時的極限檢查答案。如果難點在於判定運動物體的方向，運動學指南有保持速度符號一致的方法。Physics Zen 的波動與聲音主題提供使用新數值的都卜勒練習、即時核對和逐步解答。清楚的示意圖加兩項檢查，比死記一行符號更有幫助。