Intensidad del sonido y distancia: ejemplos de ley inversa al cuadrado

Aléjate al doble de distancia de una pequeña fuente de sonido en un espacio abierto. ¿Se reduce la intensidad a la mitad? En el modelo físico más simple cae a una cuarta parte. La potencia no ha desaparecido. Se reparte por una superficie esférica cuatro veces mayor. Si multiplicas la distancia por cuatro, esa área se hace dieciséis veces mayor y cada metro cuadrado recibe una dieciseisava parte de la intensidad inicial.

Esa es la ley del inverso del cuadrado para la intensidad sonora. Se refiere a energía transmitida por unidad de área, no garantiza que alguien perciba el sonido como cuatro veces menos fuerte. Esta guía deriva la relación, resuelve ejemplos numéricos, convierte un cociente de intensidades en decibelios y muestra dónde una habitación o una fuente grande rompe el modelo sencillo. Nuestra guía del efecto Doppler trata otro cambio distinto: la frecuencia cuando fuente y oyente se mueven uno respecto del otro.

Empieza por lo que mide la intensidad

Una onda sonora transporta energía. La potencia $P$ es energía transferida por segundo, medida en vatios. La intensidad $I$ es la potencia que atraviesa una unidad de superficie perpendicular al flujo de energía, medida en vatios por metro cuadrado:

$$I=\frac{P}{A}.$$

La definición no es exclusiva del oído. OpenStax, University Physics, volumen 1, §17.3 la aplica al sonido antes de introducir el modelo esférico ideal. Comprueba las unidades antes de calcular: vatios divididos entre metros cuadrados dan $\mathrm{W/m^2}$. Una respuesta solo en vatios es potencia, no intensidad.

Un altavoz puede emitir la misma potencia acústica mientras que la intensidad medida más lejos disminuye. La superficie por la que pasa esa potencia crece con la distancia. Por eso preguntar por «la intensidad del altavoz» sin dar distancia ni superficie de medida es incompleto. Tampoco puedes comparar dos medidas tomadas a distancias distintas como si hubiese cambiado la fuente misma.

La superficie de una esfera explica el cuadrado

Imagina una fuente pequeña que emite por igual en todas las direcciones. Supón que en las distancias consideradas no hay obstáculos, reflexiones ni pérdidas apreciables de potencia en el medio. A radio $r$, la misma potencia saliente atraviesa una superficie esférica de área

$$A=4\pi r^2.$$

Sustituye esta área en la definición de intensidad:

$$I(r)=\frac{P}{4\pi r^2}.$$

El radio está elevado al cuadrado porque la superficie de la esfera crece con el cuadrado del radio. No es una ley del inverso del cubo solo porque el sonido viaje por un espacio de tres dimensiones. Dividimos entre el área de una superficie, no entre el volumen que encierra. Al duplicar el radio, $4\pi(2r)^2=4(4\pi r^2)$. La misma potencia se reparte en un área cuatro veces mayor; a cada metro cuadrado le toca un cuarto.

La fórmula solo sirve si sus supuestos se cumplen. Un altavoz direccional no irradia igual hacia todos lados. Una pared devuelve parte de la energía. Una fuente cuyo tamaño es comparable a la distancia no parece un punto. Usa el cálculo esférico como modelo ideal, no como predicción universal de un micrófono.

Usa cocientes antes de la calculadora

Si la potencia de la fuente no cambia, divide las dos fórmulas esféricas. Se cancelan $P$ y $4\pi$:

$$\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.$$

Supón una intensidad de $0.0080\ \mathrm{W/m^2}$ a $2.0\ \mathrm m$ en el modelo ideal. A $4.0\ \mathrm m$, el cociente es $(2.0/4.0)^2=1/4$, así que la intensidad esperada es $0.0020\ \mathrm{W/m^2}$. A $6.0\ \mathrm m$, resulta $(2.0/6.0)^2=1/9$, es decir, cerca de $0.00089\ \mathrm{W/m^2}$.

El cambio se expresa como cociente de distancias desde la fuente. No eleves al cuadrado los metros adicionales. De 2 a 4 m se duplica la distancia; de 4 a 6 m se multiplica por 1,5. Por eso ambos desplazamientos no pueden tener el mismo cociente de intensidades. «El doble de lejos significa la mitad de intensidad» es la respuesta lineal tentadora, pero olvida el crecimiento del área.

Calcula desde la potencia hasta la intensidad

Ahora empecemos sin conocer la intensidad. Supón que una fuente puntual hipotética emite una potencia acústica $P=4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W$ por igual en todas direcciones. A $r=1.0\ \mathrm m$, el área esférica es $4\pi\ \mathrm{m^2}$. Por tanto,

$$I_1=\frac{4\pi\times10^{-4}\ \mathrm W}{4\pi\ \mathrm{m^2}} =1.0\times10^{-4}\ \mathrm{W/m^2}.$$

A 2,0 m, el área es $16\pi\ \mathrm{m^2}$ y la intensidad $2.5\times10^{-5}\ \mathrm{W/m^2}$. A 4,0 m son $64\pi\ \mathrm{m^2}$ y $6.25\times10^{-6}\ \mathrm{W/m^2}$. Observa que la potencia del numerador nunca cambia. En este modelo la menor intensidad local se debe a la dispersión geométrica, no a que la fuente haya bajado el volumen.

Los números son un ejemplo aritmético inventado. No describen un altavoz real, una sala de medida ni un tiempo de exposición seguro. Úsalos para comprobar la geometría: al duplicar el radio de 2 a 4 m, la intensidad vuelve a dividirse por cuatro. Si en tu tabla solo se duplica el área, has perdido el cuadrado.

Convierte bien un cociente de intensidades en decibelios

El nivel de intensidad sonora emplea una escala logarítmica. Para intensidad $I$ e intensidad de referencia $I_0$, OpenStax escribe

$$\beta=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\ \mathrm{dB}.$$

Con la referencia convencional $I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$, el valor a 1 m es $10\log_{10}(10^{-4}/10^{-12})=80\ \mathrm{dB}$. A 2 m vale $10\log_{10}(2.5\times10^7)\approx74\ \mathrm{dB}$. A 4 m es aproximadamente $68\ \mathrm{dB}$. Cada duplicación de distancia supone una caída aproximada de 6 dB en este caso ideal.

También puedes hallar la diferencia sin calcular ninguno de los niveles absolutos:

$$\Delta\beta=10\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right) =10\log_{10}(1/4)\approx-6.02\ \mathrm{dB}.$$

No restes un cuarto de 80 dB ni digas que el nivel es 20 dB porque la intensidad quedó en una cuarta parte. Los decibelios son logaritmos de cocientes: multiplicar intensidades se traduce en sumar o restar niveles. Además, el nivel de intensidad es una magnitud física; el volumen percibido depende de frecuencia, oído y contexto. El ejemplo no demuestra que alguien oiga el sonido como cuatro veces menos fuerte. OpenStax separa intensidad, nivel de intensidad y sonoridad.

Comprueba dónde deja de valer el modelo simple

El inverso del cuadrado requiere una fuente aproximadamente puntual y un campo libre. En una habitación, el sonido reflejado regresa desde paredes, techo y suelo. El nivel total que llega al oyente puede no bajar 6 dB cada vez que duplica la distancia. La explicación de Auditory Neuroscience señala expresamente ese límite por reflexiones. Al aire libre, barreras, suelo, dirección de la fuente y absorción también pueden cambiar el resultado. Eso no vuelve falsa la geometría: indica que la situación real ya no cumple las hipótesis sencillas.

Cerca de un altavoz grande u otra fuente extensa, la imagen de un punto pequeño que irradia en todas direcciones tampoco encaja bien. No apliques sin verificar la ecuación esférica a una distancia comparable al tamaño de la fuente. En un ejercicio, busca expresiones como «fuente puntual isotrópica», «onda esférica» o «absorción despreciable»; autorizan el modelo. Si faltan, explica el supuesto que estás adoptando.

Un sonómetro o una aplicación de teléfono puede mostrar un número en dB. Ese número solo no identifica la potencia acústica de la fuente ni prueba una ley del inverso del cuadrado. Haría falta conocer el montaje y su calibración. Aquí la cuenta predice intensidad ideal a partir de una potencia y una distancia dadas; no es una instrucción para juzgar la seguridad auditiva con una lectura del teléfono.

Dos problemas breves para probar el modelo

Problema 1. Una fuente puntual en un campo libre ideal produce $0.0036\ \mathrm{W/m^2}$ a 3 m. ¿Cuál es la intensidad a 9 m? La distancia se triplica, así que la intensidad queda en un noveno: $0.0036/9=0.00040\ \mathrm{W/m^2}$. La diferencia de nivel es $10\log_{10}(1/9)\approx-9.54\ \mathrm{dB}$. No necesitas la intensidad de referencia para calcular esa diferencia.

Problema 2. Dos oyentes están a 1 y 2 m de una fuente en una pequeña sala con reflexiones. ¿Puedes prometerles una diferencia de 6 dB? No. Bajo hipótesis ideales puedes calcular unos 6 dB para la componente esférica directa, pero las reflexiones pueden modificar el sonido total en ambos sitios. Especifica qué cantidad describe tu respuesta. Esa salvedad forma parte de la resolución.

Para otro tipo de cálculo, las ondas estacionarias determinan qué frecuencias caben en una cuerda o un tubo, mientras que el efecto Doppler describe un cambio aparente de frecuencia. La intensidad pregunta otra cosa: ¿cuánta potencia atraviesa aquí cada metro cuadrado? Cuando nombras la magnitud y las hipótesis del modelo, tanto el cuadrado como el logaritmo tienen una tarea clara.