Induction électromagnétique : loi de Faraday et exemples corrigés

Approchez un aimant d'une bobine de fil et un appareil de mesure relié à la bobine peut dévier. Immobilisez l'aimant : la déviation disparaît. Éloignez-le : la déviation change de sens. La bobine reste dans un champ magnétique quand l'aimant est immobile. Ce qui a changé, c'est le flux magnétique à travers la bobine.

L'induction électromagnétique transforme une variation de ce flux en force électromotrice, souvent abrégée f.é.m. La loi de Faraday indique la valeur de la f.é.m. induite. La loi de Lenz en indique le sens. Les deux deviennent plus simples à appliquer si vous distinguez trois questions : qu'est-ce qui traverse la spire, comment cette traversée varie-t-elle, et existe-t-il un trajet fermé pour le courant ?

Le flux magnétique mesure le champ à travers une surface

Imaginez une surface plane tendue sur une spire de fil. Le flux magnétique mesure le champ magnétique qui traverse cette surface, en tenant compte de son orientation. Sa définition générale est

$$\Phi_B=\int_A\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf n}\,dA.$$

Le symbole $\mathbf B$ représente le champ magnétique, $dA$ un petit élément de surface et $\hat{\mathbf n}$ une normale unitaire choisie, perpendiculaire à la surface. Le produit scalaire signifie que seule compte la composante du champ perpendiculaire à la surface. Choisissez vers quel côté de la spire pointe la normale et gardez ce choix ; si la spire tourne, sa normale tourne avec elle. Inverser la normale inverse les signes du flux et de la f.é.m., sans changer le sens physique du courant.

Pour une spire plane de surface $A$ dans un champ uniforme de valeur $B$, l'intégrale devient

$$\Phi_B=BA\cos\theta,$$

où $\theta$ est l'angle entre le champ et la normale à la surface. Si le champ traverse la spire perpendiculairement, $\theta=0^\circ$ et la valeur absolue du flux est $BA$. Si le champ est parallèle au plan de la spire, $\theta=90^\circ$ et le flux est nul. N'utilisez pas directement l'angle entre le champ et le plan sans le convertir.

L'unité SI est le weber, Wb : $1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$. Le flux se rapporte à une spire. Pour une bobine de $N$ spires identiques traversées chacune par le même flux, le flux total à travers la bobine vaut $N\Phi_B$. Le traitement de la loi de Faraday par OpenStax donne la définition générale du flux et sa forme simplifiée pour un champ uniforme.

Un premier exemple de flux magnétique

Supposons une spire plane de surface $0.040\ \mathrm{m^2}$ dans un champ uniforme de $0.30\ \mathrm T$. Le champ fait un angle de $60^\circ$ avec la normale à la spire. Choisissez la normale de façon que le flux soit positif :

$$\Phi_B=(0.30)(0.040)\cos60^\circ =0.0060\ \mathrm{Wb}.$$

Orientez ensuite la normale de cette même spire dans le sens du champ : le flux devient $0.012\ \mathrm{Wb}$, même si la valeur du champ et la surface n'ont pas changé. Une variation d'orientation peut donc induire une f.é.m. dans un champ constant.

La loi de Faraday mesure la vitesse de variation

Pour $N$ spires identiques traversées chacune par le même flux, la loi de Faraday s'écrit

$$\mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

La f.é.m. $\mathcal E$ se mesure en volts. Un weber par seconde vaut un volt. Sa valeur absolue augmente si le flux change plus vite et elle est proportionnelle au nombre de spires. La normale choisie définit également le sens positif de parcours autour de la spire par la règle de la main droite : pointez le pouce dans le sens de la normale, vos doigts repliés indiquent le sens positif. Le signe moins exprime la règle de Lenz ; il ne demande pas de donner une valeur absolue négative.

Si un exercice ne donne que le flux initial, le flux final et l'intervalle de temps, calculez la f.é.m. induite moyenne :

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}}=-N\frac{\Phi_{B,\mathrm{final}}-\Phi_{B,\mathrm{initial}}}{\Delta t}.$$

Cette moyenne ne permet pas de connaître la f.é.m. à chaque instant, sauf si le flux varie à vitesse constante. Un champ variable n'est pas non plus la seule façon de changer le flux. La surface ou l'angle de la spire peut varier tandis que $B$ reste constant. Qu'un champ change quelque part hors de la spire ne suffit pas en soi : c'est le flux à travers la spire choisie qui doit changer.

Exemple corrigé : f.é.m. induite moyenne

Une bobine compte 80 spires, chacune entourant une surface de $0.025\ \mathrm{m^2}$. Un champ uniforme perpendiculaire au plan des spires passe de $0.10\ \mathrm T$ à $0.35\ \mathrm T$ en $0.20\ \mathrm s$. Choisissons la normale positive dans le sens du champ. La variation de flux par spire est

$$\Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.025)(0.35-0.10) =0.00625\ \mathrm{Wb}.$$

La f.é.m. moyenne est alors

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}} =-80\frac{0.00625}{0.20} =-2.5\ \mathrm V.$$

Sa valeur absolue est $2.5\ \mathrm V$. Le signe négatif signifie que, par rapport à la normale positive et au sens positif de parcours choisis, la f.é.m. induite agit dans le sens opposé. Si le champ n'augmentait pas régulièrement, $2.5\ \mathrm V$ resterait la valeur absolue moyenne sur l'intervalle, mais la valeur instantanée pourrait être différente.

Loi de Lenz : s'opposer à la variation, pas au champ

Avant de choisir le sens horaire ou antihoraire, déterminez si le flux initial à travers la spire augmente ou diminue. Le courant induit, si le circuit est fermé, crée un champ magnétique qui s'oppose à cette variation. La section d'OpenStax sur la loi de Lenz relie cette règle de sens à la conservation de l'énergie.

Prenez une spire posée à plat sur une page. Un champ magnétique est dirigé vers l'intérieur de la page et devient plus intense. Le flux vers l'intérieur augmente. Le champ induit par la spire doit pointer vers l'extérieur de la page pour s'opposer à cette augmentation. Repliez les doigts de votre main droite dans le sens du courant en pointant le pouce hors de la page : vue de dessus, le courant est antihoraire.

Gardez maintenant le champ dirigé vers l'intérieur de la page, mais faites-le diminuer. Le champ induit pointe vers l'intérieur de la page pour s'opposer à la perte de flux. La règle de la main droite donne un courant horaire. Dans les deux cas, le champ initial pointe dans le même sens. C'est sa variation qui fixe le sens induit.

Les mêmes étapes s'appliquent à un aimant en mouvement. Précisez quel pôle fait face à la spire et de quel côté vous l'observez, déterminez la variation de flux, puis utilisez la règle de la main droite. Répondre seulement « horaire » est incomplet si le côté d'observation n'est pas indiqué.

Une f.é.m. peut exister sans courant qui circule

Une f.é.m. induite tend à faire circuler des charges autour de la spire. Un courant de conduction circulant durablement nécessite un trajet conducteur fermé. Coupez le fil : la variation du flux produit toujours une f.é.m. induite, mais les charges ne peuvent pas continuer à circuler à travers l'ouverture. Si la spire est fermée et que sa résistance est connue, un modèle résistif simple donne la valeur du courant $I=|\mathcal E|/R$. La f.é.m. seule ne fixe pas le courant : la résistance compte aussi. Notre guide des circuits en série et en parallèle développe cet aspect du calcul.

Un générateur exploite ce principe en faisant tourner une bobine par rapport à un champ magnétique, ce qui modifie l'angle puis le flux. Une spire immobile dans un champ uniforme inchangé conserve un flux constant et n'a pas de f.é.m. induite selon la loi de Faraday, même si le champ magnétique la traverse. Un conducteur mobile peut demander une représentation plus détaillée du circuit, mais la règle du flux dans une boucle fermée est le bon point de départ pour ces exemples.

Ne confondez pas la f.é.m. induite avec la différence de potentiel électrostatique d'un problème de charges immobiles. Les deux se mesurent en volts, mais une variation du flux magnétique peut entraîner des charges autour d'un trajet fermé. Pour comparer avec le champ statique, consultez potentiel électrique et champ électrique.

Trois exercices avec solutions

1. Surface variable dans un champ constant. Une spire conductrice rectangulaire unique est perpendiculaire à un champ uniforme de $0.40\ \mathrm T$. Sa surface intérieure passe de $0.030\ \mathrm{m^2}$ à $0.010\ \mathrm{m^2}$ en $0.50\ \mathrm s$. Quelle est la valeur absolue de la f.é.m. moyenne ? Choisissez la normale dans le sens du champ. La variation de flux est $0.40(0.010-0.030)=-0.0080\ \mathrm{Wb}$. Donc $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=0.0080/0.50=0.016\ \mathrm V$. Le champ est resté constant ; c'est la variation de surface qui a compté.

2. Bobine en rotation. Une bobine de 20 spires, de surface $0.010\ \mathrm{m^2}$, est placée dans un champ uniforme de $0.50\ \mathrm T$. En $0.10\ \mathrm s$, sa normale passe d'une direction parallèle au champ à une direction perpendiculaire. Calculez la valeur absolue de la f.é.m. moyenne. Le flux par spire passe de $BA=0.0050\ \mathrm{Wb}$ à zéro. Ainsi $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=20(0.0050)/0.10=1.0\ \mathrm V$. La rotation n'a pas besoin d'être uniforme pour ce résultat moyen.

3. Sens et courant. Vue de dessus, une bobine fermée de 5 spires est traversée par un champ dirigé vers l'extérieur de la page qui devient plus intense. Quel est le sens du courant induit ? Le flux sortant augmente ; le champ induit doit donc pointer vers l'intérieur de la page. La règle de la main droite donne un courant horaire, vu de dessus. Si la bobine est ouverte, il existe toujours une f.é.m. induite mais aucun courant ne circule à travers l'ouverture.

Pour vous exercer au calcul du flux et de la f.é.m. induite, consultez le thème de Physics Zen sur le magnétisme et l'induction. L'induction figure au programme de l'A-level britannique comme de l'Abitur allemand ; nos guides de préparation à la physique A-level et à l'Abitur de physique montrent où la placer parmi les autres chapitres sur les champs et l'électricité.