多普勒效应公式：符号选择与声音题目详解

喇叭始终发出固定频率的声音。载着喇叭的车驶近时，你听到的音调更高；驶过后，音调变低。声源没有重新调节喇叭。运动改变了波前到达你的频率。多普勒效应公式可以算出这个变化，但如果只死记“分子加、分母减”，很容易把两个符号弄反。

这里讨论声音在静止空气中传播，声源与听者都沿两者之间的直线运动。先用一张表明确符号，再对同一个发声频率计算两次：一次移动声源，一次让听者以相同速度移动。最后一例让双方同时运动。之所以要成对比较，是因为声音有介质：前两种运动相似，却并非完全相同的数学情况。

先认清声源、听者和介质

把发声频率记作 $f_s$，听者听到的频率记作 $f_o$。设 $v$ 为声音相对于空气的速度，$v_s$ 为声源相对于空气的速度，$v_o$ 为听者相对于空气的速度。三个速度必须使用相同单位，通常是米每秒。例题中的 $v=340\ \mathrm{m/s}$是题目给定值，并非所有空气条件下的通用声速。

区分声源与听者有物理原因。移动的声源会在新位置发出下一个波峰，前方的波峰间距缩短，因此空气中的波长变短。移动的听者不改变这个波长，只是更频繁或更少地穿过已有的波峰。OpenStax 根据这两点推导了两种情况。

代入前，从声源向听者画一支箭头。标出每个物体沿箭头方向怎样运动。车从视野中横向驶过，不能把全部车速直接放进这条一维公式。若路径成角度，有关的速度是该时刻沿视线方向的分量；入门题应遵循课程指定的几何条件与符号约定。

声音公式与符号选择表

对于静止空气中沿同一直线的运动，可以写成：

$$f_o=f_s\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}.$$

成对符号只是简写，不是让你同时选两处的上方符号。根据听者的运动独立选择分子，根据声源的运动独立选择分母：

静止物体的速度设为零。双方互相靠近时，两项选择都使结果升高：$f_o=f_s(v+v_o)/(v-v_s)$。双方分离时，两项都使结果降低：$f_o=f_s(v-v_o)/(v+v_s)$。物体越过听者后方向可能反转，不要继续使用靠近时的符号。

简单的极限检查能发现严重的符号错误：令 $v_s=v_o=0$，公式必须得到 $f_o=f_s$。靠近时结果应高于发声频率，远离时应低于它。违反任一条件，都应先检查示意图，再检查计算。低速运动的频移通常不大；若出现十倍差距，常见原因是单位混用或分母符号填错。

例题 1：声源靠近静止听者

喇叭以 $f_s=680\ \mathrm{Hz}$发声。车辆载着它以 $v_s=34\ \mathrm{m/s}$的速度靠近静止的听者。取 $v=340\ \mathrm{m/s}$。听者不动，所以 $v_o=0$。声源靠近，分母要减去它的速度：

$$f_o=680\frac{340}{340-34} =680\frac{340}{306} =755.6\ \mathrm{Hz}.$$

这比原声高约 $75.6\ \mathrm{Hz}$。检查倍数：$340/306=1.111\ldots$大于一，符合声源靠近的情况。速度单位约去后留下赫兹。这是简化、稳定运动条件下的理想瞬时频率，并非音量预测。

若同一辆车已经驶过，并以相同速度远离呢？只有分母的符号改变：

$$f_o=680\frac{340}{340+34} =618.2\ \mathrm{Hz}.$$

靠近与远离时的频率并不恰好在 $680\ \mathrm{Hz}$上下对称。分母分别是 $306$和 $374$，因此频率相对原声的变化并不对称。不要把靠近时的升幅直接从原频率中减掉来猜远离时的音调。

也可以用数值看到波长的解释。相邻波峰发出的时间间隔为 $1/680\ \mathrm{s}$。在这段时间里，声源前进 $34/680=0.050\ \mathrm{m}$，一个波前在空气中前进 $340/680=0.500\ \mathrm{m}$。在移动声源前方，连续波峰相距 $0.500-0.050=0.450\ \mathrm{m}$。静止听者接收它们的频率是 $340/0.450=755.6\ \mathrm{Hz}$，从另一条路径得到相同答案。

例题 2：改为移动听者

让喇叭相对于空气静止，仍以 $680\ \mathrm{Hz}$发声。现在听者以 $v_o=34\ \mathrm{m/s}$向喇叭靠近。空气中的波长保持 $v/f_s=340/680=0.500\ \mathrm{m}$。听者以相对速度 $340+34=374\ \mathrm{m/s}$遇到波峰：

$$f_o=680\frac{340+34}{340} =748.0\ \mathrm{Hz}.$$

比较 $748.0\ \mathrm{Hz}$与例题 1 的 $755.6\ \mathrm{Hz}$。两者都高于 $680\ \mathrm{Hz}$，但在这个速度下，声源移动产生的频移稍大。对介质中的声音，如果只用一个笼统的“相对速度”取代两种运动，就会掩盖差别。声源改变波长，听者改变穿过波前的频率。

若听者改为远离，分子使用 $v-v_o$：$680(340-34)/340=612.0\ \mathrm{Hz}$。这低于声源远离时的 $618.2\ \mathrm{Hz}$。同速比较在驶过前后都适用。

这张表是本指南独立计算的检验表。每列的发声频率、声速和运动物体的速度都相同，唯一改变的是哪个物体运动。做完任何多普勒计算后，都可以用它自查。

例题 3：双方互相靠近

仍用 $680\ \mathrm{Hz}$的喇叭和 $340\ \mathrm{m/s}$的声速。这次声源以 $20\ \mathrm{m/s}$向听者靠近，听者以 $10\ \mathrm{m/s}$向声源靠近。两种运动都应提高听到的频率。听者的速度加到分子，声源的速度从分母减去：

$$f_o=680\frac{340+10}{340-20} =680\frac{350}{320} =743.75\ \mathrm{Hz}.$$

倍数 $350/320=1.09375$大于一。再做一次检查：去掉听者的运动，结果是 $680(340/320)=722.5\ \mathrm{Hz}$。加入靠近的听者后升到 $743.75\ \mathrm{Hz}$，正如图示所预测。如果声源仍在靠近，但听者以 $10\ \mathrm{m/s}$远离，两种影响就会相互竞争：$680(330/320)=701.25\ \mathrm{Hz}$。不能把整个情境简单标成“靠近”，必须分别选两个符号。

保证结果有意义的适用范围

这些例题讨论的是经典声学。速度以指定的介质为基准，这里是静止空气；直线公式使用沿声音传播路径的运动。风会改变相对于空气的速度，侧向路径则要分解速度。这里声源低于声速。靠近的声源速度趋近 $v_s=v$时，分母趋近零。这表示公式所用的分离波前模型失效，不代表听者会听到无限大的频率。音爆和冲击波需要其他模型。

光也有多普勒频移，但它能在真空中传播，没有类似空气的介质。不能把光速放进这个声音分式，再假定虚构的静止空气来分别测声源和听者的速度。OpenStax 的光学章节给出基于相对运动的相对论关系。靠近使频率升高的物理思路仍适用，但计算方法不同。

遇到新的声音问题，先连同单位写下 $f_s$、$v$、$v_s$和 $v_o$，画出运动，再查符号表。用靠近或远离的方向，以及速度为零时的极限检查答案。如果难点在于判定运动物体的方向，运动学指南有保持速度符号一致的方法。Physics Zen 的机械波与声主题提供使用新数值的多普勒练习、即时批改和分步解答。清楚的示意图加两项检查，比死记一行符号更有帮助。