Principe d'Archimède : comprendre la poussée avec des exemples

Enfoncez une bouteille vide et fermée sous la surface d'une piscine. Votre main sent qu'elle pousse en retour. Lâchez-la : elle remonte jusqu'à ce qu'une partie seulement reste sous l'eau. Jetez ensuite une petite clé métallique dans la même piscine. Elle coule, mais l'eau exerce encore une force vers le haut sur elle. La différence est de savoir si cette force peut compenser le poids de l'objet.

Le principe d'Archimède donne l'intensité de cette force : la poussée est égale au poids du fluide déplacé par l'objet. Il s'applique aux objets qui flottent, à ceux qui coulent et à ceux qu'on maintient sous l'eau. Le calcul change selon la part immergée de l'objet. Dans les exercices de flottabilité, l'erreur la plus fréquente consiste à utiliser tout son volume alors qu'une partie seulement déplace du fluide.

Dans les exemples, nous prendrons une eau de masse volumique $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ et une accélération de la pesanteur $9.81\ \mathrm{m/s^2}$. Ce sont des valeurs arrondies pour le modèle. Nous supposerons que la masse volumique de l'eau est uniforme, que les objets n'absorbent pas l'eau et ne changent pas de volume. Les exemples sont à l'équilibre, sauf quand on parle explicitement de lâcher l'objet.

Pourquoi la force est-elle dirigée vers le haut ?

L'eau appuie sur toutes les faces d'un objet immergé. La pression augmente avec la profondeur : l'eau pousse donc plus fort sur la face inférieure que sur la face supérieure. Dans une configuration simple et symétrique, les poussées horizontales se compensent et il reste une force résultante vers le haut. La section d'OpenStax sur la flottabilité développe cette image fondée sur la pression et énonce le principe d'Archimède pour une immersion partielle ou complète.

On peut voir le même résultat autrement. Retirez mentalement l'objet et remettez à sa place l'eau qu'il déplaçait. Cette eau serait soutenue par la pression de l'eau autour d'elle. Replacez l'objet : l'eau environnante fournit toujours le même soutien vers le haut au volume occupé. La force ascendante est donc égale au poids de l'eau déplacée. Le poids propre de l'objet détermine si ce soutien suffit à le maintenir, pas si le soutien existe.

Dans un fluide de masse volumique uniforme, le fluide déplacé a pour masse $\rho_{\mathrm{fluid}}V_{\mathrm{displaced}}$. Multipliez-la par $g$ pour obtenir son poids :

$$F_{\mathrm{b}}=\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{displaced}}$$

Les unités vérifient la formule : $(\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm{m^3})=\mathrm{kg\,m/s^2}=\mathrm{N}$. La poussée est une force en newtons, pas une masse en kilogrammes. La démonstration du principe d'Archimède à l'UC Santa Barbara présente la formule et compare la baisse de lecture d'une balance à l'eau recueillie lorsqu'on immerge une sphère.

Quel volume faut-il mettre dans la formule ?

Utilisez le volume de fluide déplacé. Il correspond exactement au volume de la partie de l'objet située dans le fluide, à condition que le fluide ne puisse pas le traverser.

• Pour un objet solide entièrement sous l'eau, le volume déplacé est égal à son volume extérieur total.
• Pour un objet qui flotte avec une partie hors de l'eau, le volume déplacé n'est que son volume immergé.
• Pour un objet qu'on descend dans l'eau, le volume déplacé augmente à mesure qu'il entre dans l'eau, jusqu'à l'immersion complète.

La formule ne demande ni la masse ni la masse volumique de l'objet pour calculer directement la poussée. Ces grandeurs deviennent utiles quand on compare la poussée au poids ou quand on cherche la position d'équilibre d'un objet flottant. Tracez la ligne d'eau, puis ne prenez que le volume situé en dessous.

Exemple résolu : un objet qui coulerait, maintenu sous l'eau

Prenez un objet compact de masse $1.0\ \mathrm{kg}$ et de volume extérieur $0.5\ \mathrm{L}=0.0005\ \mathrm{m^3}$. Descendez-le entièrement dans l'eau, suspendu au crochet fin d'une balance, sans le laisser toucher le fond. Nous négligeons la faible poussée de l'air quand nous appelons son poids dans l'air $mg$.

Son poids vaut :

$$W=mg=(1.0)(9.81)=9.81\ \mathrm{N}$$

L'objet étant entièrement immergé, il déplace $0.0005\ \mathrm{m^3}$ d'eau. La poussée vaut :

$$F_{\mathrm{b}}=(1000)(9.81)(0.0005)=4.905\ \mathrm{N}$$

La gravité tire toujours vers le bas avec $9.81\ \mathrm{N}$. L'eau pousse vers le haut avec $4.905\ \mathrm{N}$. La balance fournit le complément de force vers le haut. Sa lecture est donc :

$$T=W-F_{\mathrm{b}}=9.81-4.905=4.905\ \mathrm{N}$$

Cette lecture est le poids apparent de l'objet suspendu sous l'eau. La leçon de la NASA sur la poussée effectue la même soustraction de forces avec d'autres unités. L'objet n'a pas perdu de masse : l'eau soutient une partie de son poids. Si vous le décrochez, son poids dépasse la poussée et il accélère vers le bas. S'il atteint le fond, celui-ci ajoute une force de contact ; l'équation de l'objet suspendu ne décrit alors plus tout le bilan des forces.

Dessinez les forces avant de conclure qu'il flotte

La méthode du bilan des forces est particulièrement utile ici. Dessinez seulement les forces qui agissent sur l'objet. Pour l'objet suspendu, dessinez le poids $W$ vers le bas, la poussée $F_{\mathrm{b}}$ vers le haut et la tension $T$ de la balance vers le haut. À l'équilibre, $T+F_{\mathrm{b}}-W=0$. Si la balance libère l'objet, effacez $T$ et appliquez la deuxième loi de Newton à la force résultante qui reste.

Un objet qui flotte librement et reste au repos n'est soutenu ni par une balance ni par le fond. Seuls le poids et la poussée se compensent :

$$F_{\mathrm{b}}=W$$

Cette égalité résulte de l'équilibre. Elle ne signifie pas que l'eau « connaît » à l'avance le poids de l'objet. L'objet se déplace jusqu'à ce que sa partie immergée déplace assez d'eau pour égaler son poids. Une charge supplémentaire fait descendre plus bas un objet flottant ; une charge moindre le fait remonter. Notre guide des lois de Newton explique pourquoi une résultante nulle correspond au repos ou à un mouvement uniforme, alors qu'une force non équilibrée change le mouvement.

Exemple résolu : quelle fraction d'un bloc est immergée ?

Considérez un bloc fermé de volume total $1.0\ \mathrm{L}=0.001\ \mathrm{m^3}$ et de masse volumique moyenne $600\ \mathrm{kg/m^3}$. Sa masse est $(600)(0.001)=0.6\ \mathrm{kg}$ ; son poids vaut donc :

$$W=(0.6)(9.81)=5.886\ \mathrm{N}$$

Laissez-le flotter librement. Au repos, l'eau déplacée doit peser $5.886\ \mathrm{N}$. Résolvons pour le volume d'eau :

$$V_{\mathrm{displaced}}=\frac{W}{\rho_{\mathrm{water}}g} =\frac{5.886}{(1000)(9.81)} =0.0006\ \mathrm{m^3}=0.6\ \mathrm{L}$$

Ainsi, $0.6/1.0=0.60$, soit 60 pour cent du volume du bloc, est immergé. Les 40 pour cent restants se trouvent au-dessus de la surface dans ce modèle idéal. On retrouve directement ce résultat avec le rapport des masses volumiques :

$$\frac{V_{\mathrm{submerged}}}{V_{\mathrm{object}}} =\frac{\rho_{\mathrm{object,average}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}} =\frac{600}{1000}=0.60$$

Ce raccourci suppose un objet flottant librement à l'équilibre, un fluide uniforme et une masse volumique moyenne de l'objet calculée à partir de son volume extérieur. Ce n'est pas une formule pour la fraction immergée d'un objet qui coule mais reste retenu par une corde, ni pour un objet posé au fond. Dans ce cas simple, le rapport ne peut pas non plus dépasser un pour un objet flottant librement à l'équilibre : si sa masse volumique moyenne dépasse celle du fluide, il ne peut pas déplacer assez de ce fluide tout en restant à flot.

Enfoncez maintenant le même bloc complètement sous l'eau et maintenez-le. Il déplace la totalité de $1.0\ \mathrm{L}$ ; la poussée devient $(1000)(9.81)(0.001)=9.81\ \mathrm{N}$. Son poids reste $5.886\ \mathrm{N}$. Avant d'appliquer la force qui le retient, la résultante serait $9.81-5.886=3.924\ \mathrm{N}$ vers le haut. Voilà pourquoi il faut pousser vers le bas pour le garder immergé. Ne prenez pas $9.81\ \mathrm{N}$ comme poussée lorsqu'il flotte librement : à flot, la poussée vaut $5.886\ \mathrm{N}$, car seuls $0.6\ \mathrm{L}$ sont immergés.

Le thème des fluides de Physics Zen donne une place spécifique au volume déplacé et au bilan des forces dans le cours. Convertissez d'abord le volume en mètres cubes, puis comparez les forces en newtons.

Deux petits exercices

Problème 1. Un objet rigide entièrement immergé déplace $0.002\ \mathrm{m^3}$ d'eau. Avec les valeurs du modèle ci-dessus, trouvez sa poussée. La réponse est $(1000)(9.81)(0.002)=19.62\ \mathrm{N}$ vers le haut. Sa masse est inutile à cette étape. Il vous la faudrait pour savoir s'il remonte après avoir été lâché.

Problème 2. Un objet fermé qui flotte librement a une masse volumique moyenne de $750\ \mathrm{kg/m^3}$ dans l'eau modélisée. Quelle fraction de son volume est immergée ? La réponse est $750/1000=0.75$, soit 75 pour cent. Si son volume extérieur était $2.0\ \mathrm{L}$, le volume immergé serait $1.5\ \mathrm{L}$. Vérifiez par la masse : $(750)(0.002)=1.5\ \mathrm{kg}$, égale à la masse de $1.5\ \mathrm{L}$ de l'eau du modèle.

Erreurs courantes à repérer

Utiliser le volume total pour un objet partiellement flottant. Seule la partie immergée déplace du liquide. Trouvez cette partie à partir de l'équilibre au lieu de supposer qu'elle représente tout le bloc.

Croire qu'un objet qui coule ne subit pas de poussée. Sa force vers le haut peut être importante ; elle ne suffit simplement pas à compenser son poids lorsqu'on le lâche.

Confondre poids apparent et modification de la gravité. Le poids de l'objet reste $mg$. La balance indique moins parce que l'eau fournit une autre force vers le haut.

Mélanger litres et mètres cubes. Un litre vaut $0.001\ \mathrm{m^3}$. Convertissez avant de multiplier par une masse volumique exprimée par mètre cube.

Employer le rapport des densités hors des conditions de flottement libre. Un objet maintenu sous l'eau, un objet soutenu par le fond ou un fluide dont la masse volumique change exigent leur vrai bilan des forces. Dessinez le schéma et revenez au volume déplacé.

Questions fréquentes

La poussée augmente-t-elle avec la profondeur ?

Dans ce modèle à masse volumique constante, déplacer plus profondément un objet rigide déjà entièrement immergé ne change pas le volume déplacé : $\rho gV$ reste donc identique. Pendant que l'objet entre dans l'eau, la poussée augmente parce que son volume immergé grandit. D'autres conditions, comme un objet compressible ou un fluide dont la masse volumique varie avec la profondeur, demandent une autre analyse.

Pourquoi un navire lourd flotte-t-il alors qu'une petite clé métallique coule ?

Le poids seul n'est pas le critère. La coque du navire renferme de l'espace et présente, en comptant ce volume enfermé, une masse volumique moyenne assez faible pour déplacer une eau de poids égal au sien avant que la ligne d'eau n'atteigne le haut. La masse volumique moyenne d'une clé compacte dépasse celle de l'eau ; une immersion complète ne lui fournit donc pas assez de poussée pour équilibrer son poids.

L'eau déplacée est-elle la même que l'eau qui déborde ?

Le volume déplacé est le volume dont l'objet exclut l'eau. Dans un récipient à trop-plein, une quantité égale peut déborder. Dans une piscine, le niveau monte à la place. La poussée dépend du poids du fluide exclu, pas du fait de recueillir ou non l'eau débordée.