Archimedisches Prinzip: Auftrieb mit Beispielen erklärt

Drücken Sie eine leere, verschlossene Flasche unter die Oberfläche eines Schwimmbeckens. Ihre Hand spürt, wie sie zurückdrückt. Lassen Sie los, steigt die Flasche auf, bis nur noch ein Teil unter Wasser ist. Werfen Sie nun einen Metallschlüssel in dasselbe Becken. Er sinkt, obwohl das Wasser auch auf ihn nach oben drückt. Entscheidend ist, ob dieser Druck nach oben die Gewichtskraft ausgleichen kann.

Das archimedische Prinzip beschreibt die Größe dieser Kraft: Die Auftriebskraft entspricht dem Gewicht des verdrängten Fluids. Ein Fluid ist eine Flüssigkeit oder ein Gas. Das gilt für schwimmende und sinkende Körper ebenso wie für Körper, die unter Wasser festgehalten werden. Welche Rechnung Sie brauchen, hängt davon ab, wie viel des Körpers eingetaucht ist. Bei Auftriebsaufgaben wird besonders häufig das gesamte Körpervolumen eingesetzt, obwohl nur ein Teil davon ein Fluid verdrängt.

In den Beispielen verwenden wir Wasser mit der Dichte $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ und die Erdbeschleunigung $9.81\ \mathrm{m/s^2}$. Das sind gerundete Modellwerte. Wir nehmen eine überall gleiche Wasserdichte an. Die Körper saugen kein Wasser auf und verändern ihr Volumen nicht. Soweit eine Freigabe nicht ausdrücklich erwähnt wird, betrachten wir ruhende Körper.

Warum zeigt die Kraft nach oben?

Wasser drückt von allen Seiten auf einen eingetauchten Körper. Mit der Tiefe steigt der Druck. Deshalb drückt das Wasser auf die Unterseite stärker als auf die Oberseite. In einer einfachen symmetrischen Anordnung heben sich die waagerechten Kräfte auf; übrig bleibt eine resultierende Kraft nach oben. OpenStax erklärt den Auftrieb über Druck und formuliert das archimedische Prinzip für teilweise und vollständig eingetauchte Körper.

Dasselbe Ergebnis können Sie sich anders vorstellen. Entfernen Sie den Körper gedanklich und setzen Sie die verdrängte Wassermenge wieder an seine Stelle. Das umgebende Wasser würde diese Wassermenge mit Druckkräften tragen. Setzen Sie den Körper zurück, wirkt die gleiche Unterstützung nach oben auf das besetzte Volumen. Daher entspricht die nach oben gerichtete Kraft dem Gewicht des verdrängten Wassers. Die Gewichtskraft des Körpers entscheidet, ob diese Unterstützung ausreicht, nicht ob sie überhaupt vorhanden ist.

Bei einheitlicher Dichte hat das verdrängte Fluid die Masse $\rho_{\mathrm{fluid}}V_{\mathrm{displaced}}$. Multiplizieren Sie mit $g$, um sein Gewicht zu erhalten:

$$F_{\mathrm{b}}=\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{displaced}}$$

Auch die Einheiten passen: $(\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm{m^3})=\mathrm{kg\,m/s^2}=\mathrm{N}$. Auftrieb ist eine Kraft in Newton, keine Masse in Kilogramm. Die Archimedes-Demonstration der UC Santa Barbara zeigt die Formel und vergleicht die Abnahme der Waagenanzeige mit dem aufgefangenen Wasser einer eingetauchten Kugel.

Welches Volumen gehört in die Formel?

Verwenden Sie das Volumen des verdrängten Fluids. Es entspricht genau dem Teil des Körpers, der sich im Fluid befindet, sofern das Fluid nicht durch den Körper hindurchfließen kann.

• Bei einem festen Körper, der vollständig unter Wasser ist, entspricht das verdrängte Volumen seinem gesamten äußeren Volumen.
• Bei einem Körper, der teilweise oberhalb der Oberfläche schwimmt, entspricht es nur dem eingetauchten Volumen.
• Wird ein Körper ins Wasser hinabgelassen, wächst das verdrängte Volumen, je weiter er eintaucht, bis er vollständig unter Wasser ist.

Für die direkte Berechnung der Auftriebskraft verlangt die Formel weder Masse noch Dichte des Körpers. Diese Größen werden wichtig, wenn Sie Auftrieb und Gewichtskraft vergleichen oder die Schwimmlage berechnen. Zeichnen Sie die Wasserlinie und verwenden Sie nur das Volumen darunter.

Rechenbeispiel: Ein sinkender Körper wird unter Wasser gehalten

Nehmen wir einen kompakten Körper mit der Masse $1.0\ \mathrm{kg}$ und dem äußeren Volumen $0.5\ \mathrm{L}=0.0005\ \mathrm{m^3}$. Senken Sie ihn an einem dünnen Waagenhaken vollständig ins Wasser, halten Sie ihn schwebend und achten Sie darauf, dass er den Boden nicht berührt. Den geringen Auftrieb in Luft vernachlässigen wir, wenn wir sein Gewicht in Luft $mg$ nennen.

Seine Gewichtskraft ist:

$$W=mg=(1.0)(9.81)=9.81\ \mathrm{N}$$

Der vollständig eingetauchte Körper verdrängt $0.0005\ \mathrm{m^3}$ Wasser. Die Auftriebskraft beträgt:

$$F_{\mathrm{b}}=(1000)(9.81)(0.0005)=4.905\ \mathrm{N}$$

Die Schwerkraft zieht weiter mit $9.81\ \mathrm{N}$ nach unten. Das Wasser drückt mit $4.905\ \mathrm{N}$ nach oben. Die Waage liefert die restliche Kraft nach oben und zeigt daher:

$$T=W-F_{\mathrm{b}}=9.81-4.905=4.905\ \mathrm{N}$$

Dieser Messwert ist das scheinbare Gewicht des unter Wasser aufgehängten Körpers. NASAs Auftriebslektion verwendet dieselbe Subtraktion der Kräfte mit anderen Einheiten. Der Körper hat keine Masse verloren. Das Wasser trägt einen Teil seines Gewichts. Hängen Sie ihn aus, ist seine Gewichtskraft größer als der Auftrieb, und er beschleunigt nach unten. Erreicht er den Boden, kommt eine Kontaktkraft hinzu. Die Gleichung für die hängende Waage beschreibt dann nicht mehr die gesamte Kräftebilanz.

Zeichnen Sie die Kräfte, bevor Sie über das Schwimmen entscheiden

Hier hilft die Methode des Freikörperbilds besonders. Zeichnen Sie nur Kräfte, die auf den Körper wirken. Beim aufgehängten Körper zeigt die Gewichtskraft $W$ nach unten, die Auftriebskraft $F_{\mathrm{b}}$ nach oben und die Seilkraft der Waage $T$ ebenfalls nach oben. Im Ruhezustand gilt $T+F_{\mathrm{b}}-W=0$. Wird der Körper von der Waage freigegeben, streichen Sie $T$ und wenden das zweite Newtonsche Gesetz auf die verbleibende resultierende Kraft an.

Ein frei schwimmender ruhender Körper wird weder von einer Waage noch vom Boden getragen. Nur Gewichtskraft und Auftrieb gleichen sich aus:

$$F_{\mathrm{b}}=W$$

Diese Gleichheit folgt aus dem Gleichgewicht. Sie bedeutet nicht, dass das Wasser die Gewichtskraft des Körpers im Voraus „kennt“. Der Körper bewegt sich, bis er genug Wasser verdrängt, um dessen Gewichtskraft zu erreichen. Mit zusätzlicher Last taucht ein schwimmender Körper tiefer ein, mit weniger Last steigt er. Unser Leitfaden zu Newtons Gesetzen erklärt, warum eine resultierende Kraft von null Ruhe oder gleichförmige Bewegung beschreibt, während eine unausgeglichene Kraft die Bewegung ändert.

Rechenbeispiel: Welcher Anteil eines Blocks taucht ein?

Betrachten Sie einen versiegelten Block mit dem Gesamtvolumen $1.0\ \mathrm{L}=0.001\ \mathrm{m^3}$ und der mittleren Dichte $600\ \mathrm{kg/m^3}$. Seine Masse ist $(600)(0.001)=0.6\ \mathrm{kg}$. Damit beträgt seine Gewichtskraft:

$$W=(0.6)(9.81)=5.886\ \mathrm{N}$$

Lassen Sie ihn frei schwimmen. Im Ruhezustand muss das verdrängte Wasser $5.886\ \mathrm{N}$ wiegen. Berechnen Sie das Wasservolumen:

$$V_{\mathrm{displaced}}=\frac{W}{\rho_{\mathrm{water}}g} =\frac{5.886}{(1000)(9.81)} =0.0006\ \mathrm{m^3}=0.6\ \mathrm{L}$$

Somit sind $0.6/1.0=0.60$, also 60 Prozent des Blockvolumens, eingetaucht. Die übrigen 40 Prozent liegen in diesem idealisierten Modell über der Oberfläche. Das ergibt sich auch unmittelbar aus dem Dichteverhältnis:

$$\frac{V_{\mathrm{submerged}}}{V_{\mathrm{object}}} =\frac{\rho_{\mathrm{object,average}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}} =\frac{600}{1000}=0.60$$

Diese Abkürzung setzt einen frei schwimmenden Körper im Gleichgewicht, ein Fluid mit einheitlicher Dichte und eine mittlere Körperdichte voraus, die mit dem äußeren Körpervolumen berechnet wurde. Sie ist keine Formel für den eingetauchten Anteil eines sinkenden Körpers, der von einem Seil gehalten wird oder auf dem Boden liegt. Das Verhältnis kann in dieser einfachen Situation für einen frei schwimmenden Körper im Gleichgewicht auch nicht größer als eins sein: Übersteigt seine mittlere Dichte die Fluiddichte, kann er beim Schwimmen nicht genug Fluid verdrängen.

Drücken Sie nun denselben Block vollständig unter Wasser und halten ihn dort. Er verdrängt die vollen $1.0\ \mathrm{L}$; der Auftrieb wird $(1000)(9.81)(0.001)=9.81\ \mathrm{N}$. Seine Gewichtskraft bleibt $5.886\ \mathrm{N}$. Ohne die festhaltende Kraft wäre die resultierende Kraft $9.81-5.886=3.924\ \mathrm{N}$ nach oben gerichtet. Deshalb müssen Sie nach unten drücken, um ihn unter Wasser zu halten. Verwenden Sie $9.81\ \mathrm{N}$ nicht als Auftrieb, wenn er frei schwimmt: Dann beträgt der Auftrieb $5.886\ \mathrm{N}$, weil nur $0.6\ \mathrm{L}$ eingetaucht sind.

Im Fluide-Thema von Physics Zen haben verdrängtes Volumen und Kräftegleichgewicht einen eigenen Platz im Kurs. Rechnen Sie das Volumen zuerst in Kubikmetern um und vergleichen Sie anschließend Kräfte in Newton.

Zwei kurze Übungsaufgaben

Aufgabe 1. Ein vollständig eingetauchter starrer Körper verdrängt $0.002\ \mathrm{m^3}$ Wasser. Berechnen Sie mit den obigen Modellwerten seine Auftriebskraft. Das Ergebnis ist $(1000)(9.81)(0.002)=19.62\ \mathrm{N}$ nach oben. Für diesen Schritt brauchen Sie seine Masse nicht. Um zu entscheiden, ob er nach dem Loslassen aufsteigt, bräuchten Sie sie dagegen.

Aufgabe 2. Ein frei schwimmender versiegelter Körper hat im modellierten Wasser die mittlere Dichte $750\ \mathrm{kg/m^3}$. Welcher Anteil seines Volumens ist eingetaucht? Das Ergebnis ist $750/1000=0.75$, also 75 Prozent. Betrüge sein äußeres Volumen $2.0\ \mathrm{L}$, wären $1.5\ \mathrm{L}$ eingetaucht. Prüfen Sie das über die Masse: $(750)(0.002)=1.5\ \mathrm{kg}$, genau die Masse von $1.5\ \mathrm{L}$ des modellierten Wassers.

Häufige Fehler

Das gesamte Volumen bei einem teilweise schwimmenden Körper einsetzen. Nur der eingetauchte Teil verdrängt ein Fluid. Ermitteln Sie diesen Teil aus dem Gleichgewicht, statt ihn mit dem ganzen Block gleichzusetzen.

Glauben, dass ein sinkender Körper keinen Auftrieb erfährt. Die Kraft nach oben kann erheblich sein; nach dem Loslassen reicht sie lediglich nicht aus, um die Gewichtskraft auszugleichen.

Das scheinbare Gewicht für eine veränderte Schwerkraft halten. Die Gewichtskraft des Körpers bleibt $mg$. Die Waage zeigt weniger an, weil das Wasser eine weitere Kraft nach oben liefert.

Liter und Kubikmeter vermischen. Ein Liter entspricht $0.001\ \mathrm{m^3}$. Rechnen Sie um, bevor Sie mit einer Dichte pro Kubikmeter multiplizieren.

Das Dichteverhältnis fürs Schwimmen außerhalb seiner Voraussetzungen anwenden. Für einen nach unten gehaltenen Körper, einen Körper auf dem Boden oder ein Fluid mit veränderlicher Dichte müssen Sie die tatsächliche Kräftebilanz betrachten. Zeichnen Sie das Diagramm und gehen Sie zum verdrängten Volumen zurück.

Häufig gestellte Fragen

Nimmt die Auftriebskraft mit der Tiefe zu?

In diesem Modell mit konstanter Dichte ändert ein bereits vollständig eingetauchter starrer Körper sein verdrängtes Volumen nicht, wenn er tiefer bewegt wird. Daher bleibt $\rho gV$ gleich. Während er ins Wasser eintaucht, nimmt der Auftrieb zu, weil sein eingetauchtes Volumen wächst. Andere Bedingungen, etwa ein kompressibler Körper oder eine mit der Tiefe veränderliche Fluiddichte, erfordern eine andere Analyse.

Warum schwimmt ein schweres Schiff, während ein kleiner Metallschlüssel sinkt?

Das Gewicht allein ist nicht entscheidend. Der Schiffsrumpf umschließt Raum und hat, diesen eingeschlossenen Raum mitgerechnet, eine ausreichend geringe mittlere Dichte. So kann er Wasser mit demselben Gewicht verdrängen, bevor die Wasserlinie seine Oberkante erreicht. Die mittlere Dichte eines kompakten Schlüssels ist größer als die des Wassers. Selbst vollständig eingetaucht reicht sein Auftrieb nicht aus, um seine Gewichtskraft auszugleichen.

Ist verdrängtes Wasser dasselbe wie überlaufendes Wasser?

Das verdrängte Volumen ist der Raum, aus dem der Körper Wasser ausschließt. In einem Überlaufgefäß kann eine gleich große Menge überlaufen. In einem Becken steigt stattdessen der Wasserspiegel. Die Auftriebskraft hängt vom Gewicht des verdrängten Fluids ab, nicht davon, ob Sie überlaufendes Wasser auffangen.