Drehmoment intuitiv erklärt: Hebel, Winkel und Gleichgewicht

Drücke eine Tür direkt neben dem Scharnier und dann mit gleicher Kraft am Griff. Die Kraft ist dieselbe, doch die Drehwirkung unterscheidet sich stark. Eine Kraft beschreibt einen Druck oder Zug. Das Drehmoment beschreibt, wie dieser Druck oder Zug einen Körper um einen gewählten Drehpunkt zu drehen versucht.

Drei Fragen bestimmen die Antwort: Wo liegt der Drehpunkt, wo greift die Kraft an und in welche Richtung zeigt sie? Beginne mit diesen Fragen, dann wird die Drehmomentformel zur knappen Beschreibung des Bildes.

Eine Kraft braucht Raum, um etwas zu drehen

Stell dir vor, du blickst von oben auf einen waagerechten Schraubenschlüssel. Sein linkes Ende greift eine Schraube. Du ziehst das rechte Ende nach oben, senkrecht zum Griff. Die Schraube ist der Drehpunkt, und der Griff verschafft deiner Kraft einen Drehvorteil.

Bewege deine Hand bei gleicher Kraft auf halbem Weg zur Schraube. Die Drehwirkung halbiert sich. Ziehst du direkt am Griff entlang zur Schraube hin oder von ihr weg, verschwindet die Drehwirkung: Die Wirkungslinie der Kraft verläuft durch den Drehpunkt.

Dieser letzte Begriff ist nützlich. Verlängere den Kraftpfeil in beide Richtungen zu einer gedachten Geraden. Das ist seine Wirkungslinie. Der senkrechte Abstand vom Drehpunkt zu dieser Linie ist der Hebelarm, auch Momentarm genannt.

Je größer dieser senkrechte Abstand ist, desto größer ist bei gleicher Kraft das Drehmoment. Ein langes Werkzeug hilft nur dann, wenn die Kraftrichtung seine Länge wirksam nutzt.

Zwei gleichwertige Drehmomentformeln

Für eine Kraft, die in der Ebene senkrecht zu einer festen Drehachse wirkt, ist der Betrag des Drehmoments:

$$\tau = rF\sin\theta$$

Dabei ist $r$ der Abstand vom Drehpunkt zum Angriffspunkt der Kraft, $F$ der Betrag der Kraft und $\theta$ der Winkel zwischen dem nach außen gerichteten Ortsvektor und dem Kraftvektor.

Stattdessen kannst du den senkrechten Hebelarm $d_\perp$ verwenden:

$$d_\perp = r\sin\theta$$ $$\tau = Fd_\perp$$

Beide Ansätze ergeben dieselbe Rechnung. Einer verwendet die volle Länge des Ortsvektors und einen Winkel. Der andere verwendet direkt den senkrechten Abstand. Multipliziere nicht noch einmal mit dem Sinus, wenn du bereits den senkrechten Hebelarm hast.

Das Kapitel über Drehmoment von OpenStax gibt die Vektorform $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ an. Bei einer ebenen Skizze kannst du meist mit Beträgen und einem Vorzeichen für Drehungen im oder gegen den Uhrzeigersinn arbeiten, statt ein Kreuzprodukt Komponente für Komponente zu berechnen.

Die Einheit ist Newtonmeter, geschrieben als $\mathrm{N\,m}$. Sie hat dieselbe Dimension wie das Joule, doch Drehmoment ist keine Energie. Die Schreibweise Newtonmeter hilft dabei, beide Größen auseinanderzuhalten.

Rechenbeispiel: senkrechter Zug

Ein Schraubenschlüssel ist vom Mittelpunkt der Schraube bis zu deiner Hand $0.25\ \mathrm{m}$ lang. Du übst im rechten Winkel zum Griff eine Kraft von $40\ \mathrm{N}$ aus.

Da $\theta = 90^\circ$, ist sein Sinus 1:

$$\tau = (0.25)(40)\sin 90^\circ = 10\ \mathrm{N\,m}$$

Dieselbe Kraft bei $0.10\ \mathrm{m}$ ergibt:

$$\tau = (0.10)(40) = 4\ \mathrm{N\,m}$$

Du kannst das Ergebnis nun schon vor der Rechnung erklären: Die erste Position ist 2,5-mal so weit vom Drehpunkt entfernt und erzeugt daher das 2,5-fache Drehmoment.

Deshalb befinden sich Türgriffe weit von den Scharnieren entfernt. Die alltägliche Konstruktion macht die Gleichung sichtbar. Sie beweist nicht, dass eine größere Kraft immer mehr Drehung erzeugt: Auch Abstand und Richtung sind entscheidend.

Rechenbeispiel: schräger Zug

Behalte denselben Schraubenschlüssel mit $0.25\ \mathrm{m}$ Länge und die Kraft von $40\ \mathrm{N}$ bei, richte die Kraft aber in einem Winkel von $30^\circ$ zur nach außen zeigenden Griffrichtung aus.

$$\tau = (0.25)(40)\sin 30^\circ = 5\ \mathrm{N\,m}$$

Nur die Komponente senkrecht zum Griff trägt zur Drehwirkung bei:

$$F_\perp = 40\sin 30^\circ = 20\ \mathrm{N}$$

Multiplizierst du diese Komponente mit der Grifflänge, erhältst du dieselbe Antwort: $0.25(20) = 5\ \mathrm{N\,m}$.

Die Komponente entlang des Griffs kann weiterhin eine Kraft auf den Körper oder seine Halterung ausüben. Sie erzeugt lediglich kein Drehmoment um die Schraube. Drehmoment null bedeutet nicht Kraft null.

Prüfe immer, wie ein Winkel eingezeichnet ist. Gibt die Skizze einen Winkel zu einer Linie senkrecht zum Griff an, ist das nicht direkt $\theta$. Du brauchst möglicherweise den Ergänzungswinkel oder gleichwertig dazu einen Kosinus. „Immer den Sinus verwenden“ auswendig zu lernen, ohne die Vektoren zu bestimmen, führt trotz korrekter Formel zur falschen Antwort.

Drehmomente im und gegen den Uhrzeigersinn wirken einander entgegen

Wähle bei einer ebenen Aufgabe eine Drehrichtung als positiv. Häufig wird gegen den Uhrzeigersinn als positiv gewählt, sodass im Uhrzeigersinn negativ ist. Beide Konventionen funktionieren, wenn du sie konsequent anwendest.

Angenommen, zwei Kräfte wirken auf einen waagerechten Balken um einen mittigen Drehpunkt:

• Eine nach unten gerichtete Kraft von $30\ \mathrm{N}$ greift links in einem Abstand von $0.40\ \mathrm{m}$ an.
• Eine nach unten gerichtete Kraft von $20\ \mathrm{N}$ greift rechts in einem Abstand von $0.30\ \mathrm{m}$ an.

Die linke Kraft versucht, den Balken gegen den Uhrzeigersinn zu drehen. Die rechte Kraft versucht, ihn im Uhrzeigersinn zu drehen. Ihre vorzeichenbehafteten Drehmomente sind:

$$\tau_\mathrm{left} = +(30)(0.40) = +12\ \mathrm{N\,m}$$ $$\tau_\mathrm{right} = -(20)(0.30) = -6\ \mathrm{N\,m}$$

Daher gilt:

$$\tau_\mathrm{net} = 12 - 6 = +6\ \mathrm{N\,m}$$

Die resultierende Drehwirkung verläuft gegen den Uhrzeigersinn. Leite das Vorzeichen nicht daraus ab, ob die Kraft nach oben oder unten zeigt. Hier zeigen beide Kräfte nach unten, drehen den Balken aber in entgegengesetzte Richtungen, weil sie auf verschiedenen Seiten des Drehpunkts angreifen.

Gleichgewicht erfordert Bedingungen für Kraft und Drehmoment

Ein ruhender Balken muss sowohl das Translations- als auch das Rotationsgleichgewicht erfüllen:

$$\sum \mathbf{F} = 0 \qquad \sum \tau = 0$$

Verwende einen leichten waagerechten Balken mit einem Drehpunkt in seiner Mitte. Hänge links eine Masse von $3.0\ \mathrm{kg}$ in einem Abstand von $0.40\ \mathrm{m}$ auf. Wo muss rechts eine Masse von $2.0\ \mathrm{kg}$ hängen, damit Gleichgewicht herrscht?

Bilde die Momente um den Drehpunkt:

$$(3.0g)(0.40) - (2.0g)d = 0$$

Für beide Gewichtskräfte gilt dieselbe Erdbeschleunigung, daher kürzt sich $g$ heraus:

$$d = \frac{3.0(0.40)}{2.0} = 0.60\ \mathrm{m}$$

Die kleinere Masse benötigt einen längeren Hebelarm. Die Auflage muss außerdem eine nach oben gerichtete Kraft aufbringen, die den beiden Gewichtskräften entspricht, ungefähr $49.1\ \mathrm{N}$ bei $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$.

Diese Auflagekraft erzeugt um den Drehpunkt kein Drehmoment, weil sie durch den Drehpunkt wirkt. Diesen Punkt zu wählen, vereinfacht die Drehmomentrechnung, ohne so zu tun, als gäbe es die Auflagekraft nicht.

Wenn das Eigengewicht des Balkens von Bedeutung ist, berücksichtige es am Schwerpunkt des Balkens. Ein homogener Balken, der in seiner Mitte gestützt wird, hat um diese Auflage kein Gravitationsdrehmoment. Bei einer außermittigen Auflage gilt das nicht. Beginne mit einem Freikörperbild, damit keine Kraft unbemerkt verschwindet.

Drehmoment verändert die Rotation, statt ihre Geschwindigkeit festzulegen

Für einen starren Körper, der sich mit konstantem Trägheitsmoment $I$ um eine feste Achse dreht, lautet das rotatorische Gegenstück zum zweiten Newtonschen Gesetz:

$$\sum \tau = I\alpha$$

Die Winkelbeschleunigung $\alpha$ gibt an, wie schnell sich die Winkelgeschwindigkeit ändert. Dasselbe Gesamtdrehmoment erzeugt bei einem größeren Trägheitsmoment eine geringere Winkelbeschleunigung.

Zum Beispiel erzeugt ein Gesamtdrehmoment von $6\ \mathrm{N\,m}$ an einem Körper mit $I = 2\ \mathrm{kg\,m^2}$:

$$\alpha = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{rad/s^2}$$

Unter diesen Annahmen bedeutet ein Gesamtdrehmoment von null, dass es keine Winkelbeschleunigung gibt. Ein Körper, der sich bereits dreht, kann sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit weiterdrehen. Vergleiche das mit den Newtonschen Gesetzen: Auch eine Gesamtkraft von null setzt keine Geschwindigkeit von null voraus.

Drehmoment unterscheidet sich außerdem von der nach innen gerichteten Kraft bei einer Kreisbewegung. Eine zum Mittelpunkt gerichtete Kraft hat um diesen Mittelpunkt kein Drehmoment, kann aber die Richtung der Geschwindigkeit ändern und einen Körper auf einer Kreisbahn halten.

Eine zuverlässige Checkliste für Drehmomente

Wähle den Drehpunkt und zeichne jede äußere Kraft ein. Bestimme die Wirkungslinie jeder Kraft und miss dann den senkrechten Hebelarm oder verwende $r\sin\theta$. Rechne Zentimeter vor der Multiplikation in Meter um. Weise jeder Kraft ein Vorzeichen anhand der Richtung zu, in die sie den Körper zu drehen versucht, und addiere erst danach die Drehmomente.

Prüfe beim Gleichgewicht sowohl die Kräfte als auch die Drehmomente. Prüfe bei der Winkelbeschleunigung die Annahmen einer festen Achse, bevor du $\sum\tau = I\alpha$ verwendest. Teste abschließend den Grenzfall: Eine Kraft durch den Drehpunkt muss ein Drehmoment von null ergeben.

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