Fórmula de la vida media: ejemplos resueltos de desintegración

Una muestra marca una actividad de 1200 becquerelios a mediodía. El isótopo tiene una vida media de 6,0 horas. ¿Qué marcará el detector a las 6 de la mañana del día siguiente? La respuesta no es 1200 menos tres pasos iguales. Cada vida media elimina la mitad de lo que queda, así que las lecturas son 1200, 600, 300, 150. Ese patrón multiplicativo es todo el contenido de la fórmula de la vida media.

Esta guía trabaja la fórmula desde el caso sencillo de un número entero de vidas medias hasta los casos que más fallan en los exámenes: un número fraccionario de vidas medias, la vida media a partir de dos medidas, el paso a la constante de desintegración, la actividad a partir de un número de núcleos y la datación de una muestra por el carbono 14 que le queda. El tema de Física nuclear recoge las destrezas de desintegración que practican estos ejemplos.

Dos formas de la misma ley de desintegración

La desintegración radiactiva es aleatoria para un solo núcleo, pero muy regular para un número grande de núcleos. Si al principio hay $N_0$ núcleos sin desintegrar y la vida media es $T_{1/2}$, el número que queda tras un tiempo $t$ es

$$N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}.$$

El exponente $t/T_{1/2}$ es simplemente el número de vidas medias transcurridas. No tiene por qué ser un número entero.

Los libros de texto también escriben la ley con la constante de desintegración $\lambda$. OpenStax University Physics, volumen 3, §10.3 da

$$N(t)=N_0e^{-\lambda t},\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\approx\frac{0.693}{T_{1/2}}.$$

Las dos formas coinciden porque $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=e^{-(\ln 2)t/T_{1/2}}$. Usa la forma de vida media cuando el enunciado habla en vidas medias, y la forma exponencial cuando da o pide $\lambda$. La misma relación vale para la masa del isótopo padre y para su actividad, porque ambas son proporcionales a $N$.

Antes de cualquier cálculo, pon $t$ y $T_{1/2}$ en la misma unidad. Horas divididas entre días dan un número que parece razonable y es incorrecto.

Ejemplo 1: un número entero de vidas medias

Volvamos a la muestra del principio: $A_0=1200\ \mathrm{Bq}$ y $T_{1/2}=6.0\ \mathrm h$. De mediodía a las 6 de la mañana pasan 18 h, es decir, $18/6.0=3$ vidas medias.

$$A=1200\ \mathrm{Bq}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1200\ \mathrm{Bq}}{8}=150\ \mathrm{Bq}.$$

Una tabla rápida hace visible el patrón y detecta errores de cálculo:

La respuesta incorrecta tentadora resta 600 Bq cada 6 h y llega a cero a las 12 h. La desintegración es proporcional a lo que queda, por eso los pasos se hacen más pequeños.

Ejemplo 2: un número fraccionario de vidas medias

Un isótopo hipotético tiene una vida media de 8,0 días, y una fuente contiene al principio 40 mg de él. ¿Cuánto de ese isótopo queda tras 20 días?

El número de vidas medias es $20/8.0=2.5$. La fórmula lo maneja directamente:

$$m=40\ \mathrm{mg}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5}\approx40\ \mathrm{mg}\times0.177\approx7.1\ \mathrm{mg}.$$

Comprueba el orden de magnitud: tras 2 vidas medias quedarían 10 mg y tras 3 vidas medias, 5 mg. Un resultado entre 5 y 10 mg es correcto, y está más cerca de 5 que de 10 porque la curva cae más deprisa al comienzo de cada intervalo. El punto medio entre 10 y 5, 7,5 mg, sería una estimación lineal, no la ley de desintegración.

Los 7,1 mg son el isótopo padre que queda. La muestra no pierde 33 mg de masa total; la mayoría de los átomos desintegrados siguen ahí como núcleos hijos.

Ejemplo 3: hallar la vida media a partir de dos lecturas

Un detector marca 800 Bq para una fuente pura y, 3,0 h después, 500 Bq con el fondo ya restado. ¿Cuál es la vida media?

Despeja de la forma de vida media el número de vidas medias:

$$\frac{t}{T_{1/2}}=\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=\log_2(1.6)=\frac{\ln 1.6}{\ln 2}\approx0.678.$$

Entonces

$$T_{1/2}=\frac{3.0\ \mathrm h}{0.678}\approx4.4\ \mathrm h.$$

Comprobación: la actividad bajó menos de la mitad en 3,0 h, así que la vida media debe ser mayor que 3,0 h. Si obtienes una vida media negativa, o menor que el tiempo transcurrido sin que la lectura se haya reducido aún a la mitad, invertiste el cociente.

Cuando la bajada es una potencia de dos exacta, no hace falta el logaritmo. Una caída de 960 Bq a 240 Bq en 10 h es un factor 4, o sea, 2 vidas medias, de modo que $T_{1/2}=5.0\ \mathrm h$.

Ejemplo 4: constante de desintegración y actividad a partir de un número de núcleos

Una fuente contiene $N=2.0\times10^{15}$ núcleos de un isótopo con $T_{1/2}=8.0$ días. ¿Cuál es su actividad en becquerelios?

La actividad son desintegraciones por segundo, así que primero convierte la vida media a segundos: $8.0\ \mathrm{d}=8.0\times86400\ \mathrm s=6.91\times10^{5}\ \mathrm s$. Después

$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{6.91\times10^{5}\ \mathrm s}\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}},$$ $$A=\lambda N\approx1.0\times10^{-6}\ \mathrm{s^{-1}}\times2.0\times10^{15}\approx2.0\times10^{9}\ \mathrm{Bq}.$$

Si hubieras dejado la vida media en días, el resultado saldría en desintegraciones por día, unas 86 400 veces mayor que el valor en becquerelios. La unidad de $\lambda$ decide la unidad de $A$.

Ejemplo 5: datación por carbono 14 con un resultado no redondo

OpenStax da al carbono 14 una vida media de 5730 años. Un objeto de madera tiene, por gramo, el 30 % de la actividad de carbono 14 de una madera viva comparable. Suponiendo esa proporción inicial, ¿cuántos años tiene?

$$t=T_{1/2}\log_2\left(\frac{A_0}{A}\right)=5730\times\log_2\left(\frac{1}{0.30}\right)\approx5730\times1.74\approx9.95\times10^{3}.$$

El objeto tiene unos 10 000 años. Comprueba el intervalo: un 25 % restante significaría exactamente 2 vidas medias, 11 460 años. El treinta por ciento es algo más que el 25 %, así que la edad debe ser algo menor, y lo es.

La respuesta depende de suponer que la proporción inicial coincidía con la del material vivo. Los laboratorios reales de radiocarbono calibran según las variaciones del carbono 14 atmosférico, así que toma esto como un ejercicio de física, no como una datación de laboratorio.

Errores que cuestan puntos

• Restar cantidades iguales. Cada vida media divide entre dos la cantidad actual. Los pasos lineales llegan a cero; la ley de desintegración, nunca.
• Unidades de tiempo mezcladas. $t$ y $T_{1/2}$ deben coincidir, y $\lambda$ debe estar en $\mathrm{s^{-1}}$ si quieres la actividad en becquerelios.
• Confundir log y ln. $\ln 2\approx0.693$, mientras que $\log_{10}2\approx0.301$. Si tomas el $\log_{10}$ del cociente, divide entre $\log_{10}2$, no entre 0,693. Nuestro artículo sobre errores de física que en realidad son errores de matemáticas recoge más casos así.
• Confundir isótopo padre y muestra. La fórmula sigue los núcleos padre sin desintegrar, no la masa total de la muestra.
• Ignorar el fondo. Las tasas de recuento medidas en el laboratorio incluyen la radiación de fondo. Réstala antes de calcular cocientes.

Tres problemas de práctica con solución

Problema 1. Un isótopo con $T_{1/2}=15\ \mathrm h$ empieza en 6400 Bq. ¿Cuál es la actividad tras 60 h? Cuatro vidas medias: $6400/16=400\ \mathrm{Bq}$.

Problema 2. ¿Qué fracción de una muestra queda tras 1,5 vidas medias? $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5}\approx0.354$, alrededor del 35 %, no del 25 %.

Problema 3. Una tasa de recuento baja de 1000 a 125 cuentas por minuto en 36 min, con el fondo ya restado. ¿Cuál es la vida media? El cociente 8 son 3 vidas medias, así que $T_{1/2}=12\ \mathrm{min}$.

Las preguntas de vida media aparecen en casi todos los cursos de física de secundaria; nuestra guía de A-level Physics muestra dónde encaja la desintegración radiactiva entre las demás destrezas de física moderna. Sea cual sea el curso, la rutina es la misma: igualar unidades, contar las vidas medias como $t/T_{1/2}$, dejar el exponente fraccionario cuando haga falta y comprobar que el resultado cae entre los valores de las vidas medias enteras que lo rodean.