受力分析圖怎麼畫：避免失誤的五步方法

入門力學的許多錯誤答案，在寫出任何公式前就已經註定了：力畫錯了、漏畫了，或把根本不是力的量畫成箭頭。圖一旦畫對，後面的代數計算通常就順了。

受力分析圖是簡單的工具：單獨畫一個物體，用箭頭標出所有作用在它身上的力。它的力量在於要求你嚴格區分。在使用牛頓第二定律前，你必須確定研究物件，說清每個力的名稱和施力者，並定下方向。

本文給出五步方法，逐一解常見情形，並列出考試中最常見的錯誤。我們假設你已瞭解第二定律；如需先複習，請讀把受力分析圖放在具體情境中介紹的牛頓定律指南。

第 1 步：選定物體，單獨畫出

準確決定“研究的物體”是什麼。斜面上的箱子、箱子與斜面合在一起，或推箱子的人，是三個不同的系統，要畫三張不同的圖。把選擇寫下來。

然後只畫這個物體。一個點或小方框就夠了。地板、繩子、牆以及所有接觸它的其他東西都去掉。它們只透過施加的力出現在圖上。

“自由體”的“自由”就在這裡：把物體從周圍環境中分離，迫使每一種相互作用都明確表示出來。如果圖中箱子下面仍畫著斜面，你就容易忘記斜面在推箱子。

第 2 步：列出每個真實的力及施力者

按固定順序檢查接觸力和場力，以免漏掉。

重力。 地球附近有質量的物體都受到地球鉛直向下施加的重力 $mg$。物體不動時也有重力。

正向力。 每個接觸物體的表面都垂直於自身、朝離開表面的方向推它。地板向上推，牆向側面推，斜面則沿斜面的法線方向推。

摩擦力。 物體接觸的每個粗糙表面也可能沿表面施加一個力，阻礙滑動或滑動的趨勢。動摩擦力反對滑動，靜摩擦力反對沒有它時將發生的運動。

繩的拉力。 連在物體上的繩、線或纜索會沿繩方向向物體外側拉它。繩子不會推。

外加力。 把題目給出的推力或拉力按指定角度畫出。

彈簧力、阻力、升力、浮力、電場力或磁力也應按題目需要加入。

對每個力，說出誰在施加它，比如“地板的正向力”“左側繩的拉力”。說不出來源，就不該出現在圖上。僅這一項檢查就能消除大多數憑空加上的力。

第 3 步：從物體出發，沿真實方向畫每個力

每支箭頭都從點出發，指向該力實際作用的方向。大力的箭頭畫得長些有幫助，但不是必須；方向才是關鍵。

給箭頭標上後面公式會使用的符號：$W$或 $mg$、$N$、$f$、$T$、$F$。若同類力有兩個，要區分：$T_1$和 $T_2$、$N_{\text{floor}}$和 $N_{\text{wall}}$。

不要畫研究物件對其他物體施加的力。箱子向下壓地板，但該力作用在地板上，應出現在地板的圖中，而不是箱子的圖中。牛頓第三定律的一對力作用在不同物體上，因此不會同時出現在同一張受力分析圖裡。

第 4 步：沿運動選擇座標軸

在圖旁畫一對小座標軸。一個軸與加速度方向對齊；若物體沿表面運動，也可沿表面放置。平地通常採用水平和鉛直方向。斜面則採用沿斜面和垂直斜面的方向。

理由很實際。座標軸順著斜面時，正向力和摩擦力恰好沿軸，只需分解重力。若在斜面題上仍用水平、鉛直軸，就要分解三個力，而不是一個，代數計算量也會變成三倍。

物體沒有加速度時，任何方向都可行，但同樣的原則仍能減少需要分解的力。

第 5 步：沿每個軸寫第二定律

逐軸讀圖。把第一個軸的力分量相加，設為該軸上的 $ma$；第二個軸也一樣。指向負方向的力加負號。沒有加速度的軸，等式右邊是零。

圖已經完成它的任務。方程只是把圖轉寫成符號，而不是從頭再猜一次。圖正確，方程也會正確。

求解後用圖檢查。摩擦力算出負值，表示真實方向與你畫的箭頭相反。正向力算出負值，表示表面需要拉物體，但表面做不到，因此物體已離開表面，模型也要改變。

解題案例：在粗糙地板上推動箱子

一個 10 kg 的箱子受 40 N 的水平推力，在動摩擦係數為 0.3 的地板上移動。求加速度。

研究物件是箱子。力有：向下的重力 $mg$（地球）、向上的正向力 $N$（地板）、與運動相反的摩擦力 $f$（地板）、向前的外加力 $F$（推力）。共四支箭頭。

取 $x$軸沿推力方向，$y$軸向上。鉛直方向無加速度，所以：

$$N - mg = 0$$

得到 $N = 98\ \text{N}$。水平方向：

$$F - f = ma$$

其中 $f = \mu N = 0.3 \times 98 = 29.4\ \text{N}$，所以 $a = (40 - 29.4)/10 = 1.06\ \text{m/s}^2$。

注意摩擦力取決於正向力，而正向力來自鉛直方向的方程。圖讓這種依賴關係一目瞭然：摩擦力和正向力都是同一表面施加的箭頭。

解題案例：斜面上的物塊

一個物塊位於傾角 $\theta$的斜面上。力有：鉛直向下的重力 $mg$、垂直於斜面的正向力 $N$、沿斜面的摩擦力 $f$。共三支箭頭。

座標軸分別沿斜面和垂直斜面。重力分為沿斜面向下的 $mg\sin\theta$，以及壓入斜面的 $mg\cos\theta$。垂直方向：

$$N - mg\cos\theta = 0$$

對於沿斜面下滑並受到動摩擦力的物塊，沿斜面方向：

$$mg\sin\theta - \mu N = ma$$

因此 $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$。

這裡最常見的錯誤是把正向力畫成鉛直向上。它垂直於接觸面，在斜面上就不鉛直，這正是 $N$小於 $mg$的原因。第二常見錯誤是分解重力時把正弦與餘弦用反。這屬於幾何檢查而不是新的物理問題；我們的物理題中的數學錯誤指南教你每次如何分辨。

解題案例：繩上懸掛的重物

一個重物掛在繩上，受到向上的拉力，並以 $a$加速。力有：向下的重力 $mg$和向上的繩拉力 $T$。兩支箭頭。取鉛直軸向上為正：

$$T - mg = ma$$

所以 $T = m(g + a)$。若重物向下加速，$a$為負，$T$小於 $mg$。若繩鬆弛，$T$為零，圖中只剩一支箭頭。

兩力在一條線上，這張圖仍能發現一個常見錯誤：重物向下移動時，額外畫一個向下的“運動力”。運動不是力。重物向下是因為重力大於繩拉力，而圖中已有這兩個力。

考試中最常見的五個錯誤

1. 把合力另畫成箭頭。 合力是已畫箭頭的總和，不是額外一個力。再畫一次就重複計算。
2. 把向心力另畫成箭頭。 在圓周運動中，向內的力由張力或摩擦力等圖上已有的真實力提供。圓周運動指南教你如何看出它們。不要另加“向心力”箭頭。
3. 把速度或加速度畫成力。 它們都不是力。若想標出加速度，另用不同樣式畫在圖旁。
4. 忘記接觸。 接觸物體的每個表面、繩子和手都會施加力。畫圖前沿物體邊緣檢查並列出所有接觸處。
5. 在斜面上把正向力畫成鉛直，或把摩擦力畫成垂直於表面。 正向力垂直於表面，摩擦力平行於表面。畫箭頭前把這兩句話說出來。

30 秒檢查表

• 只選一個物體，單獨畫出並寫明名稱。
• 地球施加的重力鉛直向下。
• 每個接觸面對應一個正向力，垂直於該表面。
• 每個粗糙表面的摩擦力沿表面，阻礙滑動。
• 每條繩的拉力沿繩，向物體外側拉。
• 外加力按題目給定角度畫出。
• 不把合力、向心力、速度、加速度另畫成力的箭頭。
• 座標軸沿加速度或接觸面。
• 每個軸寫一條第二定律方程，負方向的力帶負號。

在 Physics Zen 的動力學主題練習這一方法。牛頓定律、摩擦力和斜面技能每次給新情境，並檢查受力方程。接著把方法帶到圓周運動主題，那裡只有先畫圖才能正確判斷向內的力來自哪裡。

受力分析圖並非正式解題前的例行手續。畫圖本身就是核心工作。圖畫好了，物理題就變成相對容易處理的代數題。