Elektrisches Potenzial und elektrisches Feld: Höhe, Gefälle und Ladung

Zwei Punkte können auf einem Berg beide hoch liegen, obwohl der Boden dazwischen fast eben ist. Ein dritter Punkt kann viel tiefer liegen, aber an einem steilen Hang. Höhe und Gefälle beschreiben verschiedene Eigenschaften derselben Landschaft.

Elektrisches Potenzial und elektrisches Feld hängen ähnlich zusammen. Das Potenzial gibt jedem Ort einen Wert. Das Feld beschreibt, wie sich dieser Wert beim Weitergehen ändert, einschließlich der Richtung der stärksten Abnahme. Ein hohes Potenzial bedeutet nicht automatisch ein starkes Feld.

Hier geht es um Elektrostatik: Ladungen und Felder, die sich zeitlich nicht ändern. In diesem Fall beschreibt eine einzige Potenziallandschaft das gesamte elektrische Feld.

Vier Größen, zwei nützliche Paare

Beginne mit den Größen, die eine bestimmte Ladung betreffen. Auf sie wirkt eine elektrische Kraft $\mathbf{F}$, und in der gegebenen Ladungsanordnung besitzt sie elektrische potenzielle Energie $U$.

Teile beide Größen durch die Probeladung $q$:

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}, \qquad V=\frac{U}{q}$$

Das Feld $\mathbf{E}$ und das Potenzial $V$ beschreiben die Umgebung. Setzt du eine andere kleine Probeladung an denselben Ort, ändern sich Kraft und Energie, nicht aber die Umgebung, solange die Probeladung die Quellladungen nicht merklich beeinflusst.

Größe	Bedeutung	Einheit
Elektrische Kraft	Schub oder Zug auf eine bestimmte Ladung	Newton, N
Elektrisches Feld	Kraft pro Ladung	N/C, gleichwertig zu V/m
Elektrische potenzielle Energie	Energie, die mit der Lage der Ladung verbunden ist	Joule, J
Elektrisches Potenzial	Potenzielle Energie pro Ladung	Volt, V, gleichwertig zu J/C

Das Feld ist ein Vektor: Seine Richtung gehört zur Antwort. Das Potenzial ist ein Skalar: Es hat einen Wert mit Vorzeichen, aber keine Richtung. Die Einführung von OpenStax zum Potenzial erläutert den Unterschied zwischen Energie und Energie pro Ladung.

Unser Leitfaden zum Coulombschen Gesetz erklärt, wie Quellladungen Kraft und Feld erzeugen. Das Potenzial eröffnet einen weiteren Weg durch dieselbe Aufgabe.

Spannung vergleicht zwei Orte

Eine Spannung ist eine Potenzialdifferenz:

$$\Delta V=V_B-V_A$$

Bewegt sich eine Ladung von A nach B, ändert sich ihre potenzielle Energie um

$$\Delta U=q\Delta V$$

Eine Ladung von $+3\ \mathrm{\mu C}$ bewegt sich von 10 V nach 4 V. Die Potenzialänderung beträgt $4-10=-6\ \mathrm{V}$. Damit gilt:

$$\Delta U=(3\times10^{-6})(-6) =-18\times10^{-6}\ \mathrm{J}$$

Sie verliert 18 Mikrojoule potenzielle Energie. Das elektrische Feld verrichtet positive Arbeit von 18 Mikrojoule an ihr. Verrichtet nur die elektrische Kraft Arbeit, steigt ihre kinetische Energie um diesen Betrag. Die Bilanz ist dieselbe wie in unserem Leitfaden zu Arbeit und Energie.

Ein anderer Nullpunkt ändert keines der Ergebnisse. Erhöhst du beide Potenziale um 100 V, bewegt sich die Ladung von 110 V nach 104 V, also weiterhin um 6 V nach unten. Eine Aussage wie „dieser Punkt liegt bei 10 V“ benötigt immer einen Bezugspunkt.

Das Feld ist das Gefälle des Potenzials

Entlang einer Koordinate gilt in der Elektrostatik:

$$E_x=-\frac{dV}{dx}$$

Das Minuszeichen legt die Richtung fest: Das Feld zeigt zu abnehmendem Potenzial. Die Vorlesungsnotizen von Richard Fitzpatrick an der University of Texas leiten die Beziehung aus Arbeit und Energie her. Ein homogenes Feld lässt sich auch ohne Differentialrechnung verstehen: Teile die Potenzialänderung durch den Abstand und kehre das Vorzeichen um.

Angenommen, das Potenzial fällt gleichmäßig von 18 V bei $x=0$ auf 6 V bei $x=0.04\ \mathrm{m}$:

$$E_x=-\frac{6-18}{0.04}=+300\ \mathrm{V/m}$$

Das positive Vorzeichen zeigt: Das Feld weist in positive x-Richtung. Fällt das Potenzial auf denselben 4 cm nur um 3 V, erhältst du 75 V/m. Entscheidend ist der Abfall pro Meter.

Die Kurzformel $E=|\Delta V|/d$ setzt ein homogenes Feld und einen Abstand entlang der Feldrichtung voraus. Zwischen großen parallelen Platten, weit genug vom Rand entfernt, ist das eine nützliche Näherung. Bei einer Punktladung ändert sich das Feld mit dem Abstand. Eine Potenzialdifferenz geteilt durch eine endliche Strecke liefert dort einen Mittelwert entlang dieses Weges, nicht die Feldstärke an jedem Punkt.

Für ein veränderliches Potenzial zeigt das OpenStax-Kapitel zur Feldbestimmung aus dem Potenzial die Ableitung und ihre dreidimensionale Erweiterung.

Negative Ladungen kehren die Kraft um

Die Feldrichtung ist durch eine positive Probeladung definiert. Für jede Ladung gilt:

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}$$

Bei negativem $q$ kehrt sich die Kraftrichtung um. Im Feld mit 300 V/m von oben erfährt eine Ladung von $-2\ \mathrm{\mu C}$ die Kraft

$$F_x=(-2\times10^{-6})(300) =-6\times10^{-4}\ \mathrm{N}$$

Die elektrische Kraft zeigt in negative x-Richtung, wo das Potenzial höher ist. Das bedeutet nicht, dass die Ladung potenzielle Energie gewinnt: Ein Anstieg von $V$, multipliziert mit einer negativen Ladung, ergibt eine Abnahme von $U$.

Unterscheide Kraft und Bewegung. Die Kraft bestimmt die Beschleunigung, nicht unbedingt die Richtung, in der sich ein Teilchen bereits bewegt. Eine negative Ladung, die in Richtung niedrigeren Potenzials abgeschossen wird, kann sich zunächst weiter dorthin bewegen und dabei langsamer werden. „Negative Ladungen bewegen sich bergauf“ beschreibt die Kraft oder die anfängliche Beschleunigung aus der Ruhe, nicht jede mögliche Bahn.

Potenzial null und Feld null sind verschiedene Aussagen

Setze zwei gleich große positive Punktladungen auf eine Linie. In der Mitte sind ihre Felder gleich stark und entgegengesetzt gerichtet, also ist das Gesamtfeld null. Wählst du das Potenzial im Unendlichen als null, trägt jede Ladung ein positives Potenzial bei. Die Potenziale addieren sich: Dort ist das Potenzial positiv, obwohl das Feld null ist.

Ersetze nun eine Quellladung durch eine gleich große negative Ladung. In der Mitte heben sich positives und negatives Potenzial auf. Beide Feldbeiträge zeigen jedoch von der positiven zur negativen Ladung und addieren sich statt sich aufzuheben.

Die Beispiele zeigen den häufigen Fehler: Feldbeträge so zu addieren, als wären sie skalare Potenziale. Bei Feldern musst du die Richtungen beachten, bei Potenzialen die algebraischen Vorzeichen.

Ein Feld von null an einem einzigen Punkt bedeutet auch nicht, dass das Potenzial in der gesamten Umgebung konstant ist. Es kann ein stationärer Punkt einer veränderlichen Landschaft sein, wie eine kleine ebene Stelle an einem Hang.

Äquipotenzialflächen sind Höhenlinien

Auf einer Landkarte haben Punkte derselben Höhenlinie dieselbe Höhe. Auf einer Äquipotenzialfläche haben Punkte dasselbe elektrische Potenzial.

Bewegt sich eine Ladung entlang dieser Fläche, ändert sich ihre elektrische potenzielle Energie um null. Das elektrische Feld verrichtet bei dieser Bewegung keine Arbeit, obwohl ein Feld vorhanden sein kann. Wo das Feld nicht null ist, steht es senkrecht auf der Äquipotenzialfläche.

Eng beieinanderliegende Linien zeigen nur dann ein stärkeres Feld an, wenn benachbarte Linien gleiche Potenzialschritte darstellen. Bei einer Zeichnung mit ungleichen Spannungsabständen musst du zuerst die Beschriftungen prüfen.

Wähle die Gleichung passend zur Frage

Kraft gesucht? Bestimme das elektrische Feld am Ort der Ladung und multipliziere es mit ihrer vorzeichenbehafteten Ladung. Gib die Richtung an.

Energie oder Geschwindigkeit gesucht? Nutze die Potenzialdifferenz für $\Delta U=q\Delta V$. Verrichten andere Kräfte Arbeit, berücksichtige sie, bevor du aus der Energieänderung eine Geschwindigkeit berechnest.

Potenzialgraph gegeben? Lies seine Steigung ab, um die Feldkomponente entlang der Graphenkoordinate zu finden. Ein höher liegender Graph ist nicht automatisch steiler.

Stromkreisaufgabe? Verfolge die Potenzialdifferenzen zwischen Knoten. Unser Leitfaden zu Reihen- und Parallelschaltungen erklärt, warum sich Spannungsdifferenzen entlang eines Wegs addieren und parallele Zweige dasselbe Paar Endpunkte haben.

Notiere dir beim Üben in Physics Zen vier Spalten neben der Aufgabe: Feld, Kraft, Potenzial, Energie. Schreibe die Einheiten in die passende Spalte, bevor du Zahlen einsetzt. So erkennst du Vorzeichenfehler und vergessene Ladungen leichter.