Potentiel électrique et champ électrique : hauteur, pente et charge

Deux points peuvent être tous deux hauts sur une montagne alors que le terrain entre eux est presque plat. Un troisième point peut être beaucoup plus bas, mais se trouver sur un versant abrupt. La hauteur et la pente décrivent deux aspects différents du même relief.

Le potentiel et le champ électriques ont une relation comparable. Le potentiel attribue une valeur à chaque endroit. Le champ indique comment cette valeur change lorsqu'on se déplace, y compris la direction de sa plus forte diminution. Un potentiel élevé ne signifie pas automatiquement un champ intense.

Ce guide traite de l'électrostatique : charges et champs qui ne changent pas au cours du temps. C'est dans ce cadre qu'un seul paysage de potentiel permet de décrire tout le champ électrique.

Quatre grandeurs, deux paires utiles

Partons des grandeurs liées à une charge précise. Une force électrique $\mathbf{F}$ agit sur elle et elle possède une énergie potentielle électrique $U$ dans la configuration des charges.

Divisons chacune par la charge d'essai $q$ :

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}, \qquad V=\frac{U}{q}$$

Le champ $\mathbf{E}$ et le potentiel $V$ décrivent l'environnement. Si l'on place une autre petite charge d'essai au même endroit, la force et l'énergie changent, mais pas l'environnement, à condition que cette charge ne perturbe pas sensiblement les charges sources.

Grandeur	Signification	Unité
Force électrique	Poussée ou attraction sur une charge donnée	newton, N
Champ électrique	Force par unité de charge	N/C, équivalent à V/m
Énergie potentielle électrique	Énergie liée à la position de la charge	joule, J
Potentiel électrique	Énergie potentielle par unité de charge	volt, V, équivalent à J/C

Le champ est un vecteur : sa direction fait partie de la réponse. Le potentiel est un scalaire : il possède une valeur signée, mais pas de direction. L'introduction d'OpenStax au potentiel explique la différence entre énergie et énergie par charge.

Notre guide sur la loi de Coulomb montre comment les charges sources produisent force et champ. Le potentiel donne une autre voie pour résoudre le même problème.

La tension compare deux points

Une tension est une différence de potentiel :

$$\Delta V=V_B-V_A$$

Pour une charge qui passe de A à B, la variation d'énergie potentielle vaut

$$\Delta U=q\Delta V$$

Prenons une charge de $+3\ \mathrm{\mu C}$ qui passe de 10 V à 4 V. La variation de potentiel est $4-10=-6\ \mathrm{V}$, donc

$$\Delta U=(3\times10^{-6})(-6) =-18\times10^{-6}\ \mathrm{J}$$

Elle perd 18 microjoules d'énergie potentielle. Le champ électrique fournit un travail positif de 18 microjoules sur elle. Si seule la force électrique travaille, son énergie cinétique augmente de cette quantité. C'est le même bilan que dans notre guide sur le travail et l'énergie.

Changer le zéro ne modifie aucun de ces résultats. Ajoutons 100 V aux deux potentiels : la charge passe de 110 V à 104 V, soit toujours une baisse de 6 V. Dire « ce point est à 10 V » suppose toujours une référence.

Le champ est la pente descendante du potentiel

Le long d'une coordonnée, la relation électrostatique est

$$E_x=-\frac{dV}{dx}$$

Le signe moins fixe le sens : le champ pointe vers les potentiels décroissants. Les notes de Richard Fitzpatrick à l'université du Texas déduisent cette relation du travail et de l'énergie. Pour un champ uniforme, aucun calcul différentiel n'est nécessaire : divisez la variation de potentiel par la distance et inversez le signe.

Supposons que le potentiel diminue régulièrement de 18 V en $x=0$ à 6 V en $x=0.04\ \mathrm{m}$ :

$$E_x=-\frac{6-18}{0.04}=+300\ \mathrm{V/m}$$

Le signe positif indique que le champ pointe dans le sens positif de l'axe x. Sur les mêmes 4 cm, une baisse de seulement 3 V donnerait 75 V/m. C'est la baisse par mètre qui compte.

La formule rapide $E=|\Delta V|/d$ suppose un champ uniforme et une distance mesurée dans sa direction. Entre de grandes plaques parallèles, loin des bords, c'est parfois une bonne approximation. Autour d'une charge ponctuelle, le champ varie avec la distance : une différence de potentiel divisée par une distance finie donne une moyenne le long du trajet, pas la valeur du champ en chaque point.

Pour un potentiel variable, le chapitre d'OpenStax sur le champ déduit du potentiel présente la dérivée et sa généralisation en trois dimensions.

Une charge négative inverse la force

Le sens du champ est défini à l'aide d'une charge d'essai positive. Pour toute charge,

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}$$

Un $q$ négatif inverse le sens de la force. Dans le champ de 300 V/m ci-dessus, une charge de $-2\ \mathrm{\mu C}$ subit

$$F_x=(-2\times10^{-6})(300) =-6\times10^{-4}\ \mathrm{N}$$

Sa force électrique pointe vers les x négatifs, où le potentiel est plus élevé. Cela ne signifie pas que son énergie potentielle augmente : multiplier une hausse de $V$ par une charge négative donne une baisse de $U$.

Soyons précis sur le mouvement. La force détermine l'accélération, pas forcément le sens dans lequel la particule se déplace déjà. Une charge négative lancée vers un potentiel plus faible peut continuer dans ce sens tout en ralentissant. « Les charges négatives montent la pente » décrit la force, ou l'accélération initiale à partir du repos, et non toutes les trajectoires possibles.

Potentiel nul et champ nul : deux affirmations distinctes

Plaçons deux charges ponctuelles positives égales sur une ligne. Au milieu, leurs champs ont la même intensité et des sens opposés : le champ résultant est nul. Si le potentiel à l'infini vaut zéro, chaque charge apporte un potentiel positif et ces potentiels s'additionnent. Le potentiel est donc positif là où le champ est nul.

Remplaçons maintenant une des charges sources par une charge négative de même valeur absolue. Au milieu, les potentiels positif et négatif s'annulent. Mais les deux contributions au champ pointent de la charge positive vers la négative : elles s'ajoutent au lieu de s'annuler.

Ces exemples révèlent une erreur fréquente : additionner les intensités des champs comme s'il s'agissait de potentiels scalaires. Pour additionner des champs, gardez les directions ; pour additionner des potentiels, gardez les signes algébriques.

Un champ nul en un seul point ne signifie pas non plus que le potentiel est constant dans toute la région voisine. Ce point peut être stationnaire dans un paysage variable, comme un petit replat sur un versant.

Les équipotentielles sont des courbes de niveau

Sur une carte, les points d'une même courbe de niveau ont la même altitude. Sur une surface équipotentielle, ils ont le même potentiel électrique.

Déplacer une charge le long de cette surface ne change pas son énergie potentielle électrique. Le champ électrique ne fournit aucun travail pendant ce déplacement, même si un champ peut être présent. Là où il n'est pas nul, le champ rencontre la surface équipotentielle à angle droit.

Des courbes serrées indiquent un champ plus intense seulement si les courbes voisines représentent des écarts de potentiel égaux. Si les intervalles de tension varient sur un dessin, vérifiez les étiquettes avant de comparer les espacements.

Choisir l'équation selon la question

On demande la force ? Trouvez le champ électrique à la position de la charge, puis multipliez-le par la charge avec son signe. Indiquez le sens.

On demande l'énergie ou la vitesse ? Utilisez la différence de potentiel pour trouver $\Delta U=q\Delta V$. Si d'autres forces travaillent, tenez-en compte avant de déduire une vitesse de cette variation d'énergie.

On donne un graphe du potentiel ? Lisez sa pente pour trouver la composante du champ selon l'axe du graphe. Une courbe plus haute n'est pas nécessairement plus pentue.

On travaille sur un circuit ? Suivez les différences de potentiel entre les nœuds. Notre guide sur les circuits en série et en parallèle explique pourquoi les tensions s'additionnent le long d'un trajet et pourquoi les branches parallèles partagent la même paire d'extrémités.

Pour vous exercer dans Physics Zen, tracez quatre colonnes à côté du problème : champ, force, potentiel, énergie. Placez les unités dans la bonne colonne avant de remplacer par les nombres. Cela rend plus visibles une erreur de signe ou une charge oubliée.