Elektromagnetische Induktion: Induktionsgesetz mit Beispielen

Schieben Sie einen Magneten auf eine Drahtspule zu, kann ein mit der Spule verbundenes Messgerät ausschlagen. Halten Sie den Magneten still, verschwindet der Ausschlag. Ziehen Sie ihn weg, kehrt sich der Ausschlag um. Die Spule befindet sich auch beim stillstehenden Magneten weiterhin in einem Magnetfeld. Verändert hat sich der magnetische Fluss durch die Spule.

Bei elektromagnetischer Induktion erzeugt eine Änderung dieses Flusses eine Induktionsspannung, im Unterricht meist $U_{\mathrm{ind}}$ genannt. In den Formeln dieses Artikels steht dafür das in vielen Lehrbüchern übliche Symbol $\mathcal E$; gemeint ist dieselbe Größe. Das Induktionsgesetz (faradaysches Induktionsgesetz) beschreibt, wie groß die Induktionsspannung ist. Die Lenzsche Regel beschreibt ihre Richtung. Beide lassen sich leichter anwenden, wenn Sie drei Fragen trennen: Was durchsetzt die Schleife, wie verändert sich diese Durchsetzung, und gibt es einen geschlossenen Weg für den Strom?

Der magnetische Fluss erfasst das Feld durch eine Fläche

Stellen Sie sich über einer Drahtschleife eine flache Fläche vor. Der magnetische Fluss erfasst das Magnetfeld, das diese Fläche durchsetzt, einschließlich seiner Richtung. Allgemein gilt

$$\Phi_B=\int_A\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf n}\,dA.$$

Das Symbol $\mathbf B$ bezeichnet das Magnetfeld, $dA$ ein kleines Stück der Fläche und $\hat{\mathbf n}$ eine gewählte Einheitsnormale senkrecht zur Fläche. Das Skalarprodukt bewirkt, dass nur die Feldkomponente senkrecht zur Fläche zählt. Legen Sie fest, auf welche Seite der Schleife die Normale zeigt, und behalten Sie diese Wahl bei; dreht sich die Schleife, dreht sich ihre Normale mit. Kehren Sie die Normale um, wechseln die Vorzeichen von Fluss und Induktionsspannung, nicht aber die physikalische Stromrichtung.

Für eine ebene Schleife mit der Fläche $A$ in einem homogenen Feld vom Betrag $B$ vereinfacht sich das Integral zu

$$\Phi_B=BA\cos\theta,$$

wobei $\theta$ der Winkel zwischen Feld und Flächennormale ist. Zeigt das Feld gerade durch die Schleife, ist $\theta=0^\circ$ und der Betrag des Flusses $BA$. Verläuft das Feld in der Ebene der Schleife, ist $\theta=90^\circ$ und der Fluss null. Verwenden Sie einen Winkel zwischen Feld und Ebene nicht, ohne ihn vorher umzurechnen.

Die SI-Einheit ist Weber, Wb: $1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$. Der Fluss bezieht sich auf eine Schleife. Bei einer Spule mit $N$ identischen Windungen, die jeweils denselben Fluss erfassen, beträgt der gesamte verkettete Fluss $N\Phi_B$. OpenStax zum faradayschen Induktionsgesetz zeigt die allgemeine Flussdefinition und die Vereinfachung für ein homogenes Feld.

Ein erstes Beispiel zum magnetischen Fluss

Eine ebene Schleife habe eine Fläche von $0.040\ \mathrm{m^2}$ in einem homogenen Feld von $0.30\ \mathrm T$. Das Feld bildet mit der Normale der Schleife einen Winkel von $60^\circ$. Wählen Sie die Normale so, dass der Fluss positiv ist:

$$\Phi_B=(0.30)(0.040)\cos60^\circ =0.0060\ \mathrm{Wb}.$$

Richten Sie die Normale derselben Schleife entlang des Feldes aus, steigt der Fluss auf $0.012\ \mathrm{Wb}$, obwohl Feldstärke und Fläche unverändert bleiben. Eine Drehung der Schleife kann also auch in einem konstanten Feld eine Spannung induzieren.

Das Induktionsgesetz misst die Änderungsrate

Für $N$ identische Windungen, durch die jeweils derselbe Fluss geht, lautet das Induktionsgesetz

$$\mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

Die Induktionsspannung $\mathcal E$ wird in Volt gemessen. Ein Weber pro Sekunde entspricht einem Volt. Ihr Betrag wächst, wenn sich der Fluss schneller ändert, und skaliert mit der Windungszahl. Die gewählte Normale legt über die Rechte-Hand-Regel auch die positive Umlaufrichtung fest: Zeigt Ihr Daumen entlang der Normale, zeigen die gekrümmten Finger in positive Richtung. Das Minuszeichen ist die Lenzsche Regel in Formelgestalt; es bedeutet nicht, dass Sie einen negativen Betrag angeben sollen.

Gibt eine Aufgabe nur Anfangs- und Endfluss sowie das Zeitintervall vor, berechnen Sie die mittlere Induktionsspannung:

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}}=-N\frac{\Phi_{B,\mathrm{final}}-\Phi_{B,\mathrm{initial}}}{\Delta t}.$$

Aus diesem Mittelwert lässt sich die Induktionsspannung zu jedem einzelnen Zeitpunkt nur dann ableiten, wenn sich der Fluss mit konstanter Rate ändert. Außerdem ist ein veränderliches Feld nur eine Möglichkeit, den Fluss zu ändern. Auch Fläche oder Winkel der Schleife können sich ändern, während $B$ konstant bleibt. Dass sich ein Feld irgendwo außerhalb der Schleife ändert, reicht allein nicht aus: Der Fluss durch die gewählte Schleife muss sich ändern.

Rechenbeispiel: mittlere Induktionsspannung

Eine Spule hat 80 Windungen, die jeweils $0.025\ \mathrm{m^2}$ umschließen. Ein homogenes Feld senkrecht zu den Spulenflächen steigt in $0.20\ \mathrm s$ von $0.10\ \mathrm T$ auf $0.35\ \mathrm T$. Die positive Normale zeige entlang des Feldes. Die Flussänderung pro Windung beträgt

$$\Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.025)(0.35-0.10) =0.00625\ \mathrm{Wb}.$$

Damit ergibt sich als mittlere Induktionsspannung

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}} =-80\frac{0.00625}{0.20} =-2.5\ \mathrm V.$$

Ihr Betrag ist $2.5\ \mathrm V$. Das negative Vorzeichen bedeutet: Relativ zu unserer gewählten positiven Normalen und Umlaufrichtung wirkt die Induktionsspannung in die andere Richtung. Stiege das Feld nicht gleichmäßig, blieben $2.5\ \mathrm V$ der mittlere Betrag über das Intervall; der momentane Wert könnte davon abweichen.

Lenzsche Regel: Der Änderung entgegenwirken, nicht dem Feld

Bevor Sie zwischen Uhrzeigersinn und Gegenuhrzeigersinn wählen, prüfen Sie, ob der ursprüngliche Fluss durch die Schleife zunimmt oder abnimmt. Der Induktionsstrom erzeugt bei geschlossenem Stromkreis ein Magnetfeld, das dieser Änderung entgegenwirkt. OpenStax zur Lenzschen Regel verbindet diese Richtungsregel mit der Energieerhaltung.

Betrachten Sie eine flach auf einer Seite liegende Schleife. Ein Magnetfeld zeigt in die Seite hinein und wird stärker. Der Fluss durch die Seite nimmt zu. Das induzierte Feld der Schleife muss aus der Seite heraus zeigen, um dieser Zunahme entgegenzuwirken. Krümmen Sie die Finger der rechten Hand in Stromrichtung, während der Daumen aus der Seite heraus zeigt: Von oben betrachtet fließt der Strom gegen den Uhrzeigersinn.

Lassen Sie das Feld nun weiter in die Seite hinein zeigen, aber schwächer werden. Das induzierte Feld zeigt in die Seite hinein, um dem Flussverlust entgegenzuwirken. Die Rechte-Hand-Regel ergibt einen Strom im Uhrzeigersinn. In beiden Fällen zeigt das ursprüngliche Feld in dieselbe Richtung. Die Änderung bestimmt die induzierte Richtung.

Dieselben Schritte gelten für einen bewegten Magneten. Geben Sie an, welcher Pol der Schleife zugewandt ist und von welcher Seite Sie schauen. Bestimmen Sie dann die Flussänderung und wenden Sie die Rechte-Hand-Regel an. Die bloße Antwort „im Uhrzeigersinn“ ist unvollständig, wenn die Blickseite fehlt.

Induktionsspannung auch ohne Stromfluss

Die Induktionsspannung wirkt als Antrieb entlang der Schleife. Für einen anhaltenden Induktionsstrom ist ein geschlossener Leiterkreis nötig. Trennen Sie den Draht auf, erzeugt der veränderliche Fluss weiterhin eine Induktionsspannung, die Sie an den offenen Enden messen können, doch Ladung kann nicht dauerhaft über die Lücke hinweg zirkulieren. Ist die Schleife geschlossen und ihr Widerstand bekannt, liefert ein einfaches ohmsches Modell den Strombetrag $I=|\mathcal E|/R$. Die Induktionsspannung allein legt den Strom nicht fest: Auch der Widerstand zählt. Unser Leitfaden zu Reihen- und Parallelschaltungen behandelt diese Schaltungsrechnung näher.

Ein Generator nutzt das Prinzip, indem er eine Spule relativ zu einem Magnetfeld dreht. Damit ändern sich Winkel und Fluss. Eine ruhende Schleife in einem unveränderten, homogenen Feld hat konstanten Fluss und nach dem Induktionsgesetz keine Induktionsspannung, obwohl ein Magnetfeld durch sie geht. Bei einem bewegten Leiter kann eine genauere Betrachtung des Stromkreises nötig sein, aber für diese Beispiele ist die Flussregel der geschlossenen Schleife der richtige Ausgangspunkt.

Verwechseln Sie die Induktionsspannung nicht mit der elektrostatischen Potenzialdifferenz aus einer Aufgabe mit ruhenden Ladungen. Beides wird in Volt gemessen, aber ein veränderlicher magnetischer Fluss kann Ladung entlang eines geschlossenen Weges antreiben. Den Vergleich mit dem statischen Feld finden Sie unter elektrisches Potenzial und elektrisches Feld.

Drei Übungsaufgaben mit Lösungen

1. Veränderliche Fläche bei konstantem Feld. Eine einzelne rechteckige leitende Schleife steht senkrecht zu einem homogenen Feld von $0.40\ \mathrm T$. Ihre eingeschlossene Fläche sinkt in $0.50\ \mathrm s$ von $0.030\ \mathrm{m^2}$ auf $0.010\ \mathrm{m^2}$. Wie groß ist der Betrag der mittleren Induktionsspannung? Wählen Sie die Normale entlang des Feldes. Die Flussänderung ist $0.40(0.010-0.030)=-0.0080\ \mathrm{Wb}$. Somit gilt $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=0.0080/0.50=0.016\ \mathrm V$. Das Feld blieb konstant; die Flächenänderung war entscheidend.

2. Drehende Spule. Eine Spule mit 20 Windungen und einer Fläche von $0.010\ \mathrm{m^2}$ befindet sich in einem homogenen Feld von $0.50\ \mathrm T$. Innerhalb von $0.10\ \mathrm s$ dreht sich ihre Normale von parallel zum Feld nach senkrecht dazu. Bestimmen Sie den Betrag der mittleren Induktionsspannung. Der Fluss pro Windung sinkt von $BA=0.0050\ \mathrm{Wb}$ auf null. Daher ist $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=20(0.0050)/0.10=1.0\ \mathrm V$. Für dieses mittlere Ergebnis muss die Drehung nicht gleichmäßig sein.

3. Richtung und Strom. Von oben betrachtet wird ein Feld aus der Seite heraus durch eine geschlossene Spule mit 5 Windungen stärker. In welche Richtung fließt der Induktionsstrom? Der nach außen gerichtete Fluss nimmt zu, also muss das induzierte Feld in die Seite hinein zeigen. Die Rechte-Hand-Regel ergibt im Uhrzeigersinn, von oben betrachtet. Wird die Spule geöffnet, besteht weiterhin eine Induktionsspannung, aber über die Unterbrechung fließt kein Strom.

Zum Üben von Flussberechnung und Induktionsspannung besuchen Sie das Thema Magnetismus und Induktion bei Physics Zen. Induktion gehört im Abitur zum Themenblock Felder und taucht dort regelmäßig auf; unser Leitfaden zum Physik-Abitur zeigt, wie Sie sie in Ihren Lernplan einordnen. Wer nach britischem Lehrplan lernt, findet dasselbe im Leitfaden zur A-Level-Physik.