Lois de Kirchhoff expliquées : loi des nœuds et loi des mailles avec exemples

Deux générateurs, trois résistances et une question : dans quel sens le courant traverse-t-il le générateur le plus faible ? La plupart des élèves dessinent une flèche qui sort de sa borne positive, parce que c'est ce que fait un générateur. Dans le circuit ci-dessous, cette hypothèse est fausse, et le calcul vous l'annonce en renvoyant un nombre négatif. Lire correctement ce signe moins, c'est l'essentiel de ce que les lois de Kirchhoff vous demandent.

Ce guide énonce les deux lois, donne un tableau unique des signes à la traversée, puis résout un circuit à deux mailles dans lequel un courant est volontairement orienté à l'envers. Il se termine par un circuit en pont, le cas classique où la réduction en série et en dérivation ne peut même pas commencer. Tout suppose des fils idéaux, des générateurs idéaux sans résistance interne et un courant continu en régime permanent.

La loi des nœuds est une comptabilité de charge

Un nœud est un point où trois fils ou plus se rejoignent. La première loi de Kirchhoff, la loi des nœuds, dit que la somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des courants qui en repartent :

$$\sum I_{\text{entrant}}=\sum I_{\text{sortant}}$$

Le chapitre d'OpenStax sur les règles de Kirchhoff l'appuie sur la conservation de la charge : le courant est un flux de charge, la charge ne s'accumule pas dans un fil, donc tout ce qui arrive à un nœud doit en repartir. Si 3 A arrivent par un fil et que 2 A repartent par un autre, le troisième fil emporte 1 A.

Vous pouvez appliquer la loi à chaque nœud, mais dans un circuit à $n$ nœuds, seules $n-1$ équations sont indépendantes. La dernière répète une information que vous avez déjà.

La loi des mailles est une comptabilité de potentiel

La seconde loi de Kirchhoff, la loi des mailles, dit que si vous parcourez une maille fermée quelconque en additionnant toutes les variations de potentiel électrique, le total est nul :

$$\sum \Delta V=0$$

Vous finissez là où vous avez commencé, et un point n'a qu'un seul potentiel. OpenStax relie la loi à l'énergie : toute l'énergie qu'une source fournit à la charge au cours du tour, les composants de la maille la transfèrent ailleurs.

La loi est simple. C'est sur les signes qu'on perd des points, alors fixons-les une fois pour toutes :

Vous traversez	Sens du parcours	Variation de potentiel
Résistance $R$	dans le sens du courant supposé $I$	$-IR$
Résistance $R$	à contre-sens du courant supposé $I$	$+IR$
Générateur $\varepsilon$	de la borne − à la borne +	$+\varepsilon$
Générateur $\varepsilon$	de la borne + à la borne −	$-\varepsilon$

Ce sont les mêmes quatre règles que celles d'OpenStax. Deux remarques. Le signe de la résistance dépend de la flèche de courant que vous avez dessinée, pas du courant réel, que vous ne connaissez pas encore. Le signe du générateur dépend uniquement de la borne que vous rencontrez en premier, jamais du courant qui la traverse.

Un circuit à deux mailles avec une mauvaise hypothèse

Imaginez deux fils horizontaux, celui du haut relié au nœud A et celui du bas au nœud B. Trois branches verticales les relient :

Branche	Contient (de bas en haut)	Courant supposé
Gauche	générateur de 12 V, côté + en haut, puis une résistance de 2 Ω	$I_1$, vers le haut, entrant en A
Milieu	résistance de 3 Ω	$I_2$, vers le bas, sortant de A
Droite	générateur de 3 V, côté + en haut, puis une résistance de 3 Ω	$I_3$, vers le haut, entrant en A

Les flèches de $I_1$ et de $I_3$ sortent toutes deux des bornes positives. C'est l'hypothèse naturelle et, pour le générateur de 3 V, la mauvaise. N'essayez pas de l'éviter. La méthode s'en accommode.

Nœud A. Deux courants entrants, un sortant :

$$I_1+I_3=I_2$$

Maille de gauche. Partez de B, montez par la branche de gauche, traversez le haut jusqu'à A, puis descendez par la branche du milieu jusqu'à B. La traversée du générateur de 12 V de − vers + donne $+12$. La résistance de 2 Ω traversée dans le sens de $I_1$ donne $-2I_1$. La descente par le milieu dans le sens de $I_2$ donne $-3I_2$ :

$$12-2I_1-3I_2=0$$

Maille de droite. Partez de B, montez par la branche de droite jusqu'à A, puis descendez par le milieu :

$$3-3I_3-3I_2=0$$

Trois inconnues, trois équations indépendantes. Il reste à résoudre.

Résoudre, puis lire le signe

La maille de droite se simplifie en $I_2+I_3=1$, donc $I_3=1-I_2$. Reportez la loi des nœuds dans la maille de gauche en remplaçant $I_1$ par $I_2-I_3$ :

$$12-2(I_2-I_3)-3I_2=0\quad\Rightarrow\quad 12-5I_2+2I_3=0$$

Substituez $I_3=1-I_2$ :

$$12-5I_2+2-2I_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=2\ \mathrm{A}$$

On obtient alors $I_3=1-2=-1\ \mathrm{A}$ et $I_1=I_2-I_3=2-(-1)=3\ \mathrm{A}$.

Le signe moins de $I_3$ est toute la leçon. La valeur, 1 A, est juste. Le sens est opposé à la flèche : le courant circule vers le bas dans la branche de droite et entre dans le générateur de 3 V par sa borne positive. OpenStax dit exactement cela : un courant supposé dans le mauvais sens ressort négatif, et la réponse reste correcte.

Deux habitudes évitent de se faire piéger par le signe :

• Ne retournez pas la flèche pour tout recommencer. Les équations ont été construites sur vos flèches et elles sont cohérentes avec elles.
• Gardez la valeur négative dans chaque étape suivante. $I_1=I_2-I_3$ ne donne 3 A que si $I_3$ entre comme $-1$. Si vous perdez le signe, vous obtenez 1 A, et l'erreur se propage.

Physiquement, le générateur de 12 V force le courant à rebours à travers le générateur de 3 V. Un accumulateur placé là serait en charge. Si l'étape de résolution elle-même vous paraît glissante, notre guide sur les erreurs de physique qui sont en réalité des erreurs de calcul contient une section sur deux inconnues et les systèmes d'équations.

Vérifier deux fois : tension entre nœuds et bilan de puissance

Tension entre nœuds. Chaque branche relie A à B, donc chacune doit donner la même différence de potentiel $V_A-V_B$. Milieu : $3\times2=6\ \mathrm{V}$. Gauche : le générateur élève le potentiel de 12 V et la résistance le fait chuter de $2\times3=6\ \mathrm{V}$, il reste 6 V. Droite : $3-3\times(-1)=6\ \mathrm{V}$. Trois branches, un seul résultat.

Bilan de puissance. OpenStax recommande de vérifier une solution de Kirchhoff en comparant la puissance fournie par les sources à celle que reçoivent les autres éléments. Ici :

Élément	Puissance
Générateur de 12 V, 3 A sortant de la borne +	fournit $12\times3=36\ \mathrm{W}$
Résistance de 2 Ω, 3 A	$3^2\times2=18\ \mathrm{W}$
Résistance centrale de 3 Ω, 2 A	$2^2\times3=12\ \mathrm{W}$
Résistance de droite de 3 Ω, 1 A	$1^2\times3=3\ \mathrm{W}$
Générateur de 3 V, 1 A entrant par la borne +	absorbe $3\times1=3\ \mathrm{W}$

Fournie : 36 W. Reçue : 18 + 12 + 3 + 3 = 36 W. Le bilan n'est équilibré que si le générateur de 3 V est compté comme absorbant de la puissance, c'est encore le courant négatif, cette fois en termes d'énergie. Si vous aviez lu $I_3$ comme +1 A, le bilan serait faux avec un écart de 6 W.

Quand la réduction en série et en dérivation suffit

Notre guide des circuits en série et en dérivation réduit un réseau pas à pas : trouvez deux résistances qui partagent un chemin sans bifurcation ou les deux mêmes nœuds, combinez-les, recommencez. Quand cela marche, utilisez-le. Ce sont les lois de Kirchhoff déjà appliquées pour vous.

Cela cesse de marcher dans deux situations. La première est le circuit ci-dessus : avec un générateur dans deux branches différentes, aucune paire de branches ne peut être combinée en une seule résistance. La seconde est un pont. Branchez une source de 12 V entre les nœuds A et B. Un bras gauche va de A à un nœud C à travers 1 Ω, puis de C à B à travers 4 Ω. Un bras droit va de A à un nœud D à travers 4 Ω, puis de D à B à travers 1 Ω. Une résistance de pont de 2 Ω relie C et D.

Aucune paire de résistances ne partage ici ses deux extrémités, et aucune ne se trouve seule sur un chemin sans bifurcation : la réduction n'a nulle part où commencer. OpenStax note que beaucoup de circuits sont ainsi. Écrivez plutôt la loi des nœuds en C et en D, avec B à 0 V :

$$\frac{12-V_C}{1}=\frac{V_C}{4}+\frac{V_C-V_D}{2},\qquad \frac{12-V_D}{4}=\frac{V_D}{1}+\frac{V_D-V_C}{2}$$

La solution est $V_C=8\ \mathrm{V}$ et $V_D=4\ \mathrm{V}$. Un courant de 2 A traverse donc le pont de C vers D, la source débite 6 A, et le réseau se comporte comme 2 Ω. Vérification en C : 4 A arrivent par la résistance de 1 Ω, 2 A repartent par la résistance de 4 Ω et 2 A par le pont.

Le raccourci tentant consiste à ignorer le pont et à traiter les bras comme deux chemins de 5 Ω en parallèle. Cela donne 2,5 Ω et 4,8 A, soit 20 pour cent de moins que les 6 A réels. Ce raccourci n'est valable que si le pont est équilibré, c'est-à-dire si les bras divisent la tension dans le même rapport, de sorte que C et D sont au même potentiel et qu'aucun courant ne traverse le pont. Ici, le bras gauche place ses 1 Ω en haut et le bras droit ses 4 Ω, les rapports sont donc inversés et le pont est parcouru par un courant.

Deux circuits d'entraînement, avec réponses

1. Deux générateurs qui débitent. Reprenez le schéma à deux mailles ci-dessus avec un générateur de 12 V et une résistance de 3 Ω dans la branche de gauche, 2 Ω au milieu, et un générateur de 9 V avec une résistance de 3 Ω dans la branche de droite, côtés + en haut. Trouvez les trois courants et vérifiez la puissance. Réponses : $I_1=2\ \mathrm{A}$, $I_2=3\ \mathrm{A}$, $I_3=1\ \mathrm{A}$, tous dans le sens des flèches d'origine, et $V_A-V_B=6\ \mathrm{V}$. Puissance : $24+9=33\ \mathrm{W}$ fournis, $12+18+3=33\ \mathrm{W}$ dans les résistances.

2. Un pont équilibré. Même forme de pont à 12 V, bras gauche 1 Ω puis 2 Ω, bras droit 2 Ω puis 4 Ω, résistance de pont quelconque. Trouvez le courant dans le pont et le courant de la source. Réponses : $V_C=V_D=8\ \mathrm{V}$, donc le pont est parcouru par 0 A ; les bras forment 3 Ω et 6 Ω en parallèle, soit 2 Ω au total, et la source débite 6 A. Ici, et seulement ici, on peut supprimer le pont.

Entraînez-vous jusqu'à ce que les signes deviennent automatiques

La méthode ne change pas d'un circuit à l'autre : d'abord les flèches, puis les nœuds, les mailles avec le tableau des signes, la résolution, la lecture des signes, la vérification par la puissance. Ce qui change, c'est la rapidité avec laquelle vous y parvenez sans hésiter devant un moins. Kirchhoff figure dans la partie électricité de notre plan d'étude de physique A-Level, et les mêmes habitudes valent pour les réseaux de condensateurs, où notre guide des condensateurs en série et en parallèle utilise de la même façon la conservation de la charge à un nœud.

Dans Physics Zen, le thème Circuits progresse de la loi d'Ohm, des circuits en série et en dérivation et de la puissance électrique jusqu'à une compétence « lois de Kirchhoff » avec des circuits à deux sources. Cette compétence fait partie de Premium sur iPhone et Android. Chaque exercice arrive avec de nouvelles valeurs, une vérification instantanée et une solution détaillée, pour que vous vous exerciez à lire un courant négatif jusqu'à ce qu'il ne ressemble plus à une erreur.