Stehende Wellen auf Saiten und in Rohren: Beispiele

Eine stehende Welle wirkt in einer Hinsicht unbewegt: Ihre Knoten bleiben am selben Ort. Dazwischen bewegt sich die Saite oder die Luft jedoch weiter. Beginne bei den Enden, wenn du eine Frequenzaufgabe löst. Sie bestimmen, welche Muster möglich sind; die Wellengeschwindigkeit macht aus jeder erlaubten Wellenlänge eine Frequenz.

Wir rechnen drei Beispiele durch und prüfen jedes mit einer Skizze, den Einheiten und der nächsten erlaubten Schwingung. Dabei verwenden wir ideale Saiten und Luftsäulen. Echte Rohröffnungen, Temperaturänderungen und Dämpfung verlangen mehr Sorgfalt. Im letzten Abschnitt stehen die Grenzen der einfachen Gleichungen.

Aus einer laufenden Welle wird ein stehendes Muster

Eine Welle auf einer Saite wird am Ende reflektiert. Überlagern sich hin- und rücklaufende Wellen gleicher Frequenz, addieren sich ihre Auslenkungen an manchen Stellen und heben sich an anderen auf. Ein Knoten bleibt ohne Auslenkung. Ein Bauch erreicht die größte Auslenkung dieser Schwingungsform. Das Muster wandert nicht als einzelner Hügel nach rechts, obwohl einer realen, angetriebenen Saite weiterhin Energie zugeführt wird und Energie verloren geht.

OpenStax erklärt stehende Wellen aus den Randbedingungen. Merke dir nicht zuerst eine Formel. Zeichne, was das Material an jedem Ende tun darf, und zähle dann, welcher Bruchteil einer Wellenlänge dazwischen passt.

Frequenz, Wellenlänge und Geschwindigkeit erfüllen weiterhin

$$v=f\lambda.$$

Dabei ist $v$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer laufenden Störung im Medium, $f$ die Schwingungen pro Sekunde und $\lambda$ die Meter pro Schwingung. Die stehende Form entsteht aus zwei solchen Wellen und ändert diese Beziehung nicht. Das unterscheidet sich von einer einzelnen Masse an einer Feder in unserem Leitfaden zur harmonischen Schwingung: Ein einzelner Punkt auf der Saite kann ungefähr so schwingen, doch die Saite besitzt viele Punkte und mögliche Schwingungsformen.

Feste Saite: Knoten an beiden Enden

Eine fest eingespannte Saite kann sich an keinem ihrer Enden auslenken. Zeichne dort jeweils einen Auslenkungsknoten. Das kürzeste Muster hat einen Bauch dazwischen: Eine halbe Wellenlänge passt in die Länge $L$. Für jede höhere Schwingungsform kommt eine weitere halbe Wellenlänge hinzu:

$$L=n\frac{\lambda_n}{2},\qquad \lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad f_n=\frac{nv}{2L},\quad n=1,2,3,\ldots$$

Die erste Form ist die Grundschwingung $f_1=v/(2L)$. Die zweite hat die Frequenz $2f_1$ und einen zusätzlichen Knoten in der Saite. Die dritte hat $3f_1$. Diese Frequenzen als Harmonische zu bezeichnen ist erst sinnvoll, nachdem du geprüft hast, dass beide Enden tatsächlich fest sind. Ein freies Ende hat eine andere Randbedingung.

Für eine ideale gespannte Saite bestimmen Zugkraft $T$ und lineare Massendichte $\mu$ die Geschwindigkeit:

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.$$

Setze $T$ in Newton und $\mu$ in Kilogramm pro Meter ein. Die Wurzel hat dann Meter pro Sekunde als Einheit. Das Modell setzt eine biegsame Saite, nahezu konstante Spannung und kleine Querauslenkungen voraus. Eine dicke, steife oder stark angeregte reale Saite folgt nicht zwangsläufig jeder idealen Harmonischen genau.

Rechenbeispiel 1: Saite mit bekannter Zugkraft

Eine 1,20 m lange Saite hat die Zugkraft $48\ \mathrm{N}$ und die lineare Dichte $0.012\ \mathrm{kg/m}$. Gesucht sind die erste und dritte erlaubte Frequenz. Zuerst die Geschwindigkeit:

$$v=\sqrt{48/0.012}=\sqrt{4000}\approx63.25\ \mathrm{m/s}.$$

Dann folgen $f_1=63.25/(2\times1.20)\approx26.4\ \mathrm{Hz}$ und $f_3=3f_1\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. Für die dritte Form gilt $\lambda_3=2(1.20)/3=0.80\ \mathrm{m}$. Gegenprobe: $v/\lambda_3=63.25/0.80\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. In der Skizze müssen an beiden Enden und an zwei Stellen dazwischen Knoten liegen. Das Doppelte der Grundfrequenz wäre die zweite, nicht die dritte Form.

Eine andere Zugkraft ändert $v$ und damit alle Frequenzen. Bei doppelter Zugkraft verdoppelt sich die Frequenz nicht: Wegen der Wurzel steigt sie um den Faktor $\sqrt{2}$. Wenn bei gleicher Geschwindigkeit die Länge geändert wird, verhält sich die Frequenz dagegen umgekehrt proportional zu $L$. Sage bei einem Vergleich immer, was konstant bleibt.

Rohrenden: Auslenkung oder Druck angeben

Schall im Rohr ist eine Longitudinalstörung. Die Luft bewegt sich entlang des Rohrs hin und her; der Druck steigt und fällt. Das Wort „Knoten“ bleibt unklar, bis du sagst, welche Größe du zeichnest. An einem annähernd geschlossenen Ende ist die Luftauslenkung eingeschränkt: Auslenkungsknoten, Druckbauch. Am annähernd offenen Ende kann sich die Luft leichter bewegen, und der Druck liegt nahe am Atmosphärendruck: Auslenkungsbauch, Druckknoten.

Die Luftsäulen-Notizen der University of Tennessee stellen Druck- und Auslenkungsbedingungen ausdrücklich gegenüber. Die Spalten ergänzen einander. Eine Zeichnung mit einem Druckknoten am geschlossenen Ende und einer Formel für Auslenkung vermischt zwei Beschreibungen. OpenStax zeigt die Schallmoden anhand der Auslenkung. Schreibe vor der Rechnung „Luftauslenkung“ über die Skizze und setze erst dann Knoten und Bäuche. Darunter kannst du den Druck als Kontrolle ergänzen.

Ein beidseitig offenes Rohr hat an beiden Enden Auslenkungsbäuche. Im einfachsten Muster passt eine halbe Wellenlänge in $L$, wie bei der festen Saite, obwohl dort Knoten statt Bäuche an den Enden sitzen. Deshalb gilt im idealen offenen Rohr $f_n=nv/(2L)$ für $n=1,2,3,\ldots$. Auch ein beidseitig geschlossenes Rohr hat im einfachen Modell symmetrische Randbedingungen und dieselbe Frequenzfolge, nun mit Auslenkungsknoten an beiden Enden.

Rechenbeispiel 2: offenes Rohr

Nimm ein ideales 0,85 m langes, beidseitig offenes Rohr und setze für diese Aufgabe die Schallgeschwindigkeit $340\ \mathrm{m/s}$ an. Bei der Grundschwingung passt eine halbe Wellenlänge: $\lambda_1=2L=1.70\ \mathrm{m}$. Die Frequenz ist $f_1=340/1.70=200\ \mathrm{Hz}$. Die nächste erlaubte Form hat $f_2=400\ \mathrm{Hz}$ und $\lambda_2=0.85\ \mathrm{m}$.

Prüfe die Geometrie vor der Rechnung: Beide Öffnungen sind Auslenkungsbäuche, und die zweite Form fügt eine weitere halbe Wellenlänge hinzu. Prüfe auch die Einheiten: Meter pro Sekunde geteilt durch Meter ergibt Hertz. Die angenommenen 340 m/s sind ein Aufgabenwert, keine universelle Schallgeschwindigkeit. Temperatur und Medium können sie verändern.

Einseitig geschlossen: nur ungerade Harmonische

Schließe ein Ende des Rohrs, das andere bleibt offen. Die Auslenkung muss am einen Ende einen Knoten und am anderen einen Bauch haben. Das kürzeste Muster benötigt nur ein Viertel der Wellenlänge über $L$: $\lambda_1=4L$ und $f_1=v/(4L)$. Die nächste passende Form enthält drei Viertel, die folgende fünf:

$$L=(2k-1)\frac{\lambda_k}{4},\qquad f_k=(2k-1)\frac{v}{4L},\quad k=1,2,3,\ldots$$

Die Frequenzen sind $f_1,3f_1,5f_1,\ldots$. „Nur ungerade Harmonische“ beschreibt diese ideale Randbedingung. Die zweite erlaubte Schwingungsform ist die dritte Harmonische, nicht die zweite Harmonische. Wer „zweite Resonanz“ liest, setzt in diesem Modell $3f_1$ ein, nicht $2f_1$.

Rechenbeispiel 3: einseitig geschlossenes Rohr

Verwende ein 0,50 m langes Rohr und den ausdrücklich vorgegebenen Übungswert $v=340\ \mathrm{m/s}$. Erste Resonanz: $\lambda_1=4(0.50)=2.0\ \mathrm{m}$ und damit $f_1=340/2.0=170\ \mathrm{Hz}$. Zweite erlaubte Resonanz: $3f_1=510\ \mathrm{Hz}$ bei $\lambda=340/510\approx0.667\ \mathrm{m}$. Drei Viertel dieser Wellenlänge ergeben ungefähr 0,50 m und passen damit in das Rohr. $2f_1=340\ \mathrm{Hz}$ würde dagegen eine Auslenkungsform verlangen, die eine Randbedingung verletzt.

Kontrolle der Randbedingungen: geschlossen bedeutet Auslenkungsknoten und Druckbauch; offen bedeutet Auslenkungsbauch und Druckknoten. Prüfe danach Einheiten, Nummerierung der ungeraden Harmonischen und $v=f\lambda$. Alle vier Prüfungen müssen zum selben Ergebnis führen.

Stehende Wellen zeigen, welche Frequenzen passen; diese Schallintensitätsbeispiele erklären die Leistung pro Fläche mit dem Abstand.

Grenzen des idealen Modells

An einer offenen Rohrmündung hört die Luftbewegung nicht exakt am physischen Rand auf. Die wirksame akustische Länge kann deshalb etwas von der gemessenen Länge abweichen. Das nennt man Endkorrektur; die Notizen der University of Connecticut erklären den Unterschied zwischen akustischer und physischer Länge. Ihre Größe hängt von Öffnung und Umgebung ab; eine Gleichung für das perfekte Idealrohr trifft deshalb nicht jede reale Resonanz hertzgenau. In den Beispielen oben wird ausdrücklich das einfache Randmodell verwendet und das angegebene $L$ als wirksame Länge behandelt.

Auch die Temperatur beeinflusst die Schallgeschwindigkeit; starre Wände und Verluste spielen eine Rolle. Steifigkeit und Dämpfung der Saite können Moden verschieben oder verwischen. Darum musst du die Annahmen der Aufgabe lesen. Die Knotenskizze bleibt nützlich: Sie zeigt, mit welcher idealen Familie du beginnst und welche Korrektur in einer fortgeschrittenen Aufgabe nötig sein könnte.

Übertrage die Regel der ungeraden Harmonischen nicht auf jede Schallquelle. Sie gilt für ein annähernd geschlossenes und ein annähernd offenes Ende. Ein beidseitig offenes Rohr besitzt in derselben Näherung die volle Folge ganzer Zahlen. Eine schwingende Saite hat ihre eigenen Randbedingungen. Die Enden wählen die Gleichung, nicht der Name des Instruments.

Erst die Skizze, dann die Zahlen

Zeichne bei einer neuen Aufgabe die Enden, gib an, ob sich „Knoten“ auf Auslenkung oder Druck bezieht, zähle den erlaubten Anteil von $\lambda$ und setze erst danach $v$ und $L$ ein. Zum Schluss rechne mit $v=f\lambda$ zurück. Diese Zeile deckt viele Fehler um den Faktor zwei auf.

Die Wellen-und-Schall-Aufgaben in Physics Zen enthalten den Skill für stehende Wellen auf Saiten und in Rohren, mit neuen Werten und geprüften Lösungen. Nutze die drei Beispiele als Muster: Saitengeschwindigkeit aus Kraft und Dichte, offenes Rohr aus einer halben Wellenlänge, einseitig geschlossenes Rohr aus ungeraden Vierteln.

Häufige Fragen

Warum fehlt die zweite Harmonische beim einseitig geschlossenen Rohr? Mit einer halben Wellenlänge lassen sich nicht an einem Ende ein Auslenkungsknoten und am anderen ein Bauch platzieren. Nur ein, drei, fünf und weitere ungerade Viertel erfüllen im idealen Modell beide Bedingungen.

Ist eine Öffnung Knoten oder Bauch? Für die Luftauslenkung ist sie näherungsweise ein Bauch; für die Druckabweichung näherungsweise ein Knoten. Nenne die Größe, bevor du eines der Wörter verwendest.

Darf ich die gemessene Rohrlänge direkt verwenden? Verwende die Länge, die eine Lehrbuchaufgabe unter ihren idealen Annahmen vorgibt. Echte Messungen können eine Endkorrektur erfordern; prüfe, ob eine physische oder wirksame Länge gemeint ist.