Mouvement d'un projectile : équations et exemples résolus, du sol à la falaise

Une balle quitte le sol à 20 m/s, 30 degrés au-dessus de l'horizontale, et retombe à environ 35 m. Lancez la même balle de la même façon depuis le haut d'une falaise de 15 m, et elle retombe à environ 53 m. Beaucoup d'élèves trouvent aussi 35 m pour la falaise, parce qu'ils ont utilisé la formule de portée sans vérifier ce qu'elle suppose. Les équations du mouvement d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme ne sont pas difficiles. Tout l'enjeu est de savoir lesquelles s'appliquent au lancer que vous avez sous les yeux.

Ce guide fixe une seule convention de signes, réunit toutes les équations dans un tableau avec la condition dont chacune a besoin, puis traite le même lancer depuis le sol et depuis une falaise, ainsi qu'un lancer horizontal depuis une table (le cas le plus simple de chute parabolique). Tous les calculs utilisent $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$ et négligent la résistance de l'air.

Décomposer le lancer en deux mouvements

Faites d'abord un schéma. Placez le point de lancement, le sol, et une flèche pour la vitesse initiale $v_0$ à l'angle $\theta$ au-dessus de l'horizontale. Mettez l'origine au point de lancement et prenez le haut comme positif et l'avant comme positif. Projetez ensuite la vitesse initiale :

$$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.$$

À partir de là, le problème devient deux problèmes à une dimension qui partagent la même horloge. Horizontalement, rien ne pousse la balle une fois lâchée : $a_x=0$ et $v_x$ reste égale à $v_{0x}$. Verticalement, la pesanteur donne une accélération constante $a_y=-g$. La section d'OpenStax sur le mouvement d'un projectile construit le sujet exactement sur cette indépendance des mouvements perpendiculaires, la résistance de l'air étant négligée. Le cadre du cours AP Physics 1 le dit en une phrase : le mouvement d'un projectile est un mouvement à deux dimensions, avec une accélération nulle dans une direction et une accélération constante non nulle dans l'autre (College Board, AP Physics 1 CED, thème 1.5).

Si la décomposition elle-même vous paraît encore fragile, notre guide sur la cinématique couvre le travail à une dimension à accélération constante que chaque axe utilise.

Quelle équation est valable ici ?

Quatre équations décrivent n'importe quel projectile dans ce modèle. Trois autres sont des raccourcis qui en découlent, et chaque raccourci porte une condition facile à oublier.

Équation	Ce qu'elle donne	Valable quand
$x=v_{0x}t$	position horizontale	toujours (sans résistance de l'air)
$y=y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2$	hauteur à l'instant $t$	toujours
$v_x=v_{0x}$	vitesse horizontale	toujours
$v_y=v_{0y}-gt$	vitesse verticale	toujours
$T=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$	durée de vol	retombe à la même hauteur que le départ
$H=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$	hauteur maximale	mesurée au-dessus du point de lancement ; valable pour toute hauteur d'arrivée
$R=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$	portée	retombe à la même hauteur que le départ

OpenStax énonce directement les deux limites : le résultat de la durée de vol ne s'applique pas quand le projectile retombe à une altitude différente, et l'équation de la portée n'est valable que pour un départ et un impact sur une surface horizontale. La formule de la hauteur maximale survit à une falaise parce qu'elle n'utilise que le mouvement vertical jusqu'au sommet de l'arc, où $v_y=0$. Elle donne la hauteur dont la balle s'élève au-dessus de son point de départ, pas au-dessus du sol en contrebas.

En éliminant $t$ entre les deux premières lignes, on obtient la trajectoire, une parabole :

$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

C'est une vérification indépendante bien pratique, comme vous le verrez dans l'exemple de la falaise.

Exemple 1 : sol horizontal, 20 m/s et 30°

D'abord les composantes : $v_{0x}=20\cos 30^\circ=17.32\ \mathrm{m/s}$ et $v_{0y}=20\sin 30^\circ=10.0\ \mathrm{m/s}$.

Durée de vol. Le départ et l'arrivée sont à la même hauteur, le raccourci est donc permis :

$$T=\frac{2(10.0)}{9.81}=2.04\ \mathrm{s}.$$

Autre vérification : la balle atteint le sommet quand $v_y=0$, à $t=10.0/9.81=1.02\ \mathrm{s}$. Sur sol horizontal, la descente est le miroir de la montée, donc le total vaut le double, 2,04 s.

Hauteur maximale.

$$H=\frac{(10.0)^2}{2(9.81)}=5.10\ \mathrm{m}.$$

Vérification en remplaçant l'instant du sommet dans l'équation de la hauteur : $y=10.0(1.02)-4.905(1.02)^2=5.10\ \mathrm{m}$.

Portée.

$$R=\frac{(20)^2\sin 60^\circ}{9.81}=35.3\ \mathrm{m}.$$

Vérification sans le raccourci : $x=v_{0x}T=17.32\times 2.04=35.3\ \mathrm{m}$. Deux méthodes, le même résultat, c'est exactement ce qu'il faut avant de poursuivre. Si votre cours utilise $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ (c'est le cas des exercices AP Physics 1 de Physics Zen), les résultats ne changent qu'au troisième chiffre : 2,04 s, 5,10 m et 35,3 m s'arrondissent pareil.

Exemple 2 : le même lancer depuis une falaise de 15 m

Lancez maintenant à la même vitesse de 20 m/s et sous le même angle de 30°, mais depuis le bord d'une falaise haute de 15 m au-dessus d'un sol plat. Avec l'origine au point de lancement, l'arrivée a lieu en $y=-15\ \mathrm{m}$. Le raccourci de la portée est exclu, car la balle retombe plus bas qu'elle n'est partie. Utilisez l'équation générale de la hauteur :

$$-15=10.0\,t-4.905\,t^2.$$

Une fois réarrangée, l'équation devient $4.905t^2-10.0t-15=0$. Les formules des racines d'une équation du second degré donnent

$$t=\frac{10.0\pm\sqrt{(10.0)^2+4(4.905)(15)}}{2(4.905)}=\frac{10.0\pm 19.86}{9.81},$$

donc $t=3.04\ \mathrm{s}$ ou $t=-1.00\ \mathrm{s}$. La racine négative correspond à un instant avant le lancer, où une balle suivant la même parabole serait passée par le niveau du sol en montant. C'est de l'algèbre valide et de la physique sans intérêt : rejetez-la. Remplacez la racine retenue pour confirmer : $10.0(3.044)-4.905(3.044)^2=-15.0$. Le choix de la racine est l'une des erreurs de maths que nous traitons dans les erreurs de physique qui sont en réalité des erreurs de maths.

Portée depuis la falaise.

$$x=17.32\times 3.044=52.7\ \mathrm{m}.$$

Seconde vérification avec l'équation de la trajectoire : en $x=52.7\ \mathrm{m}$, $y=52.7\tan 30^\circ-\dfrac{9.81(52.7)^2}{2(20)^2\cos^2 30^\circ}=30.4-45.4=-15.0\ \mathrm{m}$. La balle est exactement au sol.

Ce que le raccourci aurait coûté. Réutiliser ici $R=v_0^2\sin 2\theta/g$ donne 35,3 m, la réponse du sol horizontal. La vraie portée est de 52,7 m. Le raccourci tombe 17,4 m trop court, soit environ 33 pour cent de la distance réelle, et rien dans la formule ne vous prévient. La hauteur maximale reste de 5,10 m au-dessus du point de lancement, soit 20,1 m au-dessus du sol en contrebas.

Vitesse à l'impact. À l'arrivée, $v_y=10.0-9.81(3.044)=-19.86\ \mathrm{m/s}$ et $v_x$ vaut toujours 17,32 m/s. Donc

$$v=\sqrt{17.32^2+19.86^2}=26.3\ \mathrm{m/s},$$

dirigée à $\arctan(19.86/17.32)=48.9^\circ$ sous l'horizontale. La conservation de l'énergie donne la valeur de la vitesse de façon indépendante : $v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{20^2+2(9.81)(15)}=26.3\ \mathrm{m/s}$. Notre guide sur le travail et l'énergie explique pourquoi ce raccourci fonctionne.

45° reste-t-il le meilleur angle ? Pas depuis une falaise. En gardant 20 m/s et la hauteur de chute de 15 m, nous avons résolu la même équation du second degré pour plusieurs angles :

Angle de lancement	30°	35°	37°	40°	45°
Portée depuis la falaise de 15 m	52,7 m	53,6 m	53,7 m	53,6 m	52,4 m

Le meilleur de ces angles est 37°, et 45° retombe plus court que 30°. Un lancer surélevé offre déjà du temps de vol en plus, donc une composante horizontale plus rapide et plus tendue rapporte davantage.

Exemple 3 : une balle qui roule hors d'une table

Une balle roule hors d'une table haute de 0,90 m à 3,0 m/s. Ici $\theta=0$, donc $v_{0x}=3.0\ \mathrm{m/s}$ et $v_{0y}=0$. Là encore, la hauteur d'arrivée diffère de celle du départ : seules les équations générales s'appliquent.

Durée de chute. Avec $v_{0y}=0$, l'équation de la hauteur devient $-0.90=-4.905t^2$ :

$$t=\sqrt{\frac{2(0.90)}{9.81}}=0.428\ \mathrm{s}.$$

C'est la même durée de chute que pour une balle lâchée verticalement depuis le bord de la table. La vitesse horizontale ne ralentit pas la chute.

Où elle retombe. $x=3.0\times 0.428=1.29\ \mathrm{m}$ du pied de la table. La page de LibreTexts sur le mouvement d'un projectile traite le lancer horizontal depuis une hauteur de la même manière, avec une durée de chute $\sqrt{2H/g}$.

Vitesse et angle à l'impact. $v_y=-9.81(0.428)=-4.20\ \mathrm{m/s}$, donc

$$v=\sqrt{3.0^2+4.20^2}=5.16\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=\arctan\frac{4.20}{3.0}=54.5^\circ$$

sous l'horizontale. La conservation de l'énergie confirme : $\sqrt{3.0^2+2(9.81)(0.90)}=5.16\ \mathrm{m/s}$.

Deux exercices d'entraînement, avec réponses

1. Sol horizontal. Un ballon est frappé à 15 m/s, à 60° au-dessus d'un sol horizontal. Trouvez la durée de vol, la hauteur maximale et la portée. Réponses : $v_{0y}=13.0\ \mathrm{m/s}$, $T=2.65\ \mathrm{s}$, $H=8.60\ \mathrm{m}$, $R=19.9\ \mathrm{m}$. Les trois raccourcis sont permis ici ; vérifiez la portée avec $v_{0x}T=7.5\times 2.65$.

2. Lancer horizontal. Une pierre est lancée horizontalement à 12 m/s depuis un rebord situé à 20 m au-dessus de l'eau. Combien de temps reste-t-elle en l'air, à quelle distance tombe-t-elle, et à quelle vitesse arrive-t-elle ? Réponses : $t=\sqrt{2(20)/9.81}=2.02\ \mathrm{s}$, $x=24.2\ \mathrm{m}$, $v=\sqrt{12^2+2(9.81)(20)}=23.2\ \mathrm{m/s}$ à $58.8^\circ$ sous l'horizontale. Aucun raccourci des lignes du sol horizontal ne s'applique.

S'entraîner jusqu'à ce que la décomposition devienne automatique

Les projectiles apparaissent tôt dans tous les grands cours : AP Physics 1 les place dans l'Unit 1, et notre guide AP Physics 1 montre où se situe la cinématique dans un plan de révision complet. La méthode ci-dessus ne change pas d'un examen à l'autre ; seuls $g$ et les valeurs changent.

Le thème Cinématique de Physics Zen, gratuit de bout en bout sur iPhone et Android, comprend une compétence sur les projectiles avec de nouvelles vitesses, de nouveaux angles et de nouvelles hauteurs à chaque fois, une vérification instantanée et une solution détaillée après chaque réponse. Faites-en quelques-uns, et avant chacun d'eux posez-vous la question du tableau : cette balle retombe-t-elle à la hauteur d'où elle est partie ? Sinon, laissez les raccourcis de côté et calculez d'abord la durée de chute.