Schallintensität und Abstand: Beispiele zum Abstandsgesetz

Du gehst doppelt so weit von einer kleinen Schallquelle weg. Halbiert sich dann die Schallintensität? Im einfachsten physikalischen Modell fällt sie auf ein Viertel. Die Leistung ist nicht verschwunden. Sie verteilt sich auf eine Kugeloberfläche mit viermal so großer Fläche. Bei vierfachem Abstand ist die Fläche sechzehnmal so groß, und auf jeden Quadratmeter entfällt nur noch ein Sechzehntel der ursprünglichen Intensität.

Das ist das Abstandsquadratgesetz für Schallintensität. Es beschreibt Energiefluss pro Fläche und verspricht nicht, dass ein Mensch den Ton als ein Viertel so laut wahrnimmt. Diese Anleitung leitet die Beziehung her, rechnet Zahlenbeispiele, übersetzt ein Intensitätsverhältnis in Dezibel und zeigt, wann ein Raum oder eine ausgedehnte Quelle das einfache Bild bricht. Im Doppler-Leitfaden geht es um eine andere Veränderung: die Frequenz bei relativer Bewegung von Quelle und Hörer.

Zuerst klären, was Intensität misst

Eine Schallwelle transportiert Energie. Leistung $P$ ist Energie pro Sekunde, gemessen in Watt. Intensität $I$ ist die Leistung, die durch eine Flächeneinheit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung geht; ihre Einheit ist Watt pro Quadratmeter:

$$I=\frac{P}{A}.$$

Diese Definition gilt nicht nur für das Hören. OpenStax University Physics, Band 1, §17.3 wendet sie auf Schall an und führt dann das ideale Kugelmodell ein. Eine Einheitenkontrolle hilft vor jeder Rechnung: Watt durch Quadratmeter ergibt $\mathrm{W/m^2}$. Ein Ergebnis nur in Watt ist Leistung, keine Intensität.

Ein Lautsprecher kann dieselbe Schallleistung abgeben, während die Intensität an einem weiter entfernten Ort sinkt. Die Fläche, durch die diese Leistung tritt, wächst mit dem Abstand. Deshalb ist die Frage nach „der Intensität des Lautsprechers“ ohne Abstand oder Messfläche unvollständig. Ebenso darfst du Messungen aus verschiedenen Entfernungen nicht so vergleichen, als habe die Quelle selbst ihre Leistung geändert.

An der Kugeloberfläche das Quadrat verstehen

Stell dir eine kleine Quelle vor, die gleichmäßig in alle Richtungen abstrahlt. Im betrachteten Bereich gibt es keine Hindernisse, Reflexionen oder erheblichen Verlust der Schallleistung an das Medium. Im Abstand $r$ durchquert dieselbe nach außen laufende Leistung eine Kugeloberfläche mit

$$A=4\pi r^2.$$

Setze diese Fläche in die Intensitätsdefinition ein:

$$I(r)=\frac{P}{4\pi r^2}.$$

Der Radius wird quadriert, weil die Oberfläche der Kugel mit dem Quadrat ihres Radius wächst. Es entsteht kein Abstandshochdrei-Gesetz, nur weil sich Schall in drei Raumdimensionen ausbreitet. Wir teilen durch die Oberfläche, nicht durch das eingeschlossene Volumen. Bei doppeltem Radius gilt $4\pi(2r)^2=4(4\pi r^2)$. Dieselbe Leistung verteilt sich auf die vierfache Fläche; pro Quadratmeter bleibt ein Viertel.

Nützlich ist diese Formel nur unter ihren Annahmen. Ein gerichteter Lautsprecher strahlt nicht gleichmäßig ab. Eine Wand wirft Energie zurück. Eine Quelle, deren Größe mit dem Abstand vergleichbar ist, sieht nicht wie ein Punkt aus. Die Kugelrechnung ist ein ideales Modell, keine allgemeine Vorhersage für jedes Mikrofon.

Erst das Verhältnis, dann den Taschenrechner

Bleibt die Quellenleistung gleich, teile die beiden Kugelformeln durcheinander. $P$ und $4\pi$ kürzen sich:

$$\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.$$

Angenommen, die Intensität beträgt im idealen Modell bei $2.0\ \mathrm m$ Abstand $0.0080\ \mathrm{W/m^2}$. Bei $4.0\ \mathrm m$ ist das Verhältnis $(2.0/4.0)^2=1/4$, also erwarten wir $0.0020\ \mathrm{W/m^2}$. Bei $6.0\ \mathrm m$ ist es $(2.0/6.0)^2=1/9$, entsprechend etwa $0.00089\ \mathrm{W/m^2}$.

Entscheidend ist das Verhältnis der Abstände von der Quelle. Quadriere nicht die zusätzlich zurückgelegten Meter. Von 2 m auf 4 m verdoppelt sich der Abstand; von 4 m auf 6 m wächst er nur um den Faktor 1,5. Daher können beide Änderungen nicht dasselbe Intensitätsverhältnis ergeben. „Doppelter Abstand bedeutet halbe Intensität“ ist die naheliegende lineare, aber falsche Antwort, weil sie die wachsende Fläche übersieht.

Von Leistung über Fläche zur Intensität rechnen

Jetzt beginnen wir ohne bekannte Intensität. Eine hypothetische Punktquelle strahlt die Schallleistung $P=4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W$ gleichmäßig in alle Richtungen ab. Bei $r=1.0\ \mathrm m$ beträgt die Kugelfläche $4\pi\ \mathrm{m^2}$. Daher gilt

$$I_1=\frac{4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W}{4\pi\ \mathrm{m^2}} =1.0\times10^{-4}\ \mathrm{W/m^2}.$$

Bei 2,0 m ist die Fläche $16\pi\ \mathrm{m^2}$ und die Intensität $2.5\times10^{-5}\ \mathrm{W/m^2}$. Bei 4,0 m sind es $64\pi\ \mathrm{m^2}$ und $6.25\times10^{-6}\ \mathrm{W/m^2}$. Die Leistung im Zähler bleibt stets gleich. Der Verlust an lokaler Intensität entsteht in diesem Modell durch geometrische Ausbreitung, nicht dadurch, dass die Quelle leiser gestellt wurde.

Dieses Rechenbeispiel ist erfunden. Es beschreibt weder einen echten Lautsprecher noch einen Messraum oder eine sichere Expositionsdauer. Es prüft die Geometrie: Verdoppelst du den Radius von 2 auf 4 m, wird die Intensität erneut geviertelt. Falls deine Tabelle nur die doppelte Fläche zeigt, ist das Quadrat verloren gegangen.

Ein Intensitätsverhältnis richtig in Dezibel umrechnen

Ein Schallintensitätspegel verwendet eine logarithmische Skala. Für die Intensität $I$ und die Bezugsintensität $I_0$ schreibt OpenStax

$$\beta=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\ \mathrm{dB}.$$

Mit dem üblichen Bezug $I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$ liegt der Wert bei 1 m in unserem Beispiel bei $10\log_{10}(10^{-4}/10^{-12})=80\ \mathrm{dB}$. Bei 2 m ergibt sich $10\log_{10}(2.5\times10^7)\approx74\ \mathrm{dB}$, bei 4 m etwa $68\ \mathrm{dB}$. Jede Verdoppelung des Abstandes senkt den Pegel in diesem Idealfall um ungefähr 6 dB.

Die Differenz bekommst du auch ohne die absoluten Pegel:

$$\Delta\beta=10\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right) =10\log_{10}(1/4)\approx-6.02\ \mathrm{dB}.$$

Ziehe nicht ein Viertel von 80 dB ab und sage nicht, der Pegel sei 20 dB, weil die Intensität auf ein Viertel sank. Dezibel sind Logarithmen von Verhältnissen. Eine Multiplikation der Intensität wird dadurch zu einer Addition oder Subtraktion von Pegeln. Außerdem ist der Intensitätspegel eine physikalische Größe; empfundene Lautstärke hängt von Frequenz, Gehör und Situation ab. Dieses Beispiel sagt nicht, dass jemand den Ton als ein Viertel so laut hört. OpenStax trennt Intensität, Intensitätspegel und Lautheit ausdrücklich.

Prüfen, wo das einfache Gesetz endet

Das Abstandsquadratgesetz braucht eine ungefähr punktförmige Quelle und ein Freifeld. In einem Raum kommt reflektierter Schall von Wänden, Decke und Boden zurück. Der Gesamtpegel bei einem Hörer fällt dann möglicherweise nicht bei jeder Abstandsverdoppelung um 6 dB. Auditory Neuroscience erklärt das Abstandsquadratgesetz mit ausdrücklichem Hinweis auf Reflexionen. Auch draußen beeinflussen Hindernisse, Boden, Richtwirkung und Absorption das Ergebnis. Die Geometrie ist deswegen nicht falsch; die wirkliche Anordnung entspricht nur nicht mehr den einfachen Annahmen.

Nahe an einem großen Lautsprecher oder einer anderen ausgedehnten Quelle passt das Bild vom kleinen Punkt, der in alle Richtungen strahlt, ebenfalls oft schlecht. Nutze die Kugelformel bei einem Abstand, der mit der Quellengröße vergleichbar ist, nicht ungeprüft. In einer Schulaufgabe erlauben Formulierungen wie „isotrope Punktquelle“, „Kugelwelle“ und „Absorption vernachlässigen“ die Formel. Fehlen sie, benenne deine Annahme.

Ein Schallpegelmesser oder eine Handy-App kann einen dB-Wert anzeigen. Der Wert allein verrät weder die Schallleistung der Quelle noch beweist er ein Abstandsgesetz. Dafür müsstest du Messanordnung und Kalibrierung kennen. Unsere Rechnung prognostiziert ideale Intensität aus vorgegebener Leistung und Entfernung; sie ist keine Anleitung, die Hörsicherheit aus einer Handy-Anzeige abzulesen.

Zwei kurze Aufgaben zum Modell

Aufgabe 1. Eine Punktquelle erzeugt im idealen Freifeld bei 3 m eine Intensität von $0.0036\ \mathrm{W/m^2}$. Wie groß ist sie bei 9 m? Der Abstand verdreifacht sich, also bleibt ein Neuntel: $0.0036/9=0.00040\ \mathrm{W/m^2}$. Die Pegeldifferenz beträgt $10\log_{10}(1/9)\approx-9.54\ \mathrm{dB}$. Für diese Differenz brauchst du keine Bezugsintensität.

Aufgabe 2. Zwei Hörer stehen 1 m und 2 m von einer Quelle in einem kleinen Raum mit Reflexionen entfernt. Darfst du eine Differenz von 6 dB versprechen? Nein. Für den direkten Kugelanteil kannst du unter idealen Bedingungen ungefähr 6 dB berechnen. Reflexionen können jedoch den Gesamtschall an beiden Orten verändern. Schreibe hin, welche Größe dein Ergebnis beschreibt. Diese Einschränkung gehört zur Lösung.

Für eine andere Schallrechnung: stehende Wellen bestimmen die möglichen Frequenzen auf einer Saite oder in einem Rohr, während Doppler-Verschiebungen eine scheinbare Frequenzänderung beschreiben. Bei Intensität lautet die Frage anders: Wie viel Leistung geht hier durch jeden Quadratmeter? Sind Größe und Modellannahmen klar, haben sowohl das Quadrat als auch der Logarithmus eine eindeutige Aufgabe.