La loi de Coulomb expliquée intuitivement : charge, force et champ électrique

Frottez un ballon sur vos cheveux, et il reste collé au mur. Passez un peigne en plastique dans des cheveux secs, et il peut soulever des bouts de papier posés sur un bureau. Rien de visible ne relie le peigne au papier, et pourtant quelque chose l'attire à travers l'espace qui les sépare, d'autant plus fort que le peigne se rapproche.

Cette attraction, c'est la force électrique. La loi de Coulomb la quantifie : comment elle dépend de la quantité de charge et, plus fortement encore, de la distance. Les exemples supposent de petites charges au repos, dans le vide ou dans l'air.

La charge est une grandeur que l'on compte

Il existe deux types de charge électrique, positive et négative. Les charges de même signe se repoussent ; celles de signes contraires s'attirent. Un proton porte une unité de charge positive, un électron une unité de charge négative. Cette unité est la charge élémentaire :

$$e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

Depuis la révision du SI de 2019, cette valeur est exacte par définition. La charge de tout objet en est un multiple entier, et un coulomb correspond à environ $6.24 \times 10^{18}$ charges élémentaires.

La charge se conserve également. Frotter un ballon sur des cheveux ne crée pas de charge ; cela déplace des électrons, et ce que l'un gagne, l'autre le perd. Un objet neutre contient pourtant des charges : autant de charges positives que de charges négatives.

La loi de Coulomb : la formule et ses unités

En 1785, Charles-Augustin de Coulomb a publié des mesures de la répulsion entre deux petites boules chargées, effectuées avec une balance de torsion. Comme le rappelle APS News, la force était inversement proportionnelle au carré de la distance entre leurs centres.

Sous sa forme moderne, pour des charges ponctuelles $q_1$ et $q_2$ séparées d'une distance $r$ :

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

$F$ s'exprime en newtons, les charges en coulombs et $r$ en mètres, distance mesurée de centre à centre. La constante de Coulomb $k$ convertit les coulombs et les mètres en newtons :

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

Ici, $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ est la permittivité du vide ; à quatre chiffres significatifs, $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$. La section d'OpenStax sur la loi de Coulomb donne la même expression.

Avec les barres de valeur absolue, la formule ne donne que la valeur de la force. Ce sont les signes qui indiquent s'il y a répulsion ou attraction, et la force agit toujours le long de la droite qui relie les charges.

Pourquoi la distance compte tant

Le $r^2$ fait de la distance le levier le plus puissant de la formule. Doublez la distance, et la force est divisée par quatre ; triplez-la, et elle est divisée par neuf.

Voici une intuition, pas une démonstration. Imaginez que l'influence de la charge se propage uniformément dans toutes les directions. À la distance $r$, elle se répartit sur une sphère d'aire $4\pi r^2$. Doublez $r$, et l'aire de la sphère est multipliée par quatre, si bien que chaque portion de surface n'en reçoit plus qu'un quart. Le $4\pi$ de $k$ vient de cette même sphère.

Le carré explique aussi le ballon collé au mur. Les charges du mur neutre se déplacent légèrement : celles de signe contraire à celui du ballon se rapprochent de lui, celles de même signe s'en éloignent. Avec une force aussi sensible à la distance, l'attraction, plus proche, l'emporte sur la répulsion, plus lointaine, et le ballon reste collé.

Exemple détaillé : deux charges égales

Deux petites sphères portent chacune $+2.0\ \mu\mathrm{C}$ et sont séparées de $0.30\ \mathrm{m}$. Comme un microcoulomb vaut $10^{-6}\ \mathrm{C}$, remplacez chaque charge par $2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ :

$$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})^2}{(0.30)^2} = \frac{0.03596}{0.090} \approx 0.40\ \mathrm{N}$$

Les deux charges sont positives, la force est donc répulsive. Chacune est repoussée en ligne droite par l'autre avec environ 0,40 N, soit à peu près le poids d'un objet de 40 grammes.

Écartez-les jusqu'à $0.60\ \mathrm{m}$. La distance a doublé, donc la force est divisée par quatre et vaut $0.10\ \mathrm{N}$, sans nouveau calcul.

Exemple détaillé : quelle est l'intensité de la force électrique ?

Prenez l'électron et le proton de l'atome d'hydrogène, séparés d'un rayon de Bohr : $r = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$, la distance typique entre eux dans l'état fondamental de l'atome. Chacun porte une charge de valeur absolue $e$ :

$$F_e = \frac{(8.99 \times 10^{9})(1.602 \times 10^{-19})^2}{(5.29 \times 10^{-11})^2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

Pour l'attraction gravitationnelle entre ces deux mêmes particules, utilisez $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$, $m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ et $m_p = 1.673 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ :

$$F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3.63 \times 10^{-47}\ \mathrm{N}$$

La force électrique est environ $2.27 \times 10^{39}$ fois plus grande. Les deux diminuent en $1/r^2$, donc ce rapport est le même quelle que soit la distance.

Alors pourquoi la gravité vous retient-elle au sol et maintient-elle la Lune en orbite ? Parce que la matière est presque parfaitement neutre. Les protons sont compensés par les électrons, si bien que les immenses attractions et répulsions électriques s'annulent presque exactement. Il n'existe pas de masse négative, donc la gravité ne s'annule jamais : chaque kilogramme d'une planète contribue à son attraction.

Déterminer le sens, puis additionner

Avec plusieurs charges, chaque paire interagit comme si les autres étaient absentes, et la force résultante est la somme vectorielle : c'est le principe de superposition.

Placez trois charges sur une droite :

• $q_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C}$ en $x = 0$
• $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$ en $x = 0.20\ \mathrm{m}$
• $q_3 = +1.0\ \mu\mathrm{C}$ en $x = 0.10\ \mathrm{m}$

Trouvez la force résultante sur $q_3$, située à $0.10\ \mathrm{m}$ de chacune des deux autres. Fixez le sens de chaque force avant de toucher aux nombres. Les charges $q_1$ et $q_3$ sont toutes deux positives, donc $q_1$ repousse $q_3$, vers $+x$. La charge $q_2$ est négative, donc elle attire $q_3$ vers elle, également vers $+x$.

Les deux résultats seront additionnés, gardez donc quatre chiffres significatifs, avec $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ :

$$F_{13} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 2.696\ \mathrm{N}$$ $$F_{23} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 1.798\ \mathrm{N}$$

Les deux forces agissent dans le même sens, leurs valeurs s'additionnent donc :

$$F_{\mathrm{net}} = 2.696 + 1.798 = 4.494\ \mathrm{N} \approx 4.49\ \mathrm{N}$$

La force résultante sur $q_3$ vaut environ 4,49 N et est orientée vers la droite. La physique a fixé les sens ; la formule n'a fourni que les valeurs.

De la force au champ

La loi de Coulomb décrit une paire de charges. Le champ électrique décrit l'espace autour de l'une d'elles. C'est la force par unité de charge subie par une petite charge d'essai positive $q$ :

$$E = \frac{F}{q}$$

Son unité est le newton par coulomb, et il est orienté dans le sens où une charge positive serait poussée. Divisez la force de Coulomb par la charge d'essai pour obtenir le champ créé par une charge ponctuelle $Q$ :

$$E = k\frac{|Q|}{r^2}$$

À $0.30\ \mathrm{m}$ d'une charge de $2.0\ \mu\mathrm{C}$ :

$$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.30)^2} \approx 2.0 \times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

Le champ existe, qu'une charge d'essai s'y trouve ou non. Calculez-le une fois, et $F = qE$ donne la force exercée sur n'importe quelle charge placée en ce point : une seconde charge de $2.0\ \mu\mathrm{C}$ subit les 0,40 N du premier exemple. Une charge négative est poussée dans le sens opposé au champ.

Les lignes de champ électrique partent des charges positives et se terminent sur des charges négatives ou s'étendent jusqu'à l'infini. En chaque point, le champ est tangent à la ligne de champ qui y passe, et là où les lignes se resserrent, le champ est plus intense. Les lignes de champ ne se croisent jamais, car le champ n'a qu'une seule direction en chaque point. Autour d'une charge isolée, le même nombre de lignes traverse chaque sphère, donc leur densité diminue en $1/r^2$ : on retrouve l'inverse du carré.

L'étape suivante est le potentiel électrique, une énergie par unité de charge qui s'exprime en volts. La tension étudiée dans notre guide sur les circuits en série et en dérivation est une différence de potentiel.

Coulomb et Newton côte à côte

Voici les deux lois :

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Toutes deux sont proportionnelles au produit de deux grandeurs sources et inversement proportionnelles au carré de la distance. La différence tient au signe : la charge existe sous deux signes et la masse sous un seul, donc les forces électriques peuvent être attractives ou répulsives, alors que la gravité est toujours attractive. Leurs intensités diffèrent du facteur d'environ $10^{39}$ calculé plus haut.

Les lois de Newton permettent de passer d'une force de Coulomb à une accélération, comme pour n'importe quelle autre force, et la troisième loi s'applique : dans l'exemple à trois charges, $q_3$ repousse $q_1$ avec les mêmes 2,696 N, bien que $q_1$ porte une charge trois fois plus grande. Notre guide sur le mouvement circulaire montre comment la gravité fournit la force centripète d'une orbite ; dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, c'est l'attraction coulombienne qui joue ce rôle pour l'électron.

Des erreurs qui coûtent des points

• Oublier d'élever la distance au carré. Diviser par 0,30 au lieu de 0,090 dans le premier exemple donne 0,12 N, et non 0,40 N.
• Oublier les conversions. Micro signifie $10^{-6}$, nano signifie $10^{-9}$, et 30 cm valent 0,30 m. Laisser les deux charges en microcoulombs rend la force $10^{12}$ fois trop grande.
• Prendre un signe pour un sens. En tenant compte des signes, le produit des charges $q_2$ et $q_3$ est négatif, ce qui fait penser à « vers la gauche ». Il indique une attraction, et l'attraction vers $q_2$ est orientée vers la droite. L'interpréter comme « vers la gauche » donne environ 0,90 N, et non 4,49 N.
• Additionner les valeurs de forces de sens différents. Les valeurs ne s'additionnent directement que si les forces ont la même direction et le même sens. Des forces opposées sur une même droite se soustraient, et des forces qui forment un angle se décomposent en composantes.
• Confondre E et F. Un champ en N/C est associé à un point de l'espace ; une force en newtons s'exerce sur une charge donnée.

Les deux premières sont des erreurs de calcul ; notre guide sur les erreurs de physique qui sont en réalité des erreurs de calcul traite des préfixes et des puissances de dix.

Transformer la loi en entraînement

Le thème Électrostatique de Physics Zen comprend trois compétences : Charge & loi de Coulomb, Champ électrique et Potentiel électrique. Il fait partie de Premium sur iPhone et Android. L'électrostatique figure aussi dans les parcours A-Level, Abitur et Bac ; nos guides de l'A-Level, de l'Abitur et du Bac physique montrent la place qu'elle y occupe.

Déterminez le sens de chaque force avant de calculer. Vérifiez ensuite la distance : elle est élevée au carré, elle doit être en mètres, et rien d'autre dans la loi de Coulomb n'influence autant le résultat.