Ondas estacionarias en cuerdas y tubos: ejemplos resueltos

Una onda estacionaria parece inmóvil en un aspecto: sus nodos permanecen en el mismo sitio. Sin embargo, la cuerda o el aire entre ellos sigue moviéndose. Para resolver un problema de frecuencia, empieza por los extremos. Ellos determinan qué patrones caben; la rapidez de propagación convierte después cada longitud de onda permitida en una frecuencia.

Esta guía desarrolla tres ejemplos y comprueba cada respuesta con un dibujo, las unidades y el siguiente modo permitido. Usamos cuerdas y columnas de aire ideales. Los extremos de instrumentos reales, los cambios de temperatura y el amortiguamiento exigen más cuidado; la última sección señala dónde dejan de servir las ecuaciones simples.

Una onda viajera se convierte en un patrón estacionario

Una onda que avanza por una cuerda se refleja en un extremo. Cuando se superponen la onda incidente y la reflejada con la misma frecuencia, sus desplazamientos pueden sumarse en unos lugares y anularse en otros. Un nodo permanece con desplazamiento nulo. Un vientre o antinodo alcanza el mayor desplazamiento de ese modo. El patrón no transporta una sola cresta de izquierda a derecha de forma continua, aunque en un sistema real forzado siga entrando y disipándose energía.

El capítulo de OpenStax sobre ondas estacionarias deduce los modos permitidos a partir de las condiciones en los extremos. La clave no es memorizar primero una fórmula. Dibuja qué puede hacer el medio en cada extremo y cuenta las fracciones de longitud de onda que caben entre ellos.

La frecuencia, la longitud de onda y la rapidez siguen cumpliendo:

$$v=f\lambda.$$

Aquí $v$ es la rapidez con que una perturbación viajera avanza por el medio, $f$ son ciclos por segundo y $\lambda$ son metros por ciclo. El patrón estacionario procede de dos ondas de ese tipo; no cambia esa relación. Esto difiere de la masa en un resorte de nuestra guía sobre movimiento armónico simple: un solo punto de la cuerda puede oscilar aproximadamente así, mientras que la cuerda tiene muchos puntos y muchas formas modales posibles.

Cuerda fija: nodos en ambos extremos

Una cuerda firmemente sujeta en ambos extremos no puede moverse en los puntos de sujeción. Dibuja un nodo de desplazamiento en cada extremo. El patrón más corto tiene una sola protuberancia entre ellos: media longitud de onda cabe en la longitud $L$. Añade otra media longitud de onda por cada modo superior:

$$L=n\frac{\lambda_n}{2},\qquad \lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad f_n=\frac{nv}{2L},\quad n=1,2,3,\ldots$$

El primer modo es el fundamental, $f_1=v/(2L)$. El segundo es $2f_1$ y añade un nodo interior. El tercero es $3f_1$. Llamar armónicos a estas frecuencias solo ayuda después de comprobar que ambos extremos están realmente fijos. Un extremo libre impondría otra condición de desplazamiento.

En una cuerda tensa ideal, la tensión $T$ y la densidad lineal de masa $\mu$ determinan la rapidez:

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.$$

La tensión debe estar en newtons y $\mu$ en kilogramos por metro. La raíz tiene entonces unidades de metros por segundo. El modelo supone una cuerda flexible, tensión casi constante y desplazamientos transversales pequeños. No afirma que una cuerda real gruesa, rígida y sometida a una fuerte excitación siga exactamente todos los armónicos ideales.

Ejemplo resuelto 1: una cuerda con tensión conocida

Una cuerda de 1,20 m tiene tensión $48\ \mathrm{N}$ y densidad lineal $0.012\ \mathrm{kg/m}$. Calcula la primera y la tercera frecuencia permitida. Primero, la rapidez:

$$v=\sqrt{48/0.012}=\sqrt{4000}\approx63.25\ \mathrm{m/s}.$$

Después, $f_1=63.25/(2\times1.20)\approx26.4\ \mathrm{Hz}$ y $f_3=3f_1\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. Para el tercer modo, $\lambda_3=2(1.20)/3=0.80\ \mathrm{m}$. Comprueba: $v/\lambda_3=63.25/0.80\approx79.1\ \mathrm{Hz}$. El dibujo debe tener nodos en ambos extremos y dos nodos internos. Un resultado de dos veces la fundamental describiría el segundo modo, no el tercero.

Al cambiar la tensión cambia $v$ y, con ella, todas las frecuencias modales. Duplicar la tensión no duplica la frecuencia: por la raíz cuadrada, el factor es $\sqrt{2}$. Cambiar la longitud manteniendo fija la rapidez tiene otro efecto: la frecuencia es inversamente proporcional a $L$. Di qué mantienes constante antes de comparar dos cuerdas.

Extremos de tubos: especifica desplazamiento o presión

El sonido en un tubo es una perturbación longitudinal. El aire va y viene a lo largo del tubo, mientras la presión sube y baja. La palabra «nodo» es ambigua si no dices qué magnitud dibujas. En un extremo aproximadamente cerrado, el desplazamiento del aire está restringido: nodo de desplazamiento y vientre de presión. En un extremo aproximadamente abierto, el aire puede moverse con más libertad y la variación de presión es casi nula: vientre de desplazamiento y nodo de presión.

Las notas de la Universidad de Tennessee sobre columnas de aire emparejan expresamente las condiciones de presión y desplazamiento. Ambas columnas son complementarias. Si un dibujo etiqueta un extremo cerrado como nodo de presión y luego usa una fórmula de desplazamiento, mezcla modelos. Los modos sonoros de OpenStax usan el desplazamiento para mostrar los patrones permitidos en tubos. Antes de empezar, escribe «desplazamiento del aire» sobre el dibujo y sitúa sus nodos y vientres. Puedes añadir la presión debajo como comprobación.

Un tubo abierto por ambos extremos tiene vientres de desplazamiento en ambos. El patrón más simple ocupa media longitud de onda en $L$, igual que la cuerda fija en el recuento de longitudes de onda, aunque aquí los extremos son vientres y no nodos. Así, $f_n=nv/(2L)$ para $n=1,2,3,\ldots$ en el tubo abierto-abierto ideal. Un tubo cerrado por ambos extremos también tiene condiciones simétricas y, en el modelo simple, la misma secuencia de frecuencias, con nodos de desplazamiento en ambos extremos.

Ejemplo resuelto 2: un tubo abierto

Toma un tubo ideal de 0,85 m abierto por ambos extremos y supón una rapidez del sonido $340\ \mathrm{m/s}$ para este ejercicio. En la fundamental cabe media longitud de onda: $\lambda_1=2L=1.70\ \mathrm{m}$. La frecuencia es $f_1=340/1.70=200\ \mathrm{Hz}$. El siguiente modo permitido es $f_2=400\ \mathrm{Hz}$, con $\lambda_2=0.85\ \mathrm{m}$.

Comprueba la geometría antes de aceptar la cuenta: los extremos abiertos son vientres de desplazamiento y el segundo modo añade media longitud de onda dentro del tubo. Comprueba también las unidades: metros por segundo divididos por metros dan segundos inversos, es decir, hercios. Los 340 m/s son un valor proporcionado para el ejercicio, no una rapidez universal del sonido; la temperatura y el medio pueden cambiarla.

Un tubo cerrado-abierto admite armónicos impares

Cierra un extremo del tubo y deja el otro abierto. El desplazamiento debe tener un nodo en un extremo y un vientre en el otro. El patrón más corto solo necesita un cuarto de longitud de onda en $L$, de modo que $\lambda_1=4L$ y $f_1=v/(4L)$. El siguiente patrón compatible necesita tres cuartos de longitud de onda y el siguiente, cinco:

$$L=(2k-1)\frac{\lambda_k}{4},\qquad f_k=(2k-1)\frac{v}{4L},\quad k=1,2,3,\ldots$$

Las frecuencias son $f_1,3f_1,5f_1,\ldots$. «Solo armónicos impares» describe estos extremos ideales. El segundo modo permitido es el tercer armónico, no el segundo. Esa diferencia evita una respuesta frecuente de $2f_1$ para un tubo cerrado-abierto. Si el problema dice «segunda resonancia», usa $3f_1$ en este modelo ideal.

Ejemplo resuelto 3: tubo cerrado por un extremo

Usa un tubo cerrado-abierto de 0,50 m y el valor del ejercicio $v=340\ \mathrm{m/s}$. Primera resonancia: $\lambda_1=4(0.50)=2.0\ \mathrm{m}$, así que $f_1=340/2.0=170\ \mathrm{Hz}$. Segunda resonancia permitida: $3f_1=510\ \mathrm{Hz}$, con $\lambda=340/510\approx0.667\ \mathrm{m}$. Tres cuartos de esa longitud de onda son aproximadamente 0,50 m, que caben en el tubo. En cambio, $2f_1=340\ \mathrm{Hz}$ exigiría un patrón de desplazamiento incompatible con una de las condiciones de extremo.

Comprueba los extremos: el cerrado es nodo de desplazamiento y vientre de presión; el abierto es vientre de desplazamiento y nodo de presión. Después revisa unidades, numeración de armónicos impares y $v=f\lambda$. Las cuatro comprobaciones deben concordar antes de aceptar el resultado.

Los modos estacionarios indican frecuencias posibles; estos ejemplos de intensidad explican la potencia por área según la distancia.

Dónde termina el modelo ideal

El aire en una boca abierta no deja de moverse exactamente en el borde físico. Por eso un tubo real tiene una longitud acústica efectiva algo distinta de su longitud medida. Es la corrección de extremo; las notas de la Universidad de Connecticut sobre columnas de aire explican por qué ambas longitudes difieren. La corrección depende de la abertura y del entorno, así que una fórmula para un tubo perfectamente ideal no puede predecir cada resonancia real al hercio. En los ejemplos anteriores, el problema usa expresamente el modelo simple de extremos y la longitud medida $L$ como longitud efectiva.

La temperatura cambia la rapidez del sonido; también importan las hipótesis de paredes rígidas y las pérdidas. La rigidez y el amortiguamiento de una cuerda pueden desplazar o desdibujar los modos. Son motivos para leer las hipótesis del enunciado, no para abandonar el dibujo de nodos. Este indica de qué familia ideal partir y qué corrección podría pedir un ejercicio avanzado.

No apliques la regla de armónicos impares a cualquier fuente de sonido. Corresponde a un extremo aproximadamente cerrado y otro aproximadamente abierto. Una columna de aire abierta-abierta admite toda la secuencia entera en la misma idealización. Una cuerda vibrante tiene sus propias condiciones de extremos fijos. La frontera, no el nombre del instrumento, decide la fórmula.

Practica el planteamiento y luego el cálculo

Para un problema nuevo, dibuja las condiciones de los extremos, aclara si los nodos se refieren a desplazamiento o presión, cuenta la fracción permitida de $\lambda$ y solo entonces introduce $v$ y $L$. Acaba invirtiendo el cálculo con $v=f\lambda$. Esa última línea detecta muchos errores de factor dos.

La práctica de Ondas y sonido de Physics Zen incluye la habilidad de ondas estacionarias en cuerdas y tubos, con valores nuevos y soluciones comprobadas. Usa estos tres ejemplos como modelos: rapidez de la cuerda a partir de tensión y densidad, tubo abierto con media longitud de onda y tubo cerrado-abierto con cuartos impares de longitud de onda.

Preguntas frecuentes

¿Por qué no hay segundo armónico en un tubo cerrado-abierto? Un patrón de media longitud de onda no puede tener un nodo de desplazamiento en un extremo y un vientre en el otro. Solo uno, tres, cinco y los siguientes números impares de cuartos de longitud de onda cumplen ambas condiciones en el modelo ideal.

¿Un extremo abierto es nodo o vientre? Para el desplazamiento del aire es aproximadamente un vientre; para la variación de presión, aproximadamente un nodo. Di qué magnitud describes antes de usar cualquiera de las dos palabras.

¿Puedo usar directamente la longitud medida del tubo? Usa la longitud indicada en un problema de libro bajo sus hipótesis ideales. Las medidas reales pueden necesitar una corrección de extremo; comprueba si la longitud dada es física o efectiva.