半衰期公式：放射性衰变计算例题详解

中午时，一个样品的放射性活度为 1200 贝可勒尔。这种同位素的半衰期是 6.0 小时。第二天早上 6 点，探测器会显示多少？答案不是从 1200 里连减三次同样的量。每经过一个半衰期，就减少当时剩余量的一半，所以读数依次是 1200、600、300、150。这个乘法规律就是半衰期公式的全部内容。

本文从经过整数个半衰期的简单情形讲起，一直讲到考试中最容易出错的几类问题：非整数个半衰期、由两次测量求半衰期、改用衰变常数、由原子核数目求活度，以及用剩余的碳-14 推算样品年代。这些例题练习的衰变技能列在核物理专题中。

同一衰变规律的两种写法

对单个原子核来说，放射性衰变是随机的；但对大量原子核来说，它非常有规律。如果开始时有 $N_0$ 个未衰变的原子核，半衰期为 $T_{1/2}$，那么经过时间 $t$ 后剩余的数目为

$$N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.$$

指数 $t/T_{1/2}$ 就是已经经过的半衰期个数。它不必是整数。

教材也常用衰变常数 $\lambda$ 来写这一规律。OpenStax《大学物理》第 3 卷 §10.3 给出

$$N(t)=N_0e^{-\lambda t},\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\approx\frac{0.693}{T_{1/2}}.$$

两种写法是一致的，因为 $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}$。题目按半衰期个数来叙述时，用半衰期形式；题目给出或要求 $\lambda$ 时，用指数形式。母核素的质量及其活度也满足同样的关系，因为二者都与 $N$ 成正比。

动手计算前，先把 $t$ 和 $T_{1/2}$ 换成同一单位。小时除以天会得到一个看似合理、实际错误的数。

例题 1：经过整数个半衰期

回到开头的样品：$A_0=1200\ \mathrm{Bq}$，$T_{1/2}=6.0\ \mathrm h$。从中午到次日早上 6 点共 18 小时，也就是 $18/6.0=3$ 个半衰期。

$$A=1200\ \mathrm{Bq}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1200\ \mathrm{Bq}}{8}=150\ \mathrm{Bq}.$$

列一张小表，规律一目了然，也能发现计算错误：

一个诱人的错误答案是每 6 小时减去 600 Bq，到 12 小时就变成零。衰变速率与剩余量成正比，所以每一步减少的量越来越小。

例题 2：经过非整数个半衰期

某种假想同位素的半衰期为 8.0 天，一个放射源开始时含有 40 mg 这种同位素。20 天后还剩多少？

经过的半衰期个数为 $20/8.0=2.5$。公式可以直接处理：

$$m=40\ \mathrm{mg}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5}\approx40\ \mathrm{mg}\times0.177\approx7.1\ \mathrm{mg}.$$

检验一下大小：经过 2 个半衰期剩 10 mg，经过 3 个半衰期剩 5 mg。结果在 5 mg 与 10 mg 之间是对的，而且更接近 5 而不是 10，因为曲线在每个区间开始时下降得最快。10 和 5 正中间的 7.5 mg 只是线性估计，不是衰变规律。

这 7.1 mg 是剩余的母核素。样品的总质量并没有减少 33 mg；大部分已衰变的原子以子核的形式仍留在样品中。

例题 3：由两次读数求半衰期

对于一个纯放射源，探测器先显示 800 Bq，3.0 小时后扣除本底显示 500 Bq。半衰期是多少？

由半衰期形式解出半衰期个数：

$$\frac{t}{T_{1/2}}=\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=\log_2(1.6)=\frac{\ln 1.6}{\ln 2}\approx0.678.$$

于是

$$T_{1/2}=\frac{3.0\ \mathrm h}{0.678}\approx4.4\ \mathrm h.$$

合理性检验：3.0 小时内活度下降不到一半，所以半衰期一定长于 3.0 小时。如果算出的半衰期是负数，或者读数还没减半却得到比经过时间还短的半衰期，说明比值取反了。

当下降倍数恰好是 2 的整数次幂时，不需要用对数。10 小时内从 960 Bq 降到 240 Bq 是 4 倍，即 2 个半衰期，因此 $T_{1/2}=5.0\ \mathrm h$。

例题 4：由原子核数目求衰变常数和活度

一个放射源含有某同位素的原子核 $N=2.0\times10^{15}$ 个，该同位素的半衰期为 $T_{1/2}=8.0$ 天。它的活度是多少贝可勒尔？

活度是每秒的衰变次数，所以先把半衰期换算成秒：$8.0\ \mathrm{d}=8.0\times86400\ \mathrm s=6.91\times10^{5}\ \mathrm s$。然后

$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{6.91\times10^{5}\ \mathrm s}\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}},$$ $$A=\lambda N\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}\times2.0\times10^{15}\approx2.0\times10^{9}\ \mathrm{Bq}.$$

如果半衰期仍用天作单位，结果就是每天的衰变次数，大约是贝可勒尔数值的 86 400 倍。$\lambda$ 的单位决定了 $A$ 的单位。

例题 5：结果不是整数的碳-14 测年

OpenStax 给出碳-14 的半衰期为 5730 年。某件木器每克的碳-14 活度是同类活树木的 30%。假设初始比例与活树相同，它有多少年历史？

$$t=T_{1/2}\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=5730\times\log_2\left(\frac{1}{0.30}\right)\approx5730\times1.74\approx9.95\times10^{3}.$$

这件木器约有 10 000 年历史。检验一下范围：剩 25% 恰好是 2 个半衰期，即 11 460 年。30% 比 25% 稍多，所以年代应当稍短一些，结果正是如此。

这个答案依赖于"初始比例与活体材料相同"的假设。真正的放射性碳测年实验室会根据大气中碳-14 的变化进行校准，所以这里只把它当作物理练习，而不是实验室测年结果。

容易丢分的错误

• 每次减去相同的量。 每个半衰期都使当前的量减半。线性相减会减到零，衰变规律永远不会。
• 时间单位混用。 $t$ 和 $T_{1/2}$ 必须同一单位；想得到以贝可勒尔为单位的活度，$\lambda$ 必须用 $\mathrm{s^{-1}}$ 表示。
• 混淆 log 与 ln。 $\ln 2\approx0.693$，而 $\log_{10}2\approx0.301$。如果对比值取 $\log_{10}$，就要除以 $\log_{10}2$，而不是 0.693。更多这类陷阱见其实是数学错误的物理错误。
• 混淆母核素与整个样品。 公式追踪的是未衰变的母核，而不是样品的总质量。
• 忽略本底。 实验室测得的计数率包含本底辐射。求比值之前先把它扣除。

三道练习题及答案

练习 1. 一种 $T_{1/2}=15\ \mathrm h$ 的同位素初始活度为 6400 Bq。60 小时后活度是多少？经过 4 个半衰期：$6400/16=400\ \mathrm{Bq}$。

练习 2. 经过 1.5 个半衰期后，样品还剩几成？$\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5}\approx0.354$，约 35%，不是 25%。

练习 3. 扣除本底后的计数率在 36 分钟内从每分钟 1000 次降到 125 次。半衰期是多少？比值 8 对应 3 个半衰期，所以 $T_{1/2}=12\ \mathrm{min}$。

几乎所有中学物理课程都会考到半衰期；我们的 A-level Physics 备考指南 介绍了放射性衰变在其他近代物理技能中的位置。无论学哪门课程，步骤都一样：统一单位，用 $t/T_{1/2}$ 计算半衰期个数，该是小数时就保留小数指数，并检查结果是否落在相邻整数个半衰期对应的数值之间。