Ley de Coulomb de forma intuitiva: carga, fuerza y campo eléctrico

Frota un globo con el pelo y verás que se pega a la pared. Pasa un peine de plástico por el pelo seco y podrá levantar pequeños trozos de papel de una mesa. No hay nada visible que una el peine y el papel, pero algo tira a través del espacio y lo hace con más fuerza cuanto más se acerca el peine.

Ese tirón es la fuerza eléctrica. La ley de Coulomb permite calcularla: muestra cómo depende de la cantidad de carga y, sobre todo, de la distancia. En los ejemplos suponemos cargas pequeñas en reposo en el vacío o en el aire.

La carga es una cantidad que puedes contar

Hay dos tipos de carga eléctrica, positiva y negativa. Las cargas del mismo signo se repelen y las de signo contrario se atraen. Un protón lleva una unidad de carga positiva y un electrón una unidad de carga negativa. Esa unidad es la carga elemental:

$$e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

Desde la revisión del SI de 2019, este valor es exacto por definición. La carga de cualquier objeto es un múltiplo entero de ella, y un culombio equivale aproximadamente a $6.24 \times 10^{18}$ cargas elementales.

La carga también se conserva. Frotar un globo con el pelo no crea carga: transfiere electrones. Lo que gana uno, lo pierde el otro. Un objeto neutro también contiene carga, pero cantidades iguales de ambos signos.

Ley de Coulomb: fórmula y unidades

En 1785, Charles-Augustin de Coulomb publicó mediciones con una balanza de torsión de la repulsión entre dos pequeñas esferas cargadas. Como relata APS News, la fuerza variaba inversamente con el cuadrado de la distancia entre sus centros.

En forma moderna, para dos cargas puntuales $q_1$ y $q_2$ separadas una distancia $r$:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

$F$ se mide en newtons, las cargas en culombios y $r$ en metros, de centro a centro. La constante de Coulomb $k$ convierte culombios y metros en newtons:

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

Aquí $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ es la permitividad del vacío; con cuatro cifras, $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$. La sección de OpenStax sobre la ley de Coulomb da la misma expresión.

Las barras de valor absoluto hacen que la fórmula dé solo la magnitud de la fuerza. Los signos de las cargas deciden si hay repulsión o atracción; la fuerza siempre actúa a lo largo de la recta que une las cargas.

Por qué importa tanto la distancia

El término $r^2$ hace que la distancia tenga un gran efecto en la fórmula. Si duplicas la separación, la fuerza cae a una cuarta parte; si la triplicas, cae a una novena parte.

Esta es una intuición, no una demostración. Imagina que la influencia de la carga se reparte por igual en todas las direcciones. A una distancia $r$ se distribuye sobre una esfera de área $4\pi r^2$. Si duplicas $r$, el área se cuadruplica y cada porción recibe una cuarta parte. El $4\pi$ de $k$ remite a esa misma esfera.

El cuadrado también explica el globo pegado a la pared. Las cargas de la pared neutra se desplazan ligeramente: la carga opuesta queda más cerca del globo y la del mismo signo, más lejos. Como la fuerza es tan sensible a la distancia, la atracción cercana supera la repulsión lejana y el globo se adhiere.

Ejemplo resuelto: dos cargas iguales

Dos pequeñas esferas tienen cada una $+2.0\ \mu\mathrm{C}$ y están separadas $0.30\ \mathrm{m}$. Un microculombio equivale a $10^{-6}\ \mathrm{C}$, así que sustituye $2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ para cada carga:

$$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})^2}{(0.30)^2} = \frac{0.03596}{0.090} \approx 0.40\ \mathrm{N}$$

Ambas cargas son positivas, por lo que se repelen. Cada una se aleja de la otra con una fuerza de unos 0,40 N, aproximadamente el peso de una masa de 40 gramos.

Sepáralas ahora $0.60\ \mathrm{m}$. La distancia se duplicó y la fuerza se reduce a una cuarta parte, $0.10\ \mathrm{N}$, sin necesidad de repetir todo el cálculo.

Ejemplo resuelto: ¿qué intensidad tiene la fuerza eléctrica?

Considera el electrón y el protón del hidrógeno separados por un radio de Bohr: $r = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$, una separación típica en el estado fundamental del átomo. Cada uno tiene una carga de magnitud $e$:

$$F_e = \frac{(8.99 \times 10^{9})(1.602 \times 10^{-19})^2}{(5.29 \times 10^{-11})^2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

Para la gravedad entre las mismas partículas, usa $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$, $m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ y $m_p = 1.673 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$:

$$F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3.63 \times 10^{-47}\ \mathrm{N}$$

La fuerza eléctrica es unas $2.27 \times 10^{39}$ veces mayor. Ambas disminuyen como $1/r^2$, así que la relación se mantiene a cualquier separación.

¿Por qué, entonces, la gravedad te mantiene sobre el suelo y conserva la Luna en órbita? Porque la materia es casi perfectamente neutra. A los protones les corresponden electrones, de modo que las enormes atracciones y repulsiones eléctricas se cancelan casi por completo. La masa no tiene una versión negativa, así que la gravedad no se cancela: cada kilogramo de un planeta contribuye a su atracción.

Decide la dirección y después suma

Con varias cargas, cada par interactúa como si los demás no existieran. La fuerza neta es la suma vectorial: es el principio de superposición.

Coloca tres cargas sobre una recta:

• $q_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C}$ en $x = 0$.
• $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$ en $x = 0.20\ \mathrm{m}$.
• $q_3 = +1.0\ \mu\mathrm{C}$ en $x = 0.10\ \mathrm{m}$.

Halla la fuerza neta sobre $q_3$, situada a $0.10\ \mathrm{m}$ de cada una de las otras cargas. Fija las direcciones antes de calcular. $q_1$ y $q_3$ son positivas, así que $q_1$ repele a $q_3$ hacia $+x$. Como $q_2$ es negativa, atrae a $q_3$ hacia sí, también hacia $+x$.

Habrá que sumar los dos resultados, así que conserva cuatro cifras y usa $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$:

$$F_{13} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 2.696\ \mathrm{N}$$ $$F_{23} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 1.798\ \mathrm{N}$$

Como ambas actúan en el mismo sentido, sus magnitudes se suman:

$$F_{\mathrm{net}} = 2.696 + 1.798 = 4.494\ \mathrm{N} \approx 4.49\ \mathrm{N}$$

La fuerza neta sobre $q_3$ es de unos 4,49 N hacia la derecha. La física determinó las direcciones; la fórmula solo proporcionó las magnitudes.

De la fuerza al campo

La ley de Coulomb describe un par de cargas. El campo eléctrico describe el espacio alrededor de una de ellas. Es la fuerza por unidad de carga sobre una pequeña carga de prueba positiva $q$:

$$E = \frac{F}{q}$$

Se mide en newtons por culombio y apunta hacia donde sería empujada una carga positiva. Si divides la expresión de Coulomb entre la carga de prueba, obtienes el campo de una carga puntual $Q$:

$$E = k\frac{|Q|}{r^2}$$

A $0.30\ \mathrm{m}$ de una carga de $2.0\ \mu\mathrm{C}$:

$$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.30)^2} \approx 2.0 \times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

El campo existe haya o no una carga de prueba allí. Calcúlalo una vez y $F = qE$ te da la fuerza sobre cualquier carga que coloques en ese punto: otra carga de $2.0\ \mu\mathrm{C}$ experimenta los 0,40 N del primer ejemplo. Una carga negativa recibe la fuerza en sentido contrario al campo.

Las líneas de campo eléctrico nacen en cargas positivas y terminan en negativas o se extienden hasta el infinito. El campo en un punto es tangente a la línea que pasa por él; donde las líneas están más juntas, el campo es más intenso. Nunca se cruzan porque el campo tiene una sola dirección en cada punto. Alrededor de una carga aislada, el mismo número de líneas atraviesa cada esfera, por lo que su densidad cae como $1/r^2$: otra vez el inverso del cuadrado.

El siguiente paso es el potencial eléctrico, energía por unidad de carga, medido en voltios. El voltaje de nuestra guía de circuitos en serie y paralelo es una diferencia de potencial.

Coulomb y Newton, uno junto al otro

Estas son las dos leyes:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Ambas son proporcionales al producto de dos magnitudes fuente y disminuyen con el inverso del cuadrado. La diferencia está en el signo: hay dos tipos de carga, pero solo un tipo de masa, de modo que las fuerzas eléctricas pueden atraer o repeler, mientras que la gravedad solo atrae. Su intensidad difiere en el factor aproximado de $10^{39}$ calculado antes.

Las leyes de Newton convierten una fuerza de Coulomb en aceleración como cualquier otra fuerza, y se cumple la tercera ley: en el ejemplo de tres cargas, $q_3$ empuja de vuelta a $q_1$ con los mismos 2,696 N aunque $q_1$ tenga el triple de carga. Nuestra guía de movimiento circular muestra cómo la gravedad proporciona la fuerza centrípeta de una órbita; en el modelo de Bohr del hidrógeno, la atracción de Coulomb cumple ese papel para el electrón.

Errores que cuestan puntos

• Olvidar elevar al cuadrado la distancia. Dividir entre 0,30 en vez de 0,090 en el primer ejemplo da 0,12 N, no 0,40 N.
• No convertir unidades. Micro significa $10^{-6}$, nano significa $10^{-9}$ y 30 cm equivalen a 0,30 m. Dejar ambas cargas en microculombios produce una fuerza $10^{12}$ veces demasiado grande.
• Interpretar el signo como una dirección. El producto de $q_2$ y $q_3$, incluyendo sus signos, es negativo y puede parecer que significa «izquierda». En realidad indica atracción, y la atracción hacia $q_2$ apunta a la derecha. Tratarlo como izquierda da unos 0,90 N en lugar de 4,49 N.
• Sumar magnitudes de fuerzas que apuntan en distintas direcciones. Solo se suman directamente si las fuerzas tienen el mismo sentido. En una recta, las fuerzas opuestas se restan; con ángulos, hay que descomponerlas.
• Confundir E con F. Un campo en N/C corresponde a un punto del espacio; una fuerza en newtons actúa sobre una carga concreta.

Los dos primeros son errores matemáticos. Nuestra guía de errores de física que en realidad son errores de matemáticas trata los prefijos y las potencias de diez.

Pon en práctica la ley

El tema de Electrostática de Physics Zen tiene tres habilidades: Carga y ley de Coulomb, Campo eléctrico y Potencial eléctrico. Las dos primeras habilidades son gratuitas en iPhone y Android; solo la última, Potencial eléctrico, requiere Premium. La electrostática también aparece en las rutas A-Level, Abitur y Bac; nuestras guías de física A-Level, Abitur y Bac muestran dónde encaja.

Decide hacia dónde apunta cada fuerza antes de calcular. Después comprueba la distancia: se eleva al cuadrado, debe expresarse en metros y ningún otro término de la ley de Coulomb cambia tanto el resultado.