Potencial eléctrico y campo eléctrico: altura, pendiente y carga

Dos puntos pueden estar muy altos en una montaña y tener entre ellos un terreno casi plano. Un tercer punto puede estar mucho más abajo, pero en una ladera empinada. La altura y la pendiente describen aspectos distintos del mismo paisaje.

El potencial eléctrico y el campo eléctrico tienen una relación parecida. El potencial asigna un valor a cada posición. El campo indica cómo cambia ese valor al desplazarte, incluida la dirección en la que disminuye más deprisa. Un potencial grande no implica necesariamente un campo intenso.

Esta guía trata de electrostática: cargas y campos que no cambian con el tiempo. En ese contexto, un único «paisaje» de potencial permite obtener todo el campo eléctrico.

Cuatro magnitudes, dos parejas útiles

Empieza por las magnitudes que afectan a una carga concreta. Sobre ella actúa una fuerza eléctrica $\mathbf{F}$ y, dentro de la distribución de cargas, tiene una energía potencial eléctrica $U$.

Divide cada una entre la carga de prueba $q$:

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}, \qquad V=\frac{U}{q}$$

El campo $\mathbf{E}$ y el potencial $V$ describen el entorno. Si colocas allí otra carga de prueba pequeña, cambiarán la fuerza y la energía que experimenta, pero no el entorno, siempre que esa carga de prueba no altere de forma apreciable las cargas fuente.

El campo es una magnitud vectorial: la dirección forma parte de la respuesta. El potencial es escalar: tiene un valor con signo, pero no dirección. La introducción de OpenStax al potencial desarrolla la diferencia entre energía y energía por unidad de carga.

Nuestra guía sobre la ley de Coulomb explica cómo las cargas fuente producen fuerza y campo. El potencial ofrece otra vía para estudiar el mismo problema.

El voltaje compara dos posiciones

El voltaje es una diferencia de potencial:

$$\Delta V=V_B-V_A$$

Si una carga se desplaza de A a B, su cambio de energía potencial es

$$\Delta U=q\Delta V$$

Considera una carga de $+3\ \mathrm{\mu C}$ que se mueve de 10 V a 4 V. El cambio de potencial es $4-10=-6\ \mathrm{V}$, por lo que

$$\Delta U=(3\times10^{-6})(-6) =-18\times10^{-6}\ \mathrm{J}$$

Pierde 18 microjulios de energía potencial. El campo eléctrico realiza sobre ella un trabajo positivo de 18 microjulios. Si solo trabaja la fuerza eléctrica, su energía cinética aumenta en esa cantidad. Las cuentas siguen el mismo principio que nuestra guía de trabajo y energía.

Elegir otro cero de potencial no cambia ninguno de esos resultados. Si aumentas ambos potenciales en 100 V, la carga pasa de 110 V a 104 V: sigue habiendo una caída de 6 V. Una afirmación como «este punto está a 10 V» siempre depende de una referencia.

El campo es la pendiente descendente del potencial

A lo largo de una coordenada, la relación electrostática es

$$E_x=-\frac{dV}{dx}$$

El signo menos determina la dirección: el campo apunta hacia donde disminuye el potencial. Los apuntes de Richard Fitzpatrick de la Universidad de Texas deducen esta relación a partir del trabajo y la energía. Puedes entender un campo uniforme sin cálculo diferencial: divide el cambio de potencial entre la distancia y cambia el signo.

Supón que el potencial baja de 18 V en $x=0$ a 6 V en $x=0.04\ \mathrm{m}$ a una tasa constante:

$$E_x=-\frac{6-18}{0.04}=+300\ \mathrm{V/m}$$

El signo positivo indica que el campo apunta en la dirección positiva del eje x. En los mismos 4 cm, una caída de solo 3 V daría 75 V/m. Lo que importa es la caída por metro.

El atajo $E=|\Delta V|/d$ supone un campo uniforme y una distancia medida a lo largo de él. Entre placas paralelas grandes y lejos de los bordes puede ser una aproximación útil. Cerca de una carga puntual, el campo cambia con la distancia; dividir una diferencia de potencial por una distancia finita da un promedio a lo largo de ese recorrido, no el campo en cada punto.

Para un potencial variable, el capítulo de OpenStax sobre cómo hallar el campo a partir del potencial muestra la expresión con derivadas y su extensión a tres dimensiones.

Las cargas negativas invierten la fuerza

La dirección del campo se define usando una carga de prueba positiva. La fuerza sobre cualquier carga es

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}$$

Si $q$ es negativa, la fuerza apunta en el sentido contrario. En el campo de 300 V/m del ejemplo anterior, una carga de $-2\ \mathrm{\mu C}$ experimenta

$$F_x=(-2\times10^{-6})(300) =-6\times10^{-4}\ \mathrm{N}$$

La fuerza eléctrica apunta hacia el lado negativo del eje x, donde el potencial es mayor. Eso no significa que la carga gane energía potencial: multiplicar un aumento de $V$ por una carga negativa produce una disminución de $U$.

Hay que distinguir fuerza y movimiento. La fuerza determina la aceleración, no necesariamente la dirección en la que ya viaja una partícula. Una carga negativa lanzada hacia un potencial menor puede seguir moviéndose en esa dirección mientras pierde rapidez. Decir que «las cargas negativas suben la pendiente» describe la fuerza o la aceleración inicial desde el reposo, no cualquier trayectoria posible.

Potencial cero y campo cero son afirmaciones distintas

Coloca dos cargas puntuales positivas e iguales sobre una recta. En el punto medio, sus campos tienen igual magnitud y sentidos opuestos, así que el campo neto es cero. Si se elige el potencial cero en el infinito, cada carga aporta un potencial positivo y ambos se suman. Allí el potencial es positivo aunque el campo sea cero.

Sustituye ahora una de las cargas fuente por otra negativa de igual magnitud. En el punto medio, los potenciales positivo y negativo se cancelan. Sin embargo, ambas contribuciones al campo apuntan desde la carga positiva hacia la negativa, así que se suman en lugar de cancelarse.

Estos ejemplos muestran un error frecuente: sumar las magnitudes de los campos como si fueran potenciales escalares. Para combinar campos, ten en cuenta las direcciones. Para combinar potenciales, conserva los signos algebraicos.

Que el campo sea cero en un punto tampoco implica que el potencial sea constante en toda la región que lo rodea. Puede ser un punto estacionario de un paisaje variable, como un lugar llano dentro de una ladera.

Las superficies equipotenciales son curvas de nivel

En un mapa topográfico, los puntos de una misma curva de nivel tienen igual altura. En una superficie equipotencial, los puntos tienen igual potencial eléctrico.

Desplazar una carga a lo largo de esa superficie produce un cambio de energía potencial eléctrica igual a cero. El campo eléctrico no realiza trabajo durante ese desplazamiento, aunque pueda existir un campo. Donde el campo no es nulo, corta la superficie equipotencial en ángulo recto.

Las curvas muy juntas representan un campo más intenso solo si las curvas vecinas indican incrementos iguales de potencial. Si el dibujo usa intervalos de voltaje desiguales, revisa sus etiquetas antes de comparar las separaciones.

Elige la ecuación según la pregunta

¿Te piden la fuerza? Halla el campo eléctrico donde está la carga y multiplícalo por su carga con signo. Indica la dirección.

¿Te piden energía o rapidez? Usa la diferencia de potencial para calcular $\Delta U=q\Delta V$. Si otras fuerzas realizan trabajo, inclúyelo antes de convertir ese cambio de energía en una rapidez.

¿Te dan una gráfica del potencial? Lee su pendiente para hallar la componente del campo a lo largo de la coordenada representada. Una gráfica más alta no tiene por qué tener una pendiente mayor.

¿Trabajas con un circuito? Sigue las diferencias de potencial entre nodos. Nuestra guía de circuitos en serie y paralelo explica por qué las diferencias de potencial se suman a lo largo de una trayectoria mientras que las ramas paralelas comparten los mismos dos extremos.

Para practicar en Physics Zen, deja junto al problema una nota con cuatro columnas: campo, fuerza, potencial y energía. Escribe las unidades en la columna correspondiente antes de sustituir los valores. Esa pequeña separación facilita ver un error de signo o una carga que falta.