Condensateurs en série et en parallèle : charges et tensions

Deux condensateurs de 6 microfarads reliés à la même source de 12 volts peuvent donner des capacités équivalentes différentes. Reliés aux deux mêmes nœuds, ils donnent 12 microfarads. Placés l'un après l'autre, ils donnent 3 microfarads. Les composants n'ont pas changé. Leur connexion détermine la grandeur qu'ils partagent.

Pour un réseau de condensateurs, la bonne question n'est pas « quelle formule dois-je retenir ? », mais « quelles armatures sont raccordées aux mêmes nœuds, et quel nœud intermédiaire est isolé ? ». Ce guide suppose des condensateurs et des fils idéaux, ainsi qu'une tension constante appliquée à un réseau dont les condensateurs et les nœuds internes isolés sont initialement déchargés. Ces hypothèses comptent pour la règle habituelle des charges égales en série.

Partir de la charge par volt

Un condensateur comporte deux armatures conductrices séparées. Dans le modèle simple, l'une porte la charge $+Q$ et l'autre $-Q$. Le symbole $Q$ désigne la valeur absolue sur chaque armature, et non la somme de leurs valeurs absolues. La capacité indique la quantité de cette charge par volt entre les armatures :

$$C=\frac{Q}{V},\qquad Q=CV$$

Un farad vaut un coulomb par volt. Dans les exercices, les microfarads et microcoulombs facilitent les calculs : $1\ \mu\mathrm{F}\times1\ \mathrm{V}=1\ \mu\mathrm{C}$. Sous 12 volts, un condensateur de 6 microfarads porte donc une charge de valeur absolue $Q=72\ \mu\mathrm{C}$ sur chacune de ses armatures. La section d'OpenStax sur la capacité définit cette relation.

Ne confondez pas la capacité avec la charge. La capacité est une propriété du composant idéal ; la charge change lorsque la tension à ses bornes change. N'additionnez pas non plus les valeurs absolues des charges des armatures positive et négative pour affirmer que le condensateur stocke deux fois $Q$. Sa charge nette est nulle, tandis que ses armatures portent des charges égales et opposées.

En parallèle : une tension, les charges s'ajoutent

Deux condensateurs sont en parallèle si chacun est raccordé à la même paire de nœuds. Ils ont donc la même différence de potentiel $V$. Chacun porte sa propre valeur absolue de charge, $Q_1=C_1V$ et $Q_2=C_2V$. La source fournit la somme aux armatures du côté positif :

$$Q_{\mathrm{total}}=Q_1+Q_2=(C_1+C_2)V$$

Pour le condensateur équivalent, on a $Q_{\mathrm{total}}=C_{\mathrm{p}}V$, donc

$$C_{\mathrm{p}}=C_1+C_2$$

Pour davantage de condensateurs en parallèle, on additionne également leurs capacités. Cette règle n'implique pas des charges égales. La plus grande capacité porte plus de charge sous la tension commune.

Prenez $C_1=2\ \mu\mathrm{F}$ et $C_2=4\ \mu\mathrm{F}$ sous 12 volts. Les deux ont $V_1=V_2=12\ \mathrm{V}$. Leurs charges en valeur absolue sont

$$Q_1=(2\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=24\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_2=(4\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=48\ \mu\mathrm{C}$$

Ensemble, ils prélèvent $72\ \mu\mathrm{C}$ à la source, ce qui correspond à $(6\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})$. Une même tension et des charges différentes sont exactement ce que prédit $Q=CV$.

En série : une valeur absolue de charge, les tensions s'ajoutent

Reliez maintenant les mêmes condensateurs bout à bout entre les bornes de la source. Un seul nœud interne les sépare, sans troisième fil. Dans le modèle annoncé, il ne porte initialement aucune charge nette et reste isolé. Toute charge induite d'un côté doit être compensée par une charge égale de signe opposé de l'autre côté. Les deux condensateurs acquièrent donc la même valeur absolue de charge $Q$, même si les signes de leurs armatures diffèrent.

La tension de la source est la somme des valeurs absolues des tensions de chaque condensateur. Comme $V_i=Q/C_i$,

$$V=V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)$$

Le condensateur équivalent obéit aussi à $V=Q/C_{\mathrm{s}}$, d'où

$$\frac{1}{C_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2},\qquad C_{\mathrm{s}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\quad\text{pour deux condensateurs}$$

Pour 2 et 4 microfarads en série, $C_{\mathrm{s}}=8/6=4/3\ \mu\mathrm{F}$. Sous 12 volts, la valeur absolue de la charge commune est

$$Q=C_{\mathrm{s}}V=\frac{4}{3}\ \mu\mathrm{F}\times12\ \mathrm{V}=16\ \mu\mathrm{C}$$

Le condensateur de 2 microfarads reçoit $V_1=Q/C_1=8\ \mathrm{V}$ ; celui de 4 microfarads reçoit $V_2=4\ \mathrm{V}$. Leurs tensions totalisent 12 volts. À charge égale, la plus petite capacité reçoit la plus grande tension. Charge égale ne signifie donc pas tension égale.

La capacité équivalente en série est inférieure à la plus petite capacité individuelle. Pour le comprendre, gardez $Q$ constant. Les deux chutes de tension s'ajoutent, donc l'ensemble demande plus de volts par unité de charge que chacun des composants seul. Le rapport total $Q/V$ doit alors diminuer. La démonstration d'OpenStax pour les montages série et parallèle suit la même logique de charge ou de tension commune.

La règle abrégée des charges égales exige ses hypothèses. Si un condensateur est initialement chargé ou si un nœud possède une charge nette non nulle au départ, il peut falloir appliquer la conservation de la charge à chaque nœud. Un montage en pont peut ne pas se réduire à de simples groupes en série et en parallèle. Précisez la situation avant d'employer la règle abrégée.

Le mot charge doit être lu avec soin dans un calcul en série. Les deux armatures face à face au nœud isolé portent des signes opposés ; dire que « les deux condensateurs portent la charge $Q$ » signifie que leurs armatures ont des valeurs absolues égales. Cela ne veut pas dire qu'une charge positive traverse l'espace isolant entre les armatures. De même, les 12 volts de la source sont appliqués à la chaîne entière, alors que chaque condensateur n'en reçoit qu'une partie. Gardez à l'esprit les signes des armatures et les bornes des tensions, même si l'exercice ne demande que des valeurs absolues. Ces distinctions évitent d'associer une bonne formule de capacité équivalente à une mauvaise attribution des charges ou des tensions.

Réduire un réseau mixte, puis le déplier

Considérez un condensateur de 12 microfarads en série avec un groupe parallèle de 2 et 4 microfarads. L'ensemble est branché sous 12 volts. Additionnez d'abord les capacités du groupe parallèle :

$$C_{23}=2+4=6\ \mu\mathrm{F}$$

Il reste maintenant 12 microfarads en série avec 6 microfarads :

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{12\times6}{12+6}=4\ \mu\mathrm{F}$$

La source fournit la valeur absolue de charge $Q_{\mathrm{eq}}=C_{\mathrm{eq}}V=48\ \mu\mathrm{C}$. C'est aussi la charge du condensateur de 12 microfarads et celle du groupe équivalent de 6 microfarads, puisque ces deux groupes sont en série. Le condensateur de 12 microfarads a $V_1=48/12=4\ \mathrm{V}$. Il reste $8\ \mathrm{V}$ pour le groupe parallèle.

Les deux condensateurs de ce groupe parallèle reçoivent 8 volts. Leurs charges sont

$$Q_2=(2\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=16\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_3=(4\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=32\ \mu\mathrm{C}$$

Les charges des branches s'additionnent en $48\ \mu\mathrm{C}$, la charge du groupe en série. La vérification des tensions donne $4+8=12\ \mathrm{V}$. Une erreur courante consiste à attribuer 48 microcoulombs à chaque branche parce que le groupe équivalent porte cette charge. C'est le total du groupe qui correspond à la charge du condensateur en série ; les branches se partagent ce total selon leurs capacités.

Cet exemple a la même structure que le montage mixte d'OpenStax, mais la méthode vaut pour tout réseau réductible : regrouper selon les nœuds communs, réduire vers l'intérieur, trouver la charge fournie par la source, puis revenir vers l'extérieur. Ne regroupez pas des condensateurs parce qu'ils semblent voisins sur le dessin. Notre guide des circuits en série et en parallèle explique comment reconnaître les nœuds ; ses exemples numériques concernent toutefois des résistances, dont les formules série et parallèle sont inversées.

Quatre vérifications avant de valider une réponse

1. Topologie : Des composants en parallèle partagent les deux nœuds extrêmes. Des composants en série partagent un nœud intermédiaire isolé sans autre branche.
2. Valeur : Pour des capacités idéales positives, la capacité équivalente en parallèle dépasse chacune des capacités ; celle en série est inférieure à chacune d'elles.
3. Unités : Microfarads multipliés par volts donnent des microcoulombs. N'exprimez pas la charge en farads ni la capacité en coulombs.
4. Reconstruction : Les tensions des branches parallèles sont égales, les chutes de tension en série totalisent la tension source, et les charges des branches s'additionnent pour donner celle de leur groupe parallèle.

Faites une dernière vérification. Deux condensateurs en série ont $C_1=3\ \mu\mathrm{F}$ et $C_2=6\ \mu\mathrm{F}$ sous 18 volts. Leur capacité équivalente est de 2 microfarads, donc chacun porte une charge de valeur absolue $36\ \mu\mathrm{C}$. Leurs tensions sont 12 et 6 volts. Le plus grand condensateur a la plus petite tension, et les deux chutes totalisent 18 volts. Si vous trouvez 18 volts sur les deux, vous avez appliqué par erreur la règle du parallèle.

Dans le thème Condensateurs de Physics Zen, les exercices de charge, de capacité et d'énergie permettent de pratiquer la relation de base avant les réseaux mixtes. Notez le type de connexion et les unités à chaque étape. Une fois ces points fixés, le calcul est généralement simple.