Coulombsches Gesetz intuitiv erklärt: Ladung, Kraft und das elektrische Feld

Reibe einen Luftballon an deinen Haaren, und er bleibt an einer Wand haften. Ziehe einen Plastikkamm durch trockenes Haar, und er kann Papierschnipsel vom Tisch hochheben. Nichts Sichtbares verbindet Kamm und Papier, doch etwas zieht über den Zwischenraum hinweg, und zwar umso stärker, je näher der Kamm kommt.

Diese Anziehung ist die elektrische Kraft. Das Coulombsche Gesetz beziffert sie: wie sie von der Ladungsmenge abhängt und, am stärksten, vom Abstand. Die Beispiele setzen kleine, ruhende Ladungen im Vakuum oder in Luft voraus.

Ladung ist etwas, das man zählt

Es gibt zwei Arten elektrischer Ladung: positive und negative. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Ein Proton trägt eine Einheit positiver Ladung, ein Elektron eine Einheit negativer Ladung. Diese Einheit ist die Elementarladung:

$$e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

Seit der SI-Reform von 2019 ist dieser Wert per Definition exakt. Die Ladung jedes Körpers ist ein ganzzahliges Vielfaches davon, und ein Coulomb entspricht etwa $6.24 \times 10^{18}$ Elementarladungen.

Außerdem bleibt Ladung erhalten. Reibt man einen Ballon an den Haaren, entsteht dabei keine Ladung; es werden Elektronen verschoben, und was der eine Körper gewinnt, verliert der andere. Auch ein neutraler Körper enthält Ladung: gleich viel von beiden Arten.

Das Coulombsche Gesetz: die Formel und ihre Einheiten

1785 veröffentlichte Charles-Augustin de Coulomb Messungen, bei denen er mit einer Torsionswaage die Abstoßung zwischen zwei kleinen geladenen Kugeln bestimmt hatte. Wie APS News berichtet, war die Kraft umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands ihrer Mittelpunkte.

In heutiger Schreibweise gilt für Punktladungen $q_1$ und $q_2$ im Abstand $r$:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

$F$ wird in Newton angegeben, die Ladungen in Coulomb und $r$ in Metern, gemessen von Mittelpunkt zu Mittelpunkt. Die Coulomb-Konstante $k$ rechnet Coulomb und Meter in Newton um:

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

Dabei ist $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ die elektrische Feldkonstante; auf vier signifikante Stellen gerundet gilt $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$. Der Abschnitt zum Coulombschen Gesetz bei OpenStax verwendet dieselbe Form.

Wegen der Betragsstriche liefert die Formel nur den Betrag der Kraft. Die Vorzeichen entscheiden über Abstoßung oder Anziehung, und die Kraft wirkt stets entlang der Verbindungslinie der Ladungen.

Warum der Abstand so entscheidend ist

Das $r^2$ macht den Abstand zum stärksten Hebel in der Formel. Verdopple den Abstand, und die Kraft sinkt auf ein Viertel; verdreifache ihn, und sie fällt auf ein Neuntel.

Hier eine anschauliche Überlegung, keine Herleitung. Stell dir vor, der Einfluss der Ladung breitet sich gleichmäßig in alle Richtungen aus. Im Abstand $r$ verteilt er sich auf eine Kugeloberfläche mit dem Flächeninhalt $4\pi r^2$. Verdoppelst du $r$, wird die Kugeloberfläche viermal so groß, sodass auf jedes Flächenstück nur noch ein Viertel entfällt. Das $4\pi$ in $k$ stammt von genau dieser Kugeloberfläche.

Das Quadrat erklärt auch den Ballon an der Wand. Die Ladungen der neutralen Wand verschieben sich leicht: Ungleichnamige Ladung rückt zum Ballon hin, gleichnamige von ihm weg. Bei einer so abstandsempfindlichen Kraft ist die nähere Anziehung stärker als die weiter entfernte Abstoßung, und der Ballon bleibt haften.

Rechenbeispiel: zwei gleiche Ladungen

Zwei kleine Kugeln tragen je $+2.0\ \mu\mathrm{C}$ und sind $0.30\ \mathrm{m}$ voneinander entfernt. Ein Mikrocoulomb entspricht $10^{-6}\ \mathrm{C}$, setze also für jede Ladung $2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ ein:

$$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})^2}{(0.30)^2} = \frac{0.03596}{0.090} \approx 0.40\ \mathrm{N}$$

Beide Ladungen sind positiv, die Kraft ist also abstoßend. Jede wird mit etwa 0,40 N direkt von der anderen weggedrückt; das entspricht ungefähr der Gewichtskraft eines Körpers von 40 Gramm.

Vergrößere den Abstand auf $0.60\ \mathrm{m}$. Er hat sich verdoppelt, also sinkt die Kraft ohne neue Rechnung auf ein Viertel, $0.10\ \mathrm{N}$.

Rechenbeispiel: Wie stark ist die elektrische Kraft?

Nimm das Elektron und das Proton im Wasserstoffatom, einen Bohrschen Radius voneinander entfernt: $r = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$, der typische Abstand im Grundzustand des Atoms. Beide tragen eine Ladung vom Betrag $e$:

$$F_e = \frac{(8.99 \times 10^{9})(1.602 \times 10^{-19})^2}{(5.29 \times 10^{-11})^2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

Für die Gravitationskraft zwischen denselben beiden Teilchen verwende $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$, $m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ und $m_p = 1.673 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$:

$$F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3.63 \times 10^{-47}\ \mathrm{N}$$

Die elektrische Kraft ist etwa $2.27 \times 10^{39}$-mal so groß. Beide nehmen mit $1/r^2$ ab, daher gilt das Verhältnis bei jedem Abstand.

Warum hält dich die Schwerkraft dann am Boden und den Mond auf seiner Umlaufbahn? Weil Materie fast vollkommen neutral ist. Protonen werden durch Elektronen ausgeglichen, sodass sich die gewaltigen elektrischen Anziehungen und Abstoßungen fast vollständig aufheben. Negative Masse gibt es nicht, daher hebt sich die Schwerkraft nie auf: Jedes Kilogramm eines Planeten trägt zu seiner Anziehung bei.

Erst die Richtung bestimmen, dann addieren

Bei mehreren Ladungen wechselwirkt jedes Paar so, als wären die anderen nicht vorhanden, und die resultierende Kraft ist die Vektorsumme: das Superpositionsprinzip.

Ordne drei Ladungen auf einer Geraden an:

• $q_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C}$ bei $x = 0$
• $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$ bei $x = 0.20\ \mathrm{m}$
• $q_3 = +1.0\ \mu\mathrm{C}$ bei $x = 0.10\ \mathrm{m}$

Bestimme die resultierende Kraft auf $q_3$, die von den beiden anderen jeweils $0.10\ \mathrm{m}$ entfernt ist. Kläre die Richtungen, bevor du mit Zahlen rechnest. Die Ladungen $q_1$ und $q_3$ sind beide positiv, also stößt $q_1$ die Ladung $q_3$ ab, in Richtung $+x$. Die Ladung $q_2$ ist negativ, also zieht sie $q_3$ zu sich hin, ebenfalls in Richtung $+x$.

Die beiden Ergebnisse werden addiert, rechne daher mit vier signifikanten Stellen und $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$:

$$F_{13} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 2.696\ \mathrm{N}$$ $$F_{23} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 1.798\ \mathrm{N}$$

Beide wirken in dieselbe Richtung, daher addieren sich ihre Beträge:

$$F_{\mathrm{net}} = 2.696 + 1.798 = 4.494\ \mathrm{N} \approx 4.49\ \mathrm{N}$$

Die resultierende Kraft auf $q_3$ beträgt etwa 4,49 N und zeigt nach rechts. Die Richtungen hat die Physik festgelegt; die Formel lieferte nur die Beträge.

Von der Kraft zum Feld

Das Coulombsche Gesetz beschreibt ein Paar von Ladungen. Das elektrische Feld beschreibt den Raum um eine einzelne von ihnen. Erfasst wird es durch die elektrische Feldstärke, die Kraft pro Ladungseinheit auf eine kleine positive Probeladung $q$:

$$E = \frac{F}{q}$$

Ihre Einheit ist Newton pro Coulomb, und sie zeigt in die Richtung, in die eine positive Ladung gedrückt würde. Teile die Coulomb-Kraft durch die Probeladung, dann erhältst du die Feldstärke einer Punktladung $Q$:

$$E = k\frac{|Q|}{r^2}$$

In $0.30\ \mathrm{m}$ Abstand von einer Ladung mit $2.0\ \mu\mathrm{C}$ gilt:

$$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.30)^2} \approx 2.0 \times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

Das Feld existiert unabhängig davon, ob sich dort eine Probeladung befindet. Berechne es einmal, und $F = qE$ liefert die Kraft auf jede Ladung, die du dorthin bringst: Eine zweite Ladung von $2.0\ \mu\mathrm{C}$ erfährt die 0,40 N aus dem ersten Beispiel. Eine negative Ladung wird entgegen der Feldrichtung gedrückt.

Elektrische Feldlinien beginnen an positiven Ladungen und enden an negativen Ladungen oder laufen ins Unendliche. In jedem Punkt zeigt das Feld tangential zur Feldlinie durch diesen Punkt, und wo die Feldlinien dicht liegen, ist das Feld stärker. Feldlinien schneiden sich nie, weil das Feld in jedem Punkt nur eine Richtung hat. Um eine einzelne Ladung treten durch jede Kugeloberfläche gleich viele Feldlinien, daher nimmt ihre Dichte mit $1/r^2$ ab: wieder die umgekehrt quadratische Abhängigkeit.

Der nächste Schritt ist das elektrische Potenzial, die Energie pro Ladungseinheit, gemessen in Volt. Die Spannung in unserem Leitfaden zu Reihen- und Parallelschaltungen ist eine Potenzialdifferenz.

Coulomb und Newton im Vergleich

Hier sind die beiden Gesetze:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Beide sind proportional zum Produkt zweier Quellgrößen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands. Der Unterschied liegt im Vorzeichen: Ladung gibt es in zwei Arten, Masse nur in einer, daher können elektrische Kräfte anziehen oder abstoßen, während die Schwerkraft nur anzieht. In der Stärke unterscheiden sie sich um den oben berechneten Faktor von etwa $10^{39}$.

Die Newtonschen Gesetze machen aus einer Coulomb-Kraft wie aus jeder anderen Kraft eine Beschleunigung, und das dritte Gesetz gilt: Im Beispiel mit drei Ladungen drückt $q_3$ mit denselben 2,696 N auf $q_1$ zurück, obwohl $q_1$ die dreifache Ladung trägt. Unser Leitfaden zur Kreisbewegung zeigt, wie die Schwerkraft die Zentripetalkraft für eine Umlaufbahn liefert; im Bohrschen Atommodell des Wasserstoffs übernimmt die Coulomb-Anziehung diese Aufgabe für das Elektron.

Fehler, die Punkte kosten

• Vergessen, den Abstand zu quadrieren. Wer im ersten Beispiel durch 0,30 statt durch 0,090 teilt, erhält 0,12 N statt 0,40 N.
• Umrechnungen überspringen. Mikro bedeutet $10^{-6}$, Nano bedeutet $10^{-9}$, und 30 cm sind 0,30 m. Lässt man beide Ladungen in Mikrocoulomb stehen, wird die Kraft um den Faktor $10^{12}$ zu groß.
• Ein Vorzeichen als Richtung deuten. Rechnet man mit Vorzeichen, ist das Produkt von $q_2$ und $q_3$ negativ, was nach „links“ aussieht. Es bedeutet Anziehung, und die Anziehung zu $q_2$ hin zeigt nach rechts. Wer es als links deutet, erhält etwa 0,90 N statt 4,49 N.
• Beträge von Kräften addieren, die in verschiedene Richtungen zeigen. Beträge darf man nur dann direkt addieren, wenn die Kräfte in dieselbe Richtung zeigen. Entgegengesetzte Kräfte auf einer Geraden werden subtrahiert, und Kräfte, die einen Winkel bilden, zerlegt man in Komponenten.
• E und F verwechseln. Eine Feldstärke in N/C gehört zu einem Punkt im Raum; eine Kraft in Newton gehört zu einer bestimmten Ladung.

Die ersten beiden sind Rechenfehler; unser Leitfaden zu Physikfehlern, die eigentlich Mathefehler sind behandelt Vorsilben und Zehnerpotenzen.

Aus dem Gesetz wird Übung

Das Thema Elektrostatik in Physics Zen umfasst drei Fertigkeiten: Ladung & Coulombsches Gesetz, Elektrisches Feld und Elektrisches Potenzial. Es gehört auf iPhone und Android zu Premium. Elektrostatik kommt auch in den A-Level-, Abitur- und Bac-Pfaden vor; unsere Leitfäden zu A-Level Physics, zum Physik-Abitur und zum Bac zeigen, wo sie jeweils hineinpasst.

Entscheide, in welche Richtung jede Kraft zeigt, bevor du rechnest. Prüfe dann den Abstand: Er wird quadriert, er muss in Metern angegeben sein, und nichts anderes im Coulombschen Gesetz beeinflusst das Ergebnis so stark.