Freikörperbilder zeichnen: Eine Schritt-für-Schritt-Methode, die Fehler verhindert

Die meisten falschen Antworten in der Einführungsmechanik entscheiden sich, bevor überhaupt eine Gleichung aufgeschrieben wird. Die Kräfte wurden falsch eingezeichnet, eine Kraft fehlte, oder ein Pfeil wurde eingezeichnet, der gar keine Kraft ist. Korrigiere das Diagramm, und die Algebra folgt meist von selbst.

Ein Freikörperbild ist ein einfaches Werkzeug: ein Objekt, allein gezeichnet, mit jeder auf es wirkenden Kraft als Pfeil dargestellt. Seine Stärke liegt in der Disziplin, die es erzwingt. Du musst festlegen, was das Objekt ist, jede Kraft benennen und wer sie ausübt, und dich auf eine Richtung festlegen, bevor du das zweite Newtonsche Gesetz anwendest.

Dieser Leitfaden zeigt eine Methode in fünf Schritten, arbeitet die Standardfälle durch und listet die Fehler auf, die Prüferinnen und Prüfer am häufigsten sehen. Er setzt voraus, dass du weißt, was das zweite Gesetz besagt; falls du das zunächst brauchst, lies unseren Leitfaden zu den Newtonschen Gesetzen, der diese Diagramme im Zusammenhang einführt.

Schritt 1: Das Objekt wählen und allein zeichnen

Lege genau fest, was „das Objekt“ ist. Eine Kiste auf einer Rampe, die Kiste und die Rampe zusammen oder die Person, die die Kiste schiebt, sind drei verschiedene Systeme mit drei verschiedenen Diagrammen. Schreibe deine Wahl auf.

Zeichne dann das Objekt für sich allein. Ein Punkt oder ein kleines Kästchen reicht aus. Entferne den Boden, das Seil, die Wand und alles andere, was es berührt. Diese Dinge erscheinen nur noch als die Kräfte, die sie ausüben.

In diesem Schritt steckt das „frei“ in Freikörperbild: Der Körper wird von seiner Umgebung befreit, sodass jede Wechselwirkung ausdrücklich dargestellt werden muss. Ein Diagramm, das die Rampe noch unter der Kiste zeigt, verleitet dazu zu vergessen, dass die Rampe auf die Kiste drückt.

Schritt 2: Jede reale Kraft und ihren Verursacher auflisten

Gehe die Kontakte und die Feldkräfte in einer festen Reihenfolge durch, damit nichts übersehen wird.

Gewichtskraft. Jedes Objekt mit Masse in Erdnähe hat eine Gewichtskraft $mg$, die senkrecht nach unten wirkt und von der Erde ausgeübt wird. Sie wirkt auch dann, wenn sich das Objekt nicht bewegt.

Normalkräfte. Jede Oberfläche, die das Objekt berührt, drückt darauf, senkrecht zur Oberfläche und von ihr weg. Ein Boden drückt nach oben. Eine Wand drückt seitlich. Eine schiefe Ebene drückt senkrecht zur Ebene.

Reibungskraft. Jede raue Oberfläche, die das Objekt berührt, kann zusätzlich eine Kraft parallel zur Oberfläche ausüben, die dem Gleiten oder der Tendenz zu gleiten entgegenwirkt. Die Gleitreibungskraft wirkt der Bewegung entgegen; die Haftreibungskraft wirkt dem entgegen, was ohne sie geschehen würde.

Seilkraft. Jedes Seil, jede Schnur oder jedes Kabel, das am Objekt befestigt ist, zieht entlang des Seils vom Objekt weg. Seile drücken niemals.

Aufgebrachte Kräfte. Jeder in der Aufgabe genannte Schub oder Zug, im angegebenen Winkel.

Federkräfte, Luftwiderstand, aerodynamischer Auftrieb, Auftrieb in Flüssigkeiten sowie elektrische oder magnetische Kräfte, sofern die Aufgabe es erfordert.

Benenne für jede Kraft, was sie ausübt: „Normalkraft vom Boden“, „Seilkraft vom linken Seil“. Kannst du die Quelle nicht benennen, gehört die Kraft nicht in das Diagramm. Allein dieser Test entfernt die meisten erfundenen Kräfte.

Schritt 3: Jede Kraft vom Objekt aus in ihre reale Richtung zeichnen

Beginne jeden Pfeil am Punkt und richte ihn in die Richtung, in die die Kraft wirkt. Längere Pfeile für größere Kräfte sind hilfreich, aber nicht erforderlich; entscheidend ist die Richtung.

Beschrifte jeden Pfeil mit einem Symbol, das du in den Gleichungen wiederverwendest: $W$ oder $mg$, $N$, $f$, $T$, $F$. Gibt es zwei Kräfte derselben Art, unterscheide sie: $T_1$ und $T_2$, $N_{\text{floor}}$ und $N_{\text{wall}}$.

Zeichne keine Kräfte, die das Objekt auf andere Dinge ausübt. Die Kiste drückt nach unten auf den Boden, aber diese Kraft wirkt auf den Boden, also erscheint sie im Diagramm des Bodens, nicht in dem der Kiste. Kräftepaare nach dem dritten Newtonschen Gesetz erscheinen niemals im selben Freikörperbild, weil sie auf unterschiedliche Objekte wirken.

Schritt 4: Achsen wählen, die der Bewegung folgen

Zeichne ein kleines Achsenpaar neben das Diagramm. Richte eine Achse an der Richtung der Beschleunigung aus, oder an der Oberfläche, wenn sich das Objekt entlang einer solchen bewegt. Auf einem ebenen Boden sind das die übliche Horizontale und Vertikale. Auf einer schiefen Ebene sind es die Richtung entlang der Ebene und senkrecht dazu.

Der Grund ist praktisch. Mit Achsen entlang der Ebene liegen Normalkraft und Reibungskraft genau auf den Achsen, und nur die Gewichtskraft muss in Komponenten zerlegt werden. Mit horizontalen und vertikalen Achsen auf einer schiefen Ebene müssen statt einer gleich drei Kräfte zerlegt werden, und die Algebra verdreifacht sich.

Beschleunigt das Objekt nicht, funktioniert jede Ausrichtung, aber dieselbe Regel minimiert weiterhin die Anzahl der Komponenten.

Schritt 5: Das zweite Gesetz entlang jeder Achse aufschreiben

Lies das Diagramm Achse für Achse. Summiere die Komponenten entlang der ersten Achse und setze sie gleich $ma$ entlang dieser Achse; verfahre ebenso mit der zweiten Achse. Kräfte, die in die negative Richtung zeigen, erhalten ein Minuszeichen. Eine Achse ohne Beschleunigung erhält auf der rechten Seite eine Null.

Damit hat das Diagramm seine Arbeit getan. Die Gleichungen sind eine Übertragung des Bildes, kein neuer Denkschritt, und wenn das Bild stimmte, stimmen auch die Gleichungen.

Löse die Gleichungen und überprüfe das Ergebnis anhand des Diagramms. Eine negative Reibungskraft bedeutet, dass sie in die entgegengesetzte Richtung zu deinem Pfeil zeigt. Eine negative Normalkraft bedeutet, dass die Oberfläche ziehen müsste, was sie nicht kann, sodass das Objekt die Oberfläche verlassen hat und sich das Modell ändert.

Durchgerechnetes Beispiel: Eine Kiste wird über einen rauen Boden geschoben

Eine 10-kg-Kiste wird mit einer horizontalen Kraft von 40 N über einen Boden mit Gleitreibungskoeffizient 0,3 geschoben. Bestimme die Beschleunigung.

Objekt: die Kiste. Kräfte: Gewichtskraft $mg$ nach unten (Erde), Normalkraft $N$ nach oben (Boden), Reibungskraft $f$ entgegen der Bewegung (Boden), aufgebrachte Kraft $F$ vorwärts (der Schub). Vier Pfeile.

Achsen: $x$ entlang der Schubrichtung, $y$ nach oben. Vertikal beschleunigt nichts, also gilt

$$N - mg = 0$$

was $N = 98\ \text{N}$ ergibt. Horizontal gilt

$$F - f = ma$$

mit $f = \mu N = 0.3 \times 98 = 29.4\ \text{N}$, sodass $a = (40 - 29.4)/10 = 1.06\ \text{m/s}^2$ gilt.

Beachte, dass die Reibungskraft von der Normalkraft abhängt und die Normalkraft aus der vertikalen Gleichung stammt. Das Diagramm macht diese Abhängigkeit sichtbar: Reibungskraft und Normalkraft sind zwei Pfeile derselben Oberfläche.

Durchgerechnetes Beispiel: Ein Block auf einer schiefen Ebene

Ein Block liegt auf einer Ebene mit Neigungswinkel $\theta$. Kräfte: Gewichtskraft $mg$ senkrecht nach unten, Normalkraft $N$ senkrecht zur Ebene, Reibungskraft $f$ entlang der Ebene. Drei Pfeile.

Achsen entlang und senkrecht zur Ebene. Die Gewichtskraft zerlegt sich in $mg\sin\theta$ entlang der Ebene nach unten und $mg\cos\theta$ in die Ebene hinein. Senkrecht gilt:

$$N - mg\cos\theta = 0$$

Entlang der Ebene gilt für einen mit Gleitreibung nach unten rutschenden Block:

$$mg\sin\theta - \mu N = ma$$

was $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$ ergibt.

Der häufigste Fehler hier ist, die Normalkraft senkrecht nach oben zu zeichnen. Sie steht senkrecht zur Oberfläche, die auf einer schiefen Ebene nicht senkrecht nach oben zeigt, und genau deshalb ist $N$ kleiner als $mg$. Der zweithäufigste Fehler ist die Vertauschung von Sinus und Kosinus in den Komponenten, was eine geometrische Kontrolle ist, keine physikalische; unser Artikel über Mathefehler in der Physik zeigt, wie man das jedes Mal klärt.

Durchgerechnetes Beispiel: Eine hängende Masse an einem Seil

Eine Masse hängt an einem Seil und wird nach oben gezogen, wobei sie mit $a$ beschleunigt. Kräfte: Gewichtskraft $mg$ nach unten, Seilkraft $T$ nach oben. Zwei Pfeile. Vertikale Achse, nach oben positiv:

$$T - mg = ma$$

also $T = m(g + a)$. Würde die Masse nach unten beschleunigen, wäre $a$ negativ und $T$ kleiner als $mg$. Würde das Seil erschlaffen, wäre $T$ null, und das Diagramm hätte nur einen Pfeil.

Zwei Kräfte, eine Zeile, und dennoch entlarvt dieses Diagramm einen hartnäckigen Fehler: das Hinzufügen einer nach unten gerichteten „Bewegungskraft“, wenn sich die Masse nach unten bewegt. Bewegung ist keine Kraft. Die Masse bewegt sich nach unten, weil die Gewichtskraft größer ist als die Seilkraft, und das Diagramm enthält bereits beide.

Die fünf häufigsten Fehler aus Sicht der Prüfer

1. Die resultierende Kraft als Pfeil einzeichnen. Die resultierende Kraft ist die Summe der eingezeichneten Pfeile, kein zusätzlicher Pfeil. Sie einzuzeichnen zählt doppelt.
2. Die Zentripetalkraft als Pfeil einzeichnen. Bei der Kreisbewegung wird die nach innen gerichtete Kraft von realen, bereits im Diagramm vorhandenen Kräften geliefert, etwa der Seilkraft oder der Reibungskraft. Unser Leitfaden zur Kreisbewegung zeigt, wie man sie liest. Füge keinen separaten „Zentripetal“-Pfeil hinzu.
3. Geschwindigkeit oder Beschleunigung als Kräfte einzeichnen. Keines von beidem ist eine Kraft. Willst du die Beschleunigung trotzdem festhalten, zeichne sie in einem anderen Stil neben das Diagramm.
4. Einen Kontakt vergessen. Jede Oberfläche, jedes Seil und jede Hand, die das Objekt berührt, übt eine Kraft aus. Gehe gedanklich um das Objekt herum und liste die Kontakte auf, bevor du zeichnest.
5. Die Normalkraft auf einer schiefen Ebene senkrecht nach oben zeichnen, oder die Reibungskraft senkrecht zur Oberfläche. Die Normalkraft steht senkrecht zur Oberfläche, die Reibungskraft verläuft parallel zu ihr. Sprich diese beiden Sätze laut aus, bevor du einen der beiden Pfeile zeichnest.

Eine Checkliste für dreißig Sekunden

• Ein Objekt, allein gezeichnet, benannt.
• Gewichtskraft von der Erde, senkrecht nach unten.
• Eine Normalkraft pro Oberfläche, senkrecht zu dieser Oberfläche.
• Reibungskraft parallel zu jeder rauen Oberfläche, entgegen der Gleitrichtung.
• Seilkraft entlang jedes Seils, vom Objekt weg ziehend.
• Jede aufgebrachte Kraft im angegebenen Winkel.
• Keine resultierende Kraft, keine Zentripetalkraft, keine Geschwindigkeit, keine Beschleunigung als Pfeile.
• Achsen entlang der Beschleunigung oder der Oberfläche.
• Eine Gleichung nach dem zweiten Gesetz pro Achse, Minuszeichen für negative Richtungen.

Übe das im Thema Dynamik von Physics Zen, wo dir die Unterthemen Newtonsche Gesetze, Reibung und Schiefe Ebene jedes Mal eine neue Aufgabe stellen und die Kraftgleichungen prüfen, und übertrage dieselbe Methode dann auf das Thema Kreisbewegung & Gravitation, wo allein das Diagramm die nach innen gerichtete Kraft ehrlich hält.

Ein Freikörperbild ist keine Formalität vor der eigentlichen Arbeit. Es ist die eigentliche Arbeit. Zeichne es richtig, und aus dem Physikproblem wird ein Algebraproblem, und das ist die deutlich einfachere Art von Problem.