拋體運動公式：平地與懸崖的完整例題

球以 20 m/s、仰角 30 度從地面射出，落在約 35 m 外。用相同方式從 15 m 高的懸崖丟擲，落點約在 53 m 外。不少學生在懸崖題也算出 35 m，因為沒檢查射程公式的前提就直接使用。拋體公式本身不難，真正的能力是判斷眼前的發射條件允許使用哪條式子。

本文只採用一套符號約定，用表列出每個方程的適用條件，然後分別從平地和懸崖計算同一發射，另解一個從桌面水平飛出的球。所有數字取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$，忽略空氣阻力。

把發射分成兩種運動

先畫圖。標出發射點、地面，以及初速度 $v_0$相對水平線仰角 $\theta$的箭頭。原點放在發射點，規定向上為正、向前為正。隨後分解初速度：

$$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.$$

之後就是共享同一時鐘的兩道一維題。水平上球離手後不再受推力，因此 $a_x=0$，$v_x$保持為 $v_{0x}$。鉛直方向重力產生恆定的 $a_y=-g$。OpenStax 的拋體運動章節正是基於忽略空氣阻力時兩個垂直方向的運動相互獨立。AP Physics 1 課程框架也一句話指出：拋體是二維運動，一個方向加速度為零，另一個方向加速度非零且恆定（College Board，AP Physics 1 CED，主題 1.5）。

若連分解這一步都不穩，我們的運動學指南解釋每個軸要使用的一維等加速度計算。

哪條方程在這裡有效？

此模型中的任何拋體都可用四條通式描述。另有從它們匯出的三條捷徑，每條都帶有容易忘記的條件。

OpenStax 明確指出兩個限制：落地高度不同時不能用飛行時間捷徑，射程公式也僅適用於從水平地面發射並在同一高度落地。最大高度式在懸崖題中仍有效，因為只用到球到弧線頂端前的鉛直運動，那裡 $v_y=0$。它求的是球高於發射點多少，而不是高於崖下地面多少。

把表中前兩式的 $t$消去，得到拋物線軌跡：

$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

它適合作獨立檢驗，下面的懸崖例題會用到。

例題 1：平地上 20 m/s、30° 發射

先求分量：$v_{0x}=20\cos 30^\circ=17.32\ \mathrm{m/s}$，$v_{0y}=20\sin 30^\circ=10.0\ \mathrm{m/s}$。

飛行時間。 發射和落地同高，可以使用捷徑：

$$T=\frac{2(10.0)}{9.81}=2.04\ \mathrm{s}.$$

另法檢驗：球在 $v_y=0$時到達頂端，時刻為 $t=10.0/9.81=1.02\ \mathrm{s}$。平地上下降過程與上升對稱，總時間加倍為 2.04 s。

最大高度。

$$H=\frac{(10.0)^2}{2(9.81)}=5.10\ \mathrm{m}.$$

也可把到頂端的時間代入高度式核對：$y=10.0(1.02)-4.905(1.02)^2=5.10\ \mathrm{m}$。

射程。

$$R=\frac{(20)^2\sin 60^\circ}{9.81}=35.3\ \mathrm{m}.$$

不用捷徑可算 $x=v_{0x}T=17.32\times 2.04=35.3\ \mathrm{m}$。兩種方法答案一致，才能放心進入下一題。若課程採用 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$（Physics Zen 的 AP 物理 1 練習如此），結果只在第三位改變：2.04 s、5.10 m、35.3 m 四捨五入後仍相同。

例題 2：從 15 m 懸崖以相同方式發射

仍以 20 m/s、30° 發射，但起點改為高出平地 15 m 的懸崖邊。原點在發射點，所以落地時 $y=-15\ \mathrm{m}$。球落在更低處，射程捷徑不能用，改用高度通式：

$$-15=10.0\,t-4.905\,t^2.$$

整理成 $4.905t^2-10.0t-15=0$，用求根公式得：

$$t=\frac{10.0\pm\sqrt{(10.0)^2+4(4.905)(15)}}{2(4.905)}=\frac{10.0\pm 19.86}{9.81},$$

所以 $t=3.04\ \mathrm{s}$或 $t=-1.00\ \mathrm{s}$。負根代表發射之前，同一條拋物線上的球向上經過地面高度的時刻。代數上成立，但對這次實際運動無關，應捨去。把留下的正根代回檢驗：$10.0(3.044)-4.905(3.044)^2=-15.0$。如何選根是我們看似物理錯誤、實為數學錯誤中討論的失誤之一。

懸崖射程。

$$x=17.32\times 3.044=52.7\ \mathrm{m}.$$

再用軌跡式驗證：當 $x=52.7\ \mathrm{m}$，$y=52.7\tan 30^\circ-\dfrac{9.81(52.7)^2}{2(20)^2\cos^2 30^\circ}=30.4-45.4=-15.0\ \mathrm{m}$。球恰好到達地面。

錯誤捷徑的代價。 若仍套用 $R=v_0^2\sin 2\theta/g$，就會得到平地答案 35.3 m；真實射程是 52.7 m。捷徑少算 17.4 m，約為真實距離的 33%，而公式本身不會警告你。最大高度仍是比發射點高 5.10 m，也就是比崖下地面高 20.1 m。

著地速度。 落地時 $v_y=10.0-9.81(3.044)=-19.86\ \mathrm{m/s}$，$v_x$仍為 17.32 m/s。因此：

$$v=\sqrt{17.32^2+19.86^2}=26.3\ \mathrm{m/s},$$

方向在水平線下方，角度 $\arctan(19.86/17.32)=48.9^\circ$。能量法也獨立得到速率：$v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{20^2+2(9.81)(15)}=26.3\ \mathrm{m/s}$。功與能量指南解釋這條捷徑為什麼有效。

45° 仍然最遠嗎？ 從懸崖發射時不是。固定 20 m/s 和 15 m 落差，對幾個角度解同一二次方程：

這幾個角度中 37° 最遠，45° 甚至比 30° 更近。高處發射已經增加滯空時間，所以更平、更快的水平分量帶來更大收益。

例題 3：從桌面滾落的球

球從 0.90 m 高的桌面以 3.0 m/s 滾落。此時 $\theta=0$，$v_{0x}=3.0\ \mathrm{m/s}$，$v_{0y}=0$。再次出現不同的發射和落地高度，因此只用通式。

下落時間。 $v_{0y}=0$時，高度式變為 $-0.90=-4.905t^2$：

$$t=\sqrt{\frac{2(0.90)}{9.81}}=0.428\ \mathrm{s}.$$

這個時間與在桌邊直接向下鬆開的球相同。水平速度不會延緩下落。

落點。 從桌腳水平量，$x=3.0\times 0.428=1.29\ \mathrm{m}$。LibreTexts 的拋體運動頁面也這樣處理從高處水平發射，並給出下落時間 $\sqrt{2H/g}$。

撞擊速率和角度。 $v_y=-9.81(0.428)=-4.20\ \mathrm{m/s}$，所以：

$$v=\sqrt{3.0^2+4.20^2}=5.16\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=\arctan\frac{4.20}{3.0}=54.5^\circ$$

方向在水平線下方。用能量式檢驗同樣得到 $\sqrt{3.0^2+2(9.81)(0.90)}=5.16\ \mathrm{m/s}$。

兩道練習題與答案

1. 平地。 球以 15 m/s、仰角 60° 從平地踢出。求飛行時間、最大高度和射程。答案：$v_{0y}=13.0\ \mathrm{m/s}$、$T=2.65\ \mathrm{s}$、$H=8.60\ \mathrm{m}$、$R=19.9\ \mathrm{m}$。三個捷徑在此均可使用；再用 $v_{0x}T=7.5\times 2.65$檢查射程。

2. 水平發射。 從水面上方 20 m 的平臺，以 12 m/s 水平扔出一塊石頭。它飛行多久、落在多遠、撞擊時速率是多少？答案：$t=\sqrt{2(20)/9.81}=2.02\ \mathrm{s}$、$x=24.2\ \mathrm{m}$、$v=\sqrt{12^2+2(9.81)(20)}=23.2\ \mathrm{m/s}$，方向在水平線下方 $58.8^\circ$。平地同高落點的捷徑一條也不能用。

把拆分練到順手

各大課程很早就教拋體運動：AP 物理 1 放在第 1 單元，我們的AP 物理 1 指南說明運動學在完整學習計劃中的位置。不同考試仍用相同方法，只改變 $g$和具體數字。

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