Halbwertszeit berechnen: Formel und Rechenbeispiele zum Zerfall

Eine Probe zeigt um 12 Uhr eine Aktivität von 1200 Becquerel. Das Isotop hat eine Halbwertszeit von 6,0 Stunden. Was zeigt der Detektor am nächsten Morgen um 6 Uhr? Die Antwort ist nicht 1200 minus drei gleich große Schritte. Jede Halbwertszeit entfernt die Hälfte dessen, was noch da ist, die Werte lauten also 1200, 600, 300, 150. Dieses multiplikative Muster ist der ganze Inhalt der Formel für die Halbwertszeit.

Dieser Leitfaden rechnet die Formel vom einfachen Fall mit ganzen Halbwertszeiten bis zu den Fällen durch, an denen Klausuren oft scheitern: eine gebrochene Zahl von Halbwertszeiten, die Halbwertszeit aus zwei Messwerten, der Wechsel zur Zerfallskonstante, die Aktivität aus einer Zahl von Kernen und die Altersbestimmung einer Probe über das verbliebene Kohlenstoff-14. Das Thema Kernphysik zeigt, welche Zerfallsaufgaben diese Beispiele üben.

Zwei Formen desselben Zerfallsgesetzes

Radioaktiver Zerfall ist für einen einzelnen Kern zufällig, für sehr viele Kerne aber äußerst regelmäßig. Sind zu Beginn $N_0$ unzerfallene Kerne vorhanden und ist die Halbwertszeit $T_{1/2}$, dann gilt für die Zahl der nach der Zeit $t$ verbliebenen Kerne

$$N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.$$

Der Exponent $t/T_{1/2}$ ist einfach die Zahl der verstrichenen Halbwertszeiten. Er muss keine ganze Zahl sein.

Lehrbücher schreiben das Gesetz auch mit der Zerfallskonstante $\lambda$. OpenStax University Physics, Band 3, §10.3 gibt an:

$$N(t)=N_0e^{-\lambda t},\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\approx\frac{0.693}{T_{1/2}}.$$

Beide Formen stimmen überein, weil $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}$ gilt. Nimm die Halbwertszeit-Form, wenn die Aufgabe in Halbwertszeiten denkt, und die Exponentialform, wenn $\lambda$ gegeben oder gesucht ist. Dieselbe Beziehung gilt für die Masse des Mutterisotops und für seine Aktivität, weil beide proportional zu $N$ sind.

Vor jeder Rechnung gehören $t$ und $T_{1/2}$ in dieselbe Einheit. Stunden geteilt durch Tage ergibt eine Zahl, die plausibel aussieht und falsch ist.

Beispiel 1: eine ganze Zahl von Halbwertszeiten

Zurück zur Probe vom Anfang: $A_0=1200\ \mathrm{Bq}$ und $T_{1/2}=6.0\ \mathrm h$. Von 12 Uhr bis 6 Uhr morgens vergehen 18 h, also $18/6.0=3$ Halbwertszeiten.

$$A=1200\ \mathrm{Bq}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1200\ \mathrm{Bq}}{8}=150\ \mathrm{Bq}.$$

Eine kurze Tabelle macht das Muster sichtbar und fängt Rechenfehler ab:

Die verlockende falsche Antwort zieht alle 6 h 600 Bq ab und landet nach 12 h bei null. Der Zerfall ist proportional zu dem, was noch vorhanden ist, deshalb werden die Schritte kleiner.

Beispiel 2: eine gebrochene Zahl von Halbwertszeiten

Ein hypothetisches Isotop hat eine Halbwertszeit von 8,0 Tagen, und eine Quelle enthält anfangs 40 mg davon. Wie viel von diesem Isotop ist nach 20 Tagen noch vorhanden?

Die Zahl der Halbwertszeiten ist $20/8.0=2.5$. Die Formel verarbeitet das direkt:

$$m=40\ \mathrm{mg}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5}\approx40\ \mathrm{mg}\times0.177\approx7.1\ \mathrm{mg}.$$

Prüfe die Größenordnung: Nach 2 Halbwertszeiten wären es 10 mg, nach 3 Halbwertszeiten 5 mg. Ein Ergebnis zwischen 5 und 10 mg ist richtig, und es liegt näher an 5 als an 10, weil die Kurve zu Beginn jedes Intervalls am steilsten fällt. Die Mitte zwischen 10 und 5, also 7,5 mg, wäre eine lineare Schätzung, nicht das Zerfallsgesetz.

Die 7,1 mg sind das verbliebene Mutterisotop. Die Probe verliert nicht 33 mg ihrer Gesamtmasse; die meisten zerfallenen Atome sind als Tochterkerne weiterhin da.

Beispiel 3: Halbwertszeit aus zwei Messwerten

Ein Detektor zeigt für eine reine Quelle 800 Bq und 3,0 h später nach Abzug des Nulleffekts 500 Bq. Wie groß ist die Halbwertszeit?

Löse die Halbwertszeit-Form nach der Zahl der Halbwertszeiten auf:

$$\frac{t}{T_{1/2}}=\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=\log_2(1.6)=\frac{\ln 1.6}{\ln 2}\approx0.678.$$

Dann folgt

$$T_{1/2}=\frac{3.0\ \mathrm h}{0.678}\approx4.4\ \mathrm h.$$

Plausibilitätsprüfung: Die Aktivität ist in 3,0 h um weniger als die Hälfte gefallen, also muss die Halbwertszeit länger als 3,0 h sein. Erhältst du eine negative Halbwertszeit oder eine, die kürzer ist als die verstrichene Zeit, obwohl sich der Messwert noch nicht halbiert hat, dann war das Verhältnis vertauscht.

Ist der Abfall eine glatte Zweierpotenz, brauchst du keinen Logarithmus. Ein Abfall von 960 Bq auf 240 Bq in 10 h ist ein Faktor 4, also 2 Halbwertszeiten, und damit $T_{1/2}=5.0\ \mathrm h$.

Beispiel 4: Zerfallskonstante und Aktivität aus einer Zahl von Kernen

Eine Quelle enthält $N=2.0\times10^{15}$ Kerne eines Isotops mit $T_{1/2}=8.0$ Tagen. Wie groß ist ihre Aktivität in Becquerel?

Aktivität bedeutet Zerfälle pro Sekunde, also rechne die Halbwertszeit zuerst in Sekunden um: $8.0\ \mathrm{d}=8.0\times86400\ \mathrm s=6.91\times10^{5}\ \mathrm s$. Dann

$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{6.91\times10^{5}\ \mathrm s}\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}},$$ $$A=\lambda N\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}\times2.0\times10^{15}\approx2.0\times10^{9}\ \mathrm{Bq}.$$

Hättest du die Halbwertszeit in Tagen gelassen, käme das Ergebnis in Zerfällen pro Tag heraus, rund 86 400-mal größer als die Zahl in Becquerel. Die Einheit von $\lambda$ bestimmt die Einheit von $A$.

Beispiel 5: Radiokarbondatierung mit krummem Ergebnis

OpenStax gibt für Kohlenstoff-14 eine Halbwertszeit von 5730 Jahren an. Ein Holzgegenstand hat pro Gramm 30 % der Kohlenstoff-14-Aktivität von vergleichbarem lebendem Holz. Wie alt ist er, wenn man dieses Ausgangsverhältnis annimmt?

$$t=T_{1/2}\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=5730\times\log_2\left(\frac{1}{0.30}\right)\approx5730\times1.74\approx9.95\times10^{3}.$$

Der Gegenstand ist ungefähr 10 000 Jahre alt. Prüfe die Eingrenzung: 25 % Rest würden genau 2 Halbwertszeiten bedeuten, also 11 460 Jahre. Dreißig Prozent sind etwas mehr als 25 %, also muss das Alter etwas kleiner sein, und das ist es.

Die Antwort hängt von der Annahme ab, dass das Ausgangsverhältnis dem von lebendem Material entsprach. Echte Radiokarbonlabore kalibrieren auf Schwankungen des atmosphärischen Kohlenstoff-14, betrachte das hier also als Physikübung, nicht als Labordatierung.

Fehler, die Punkte kosten

• Gleiche Beträge abziehen. Jede Halbwertszeit halbiert die aktuelle Menge. Lineare Schritte erreichen null, das Zerfallsgesetz nie.
• Gemischte Zeiteinheiten. $t$ und $T_{1/2}$ müssen zusammenpassen, und $\lambda$ muss in $\mathrm{s^{-1}}$ stehen, wenn die Aktivität in Becquerel herauskommen soll.
• log und ln verwechseln. $\ln 2\approx0.693$, dagegen $\log_{10}2\approx0.301$. Nimmst du $\log_{10}$ des Verhältnisses, teile durch $\log_{10}2$, nicht durch 0,693. Unser Artikel über Physikfehler, die eigentlich Mathefehler sind zeigt weitere solche Fallen.
• Mutterisotop und Probe verwechseln. Die Formel beschreibt die unzerfallenen Mutterkerne, nicht die Gesamtmasse der Probe.
• Nulleffekt ignorieren. Im Labor gemessene Zählraten enthalten die Untergrundstrahlung. Ziehe sie ab, bevor du Verhältnisse bildest.

Drei Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1. Ein Isotop mit $T_{1/2}=15\ \mathrm h$ startet bei 6400 Bq. Wie groß ist die Aktivität nach 60 h? Vier Halbwertszeiten: $6400/16=400\ \mathrm{Bq}$.

Aufgabe 2. Welcher Anteil einer Probe ist nach 1,5 Halbwertszeiten übrig? $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5}\approx0.354$, also etwa 35 %, nicht 25 %.

Aufgabe 3. Eine Zählrate fällt in 36 min von 1000 auf 125 Impulse pro Minute, der Nulleffekt ist bereits abgezogen. Wie groß ist die Halbwertszeit? Das Verhältnis 8 entspricht 3 Halbwertszeiten, also $T_{1/2}=12\ \mathrm{min}$.

Aufgaben zur Halbwertszeit kommen in fast jedem Physikkurs der Oberstufe vor; unser Leitfaden zu A-Level Physics zeigt, wo der radioaktive Zerfall zwischen den anderen Themen der modernen Physik steht. Egal in welchem Kurs, die Routine bleibt gleich: Einheiten angleichen, Halbwertszeiten als $t/T_{1/2}$ zählen, den Exponenten gebrochen lassen, wenn er es sein muss, und prüfen, ob das Ergebnis zwischen den Werten der benachbarten ganzen Halbwertszeiten liegt.