Le couple expliqué intuitivement : leviers, angles et équilibre

Poussez une porte près de sa charnière, puis poussez aussi fort sur la poignée. La force est la même, mais l’effet de rotation est très différent. Une force décrit une poussée ou une traction. Le couple décrit la tendance de cette poussée ou traction à faire tourner un objet autour d’un pivot choisi.

Trois questions déterminent la réponse : où est le pivot, où la force s’applique-t-elle et dans quelle direction pointe-t-elle ? Commencez par ces questions et la formule du couple devient une description concise de l’image.

Une force a besoin d’espace pour faire tourner un objet

Imaginez que vous regardiez d’en haut une clé horizontale. Son extrémité gauche serre un boulon. Vous tirez l’extrémité droite vers le haut, perpendiculairement au manche. Le boulon est le pivot, et le manche donne à votre force un avantage pour la rotation.

Rapprochez votre main à mi-chemin du boulon en conservant la même force. L’effet de rotation est divisé par deux. Tirez directement le long du manche, vers le boulon ou en vous en éloignant, et l’effet de rotation disparaît : la ligne de la force passe par le pivot.

Cette dernière expression est utile. Prolongez la flèche de la force dans les deux sens pour former une droite imaginaire. C’est sa ligne d’action. La distance perpendiculaire entre le pivot et cette droite est le bras de levier, également appelé bras de moment.

Plus cette distance perpendiculaire est grande, plus le couple est important pour une même force. Un long outil n’aide que si la direction de la force exploite efficacement sa longueur.

Deux formules équivalentes du couple

Pour une force agissant dans le plan perpendiculaire à un axe de rotation fixe, la valeur du couple est :

$$\tau = rF\sin\theta$$

Ici, $r$ est la distance entre le pivot et le point d’application de la force, $F$ est l’intensité de la force et $\theta$ est l’angle entre le vecteur position dirigé vers l’extérieur et le vecteur force.

Vous pouvez aussi utiliser le bras de levier perpendiculaire $d_\perp$ :

$$d_\perp = r\sin\theta$$ $$\tau = Fd_\perp$$

Ces deux méthodes donnent le même calcul. L’une utilise toute la longueur du vecteur position et un angle. L’autre utilise directement la distance perpendiculaire. Ne multipliez pas de nouveau par le sinus si vous disposez déjà du bras de levier perpendiculaire.

Le chapitre d’OpenStax sur le couple donne la forme vectorielle $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$. Pour un schéma plan, on peut généralement travailler avec les valeurs et un signe horaire ou antihoraire au lieu de calculer un produit vectoriel composante par composante.

L’unité est le newton-mètre, écrit $\mathrm{N\,m}$. Il a la même dimension que le joule, mais le couple n’est pas une énergie. Conserver l’unité newton-mètre permet de distinguer les deux grandeurs.

Exemple détaillé : une traction perpendiculaire

Une clé mesure $0.25\ \mathrm{m}$ du centre du boulon à votre main. Vous appliquez une force de $40\ \mathrm{N}$ à angle droit par rapport au manche.

Comme $\theta = 90^\circ$, son sinus vaut 1 :

$$\tau = (0.25)(40)\sin 90^\circ = 10\ \mathrm{N\,m}$$

La même force à $0.10\ \mathrm{m}$ donne :

$$\tau = (0.10)(40) = 4\ \mathrm{N\,m}$$

Vous pouvez maintenant expliquer le résultat avant de calculer : la première position est 2,5 fois plus éloignée du pivot, elle produit donc un couple 2,5 fois plus grand.

C’est pour cette raison que les poignées de porte sont placées loin des charnières. Cet objet courant rend l’équation visible. Il ne prouve pas qu’une force plus grande produit toujours davantage de rotation : la distance et la direction comptent aussi.

Exemple détaillé : une traction inclinée

Gardez la même clé de $0.25\ \mathrm{m}$ et la même traction de $40\ \mathrm{N}$, mais appliquez la force à $30^\circ$ par rapport à la direction du manche vers l’extérieur.

$$\tau = (0.25)(40)\sin 30^\circ = 5\ \mathrm{N\,m}$$

Seule la composante perpendiculaire au manche contribue à l’effet de rotation :

$$F_\perp = 40\sin 30^\circ = 20\ \mathrm{N}$$

Multiplier cette composante par la longueur du manche donne le même résultat : $0.25(20) = 5\ \mathrm{N\,m}$.

La composante le long du manche peut encore exercer une force sur l’objet ou son support. Elle ne produit simplement aucun couple autour du boulon. Un couple nul ne signifie pas une force nulle.

Regardez toujours comment l’angle est tracé. Si le schéma donne un angle par rapport à une droite perpendiculaire au manche, cet angle n’est pas directement $\theta$. Il faudra peut-être utiliser l’angle complémentaire, ou de façon équivalente un cosinus. Mémoriser « toujours utiliser le sinus » sans identifier les vecteurs conduit à une mauvaise réponse malgré une formule correcte.

Les couples horaires et antihoraires s’opposent

Pour un problème plan, choisissez un sens de rotation positif. Le sens antihoraire est un choix courant, le sens horaire devient alors négatif. Les deux conventions fonctionnent si vous les appliquez avec cohérence.

Supposons que deux forces agissent sur une poutre horizontale autour d’un pivot central :

• Une force de $30\ \mathrm{N}$ dirigée vers le bas agit à $0.40\ \mathrm{m}$ à gauche.
• Une force de $20\ \mathrm{N}$ dirigée vers le bas agit à $0.30\ \mathrm{m}$ à droite.

La force de gauche tend à faire tourner la poutre dans le sens antihoraire. Celle de droite tend à la faire tourner dans le sens horaire. Leurs couples signés sont :

$$\tau_\mathrm{left} = +(30)(0.40) = +12\ \mathrm{N\,m}$$ $$\tau_\mathrm{right} = -(20)(0.30) = -6\ \mathrm{N\,m}$$

Donc :

$$\tau_\mathrm{net} = 12 - 6 = +6\ \mathrm{N\,m}$$

L’effet de rotation résultant est antihoraire. N’attribuez pas le signe selon que la force pointe vers le haut ou vers le bas. Ici, les deux forces pointent vers le bas, mais elles font tourner la poutre dans des sens opposés parce qu’elles agissent de part et d’autre du pivot.

L’équilibre impose des conditions sur les forces et les couples

Une poutre au repos doit satisfaire à la fois l’équilibre de translation et l’équilibre de rotation :

$$\sum \mathbf{F} = 0 \qquad \sum \tau = 0$$

Prenez une poutre horizontale légère, soutenue par un pivot en son centre. Suspendez une masse de $3.0\ \mathrm{kg}$ à $0.40\ \mathrm{m}$ à gauche. Où faut-il suspendre une masse de $2.0\ \mathrm{kg}$ à droite pour l’équilibrer ?

En calculant les moments autour du pivot :

$$(3.0g)(0.40) - (2.0g)d = 0$$

Les deux poids subissent la même accélération gravitationnelle, donc $g$ se simplifie :

$$d = \frac{3.0(0.40)}{2.0} = 0.60\ \mathrm{m}$$

La masse la plus petite a besoin d’un bras de levier plus long. Le support doit aussi exercer vers le haut une force égale aux deux poids, soit environ $49.1\ \mathrm{N}$ lorsque $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$.

Cette force de soutien ne produit aucun couple autour du pivot, car elle agit à travers lui. Choisir ce point simplifie le calcul des couples sans faire comme si la force de soutien n’existait pas.

Si le poids propre de la poutre compte, incluez-le au centre de masse de la poutre. Une poutre uniforme soutenue en son centre ne subit aucun couple gravitationnel autour de ce support. Un support décentré change cette conclusion. Commencez par un diagramme de corps libre afin qu’aucune force ne disparaisse discrètement.

Le couple modifie la rotation au lieu d’en fixer la vitesse

Pour un solide tournant autour d’un axe fixe avec un moment d’inertie constant $I$, l’équivalent en rotation de la deuxième loi de Newton est :

$$\sum \tau = I\alpha$$

L’accélération angulaire $\alpha$ mesure la rapidité avec laquelle la vitesse angulaire change. Un même couple résultant donne une accélération angulaire plus faible lorsque le moment d’inertie est plus grand.

Par exemple, un couple résultant de $6\ \mathrm{N\,m}$ agissant sur un corps avec $I = 2\ \mathrm{kg\,m^2}$ donne :

$$\alpha = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{rad/s^2}$$

Dans ces conditions, un couple résultant nul signifie une accélération angulaire nulle. Un objet déjà en rotation peut continuer à tourner à vitesse angulaire constante. Comparez avec les lois de Newton : une force résultante nulle n’exige pas non plus une vitesse nulle.

Le couple diffère également de la force dirigée vers l’intérieur étudiée dans le mouvement circulaire. Une force dirigée vers le centre a un couple nul autour de ce centre, mais elle peut changer la direction de la vitesse et maintenir un objet sur une trajectoire circulaire.

Une liste de contrôle fiable pour le couple

Choisissez le pivot et dessinez toutes les forces extérieures. Identifiez la ligne d’action de chaque force, puis mesurez le bras de levier perpendiculaire ou utilisez $r\sin\theta$. Convertissez les centimètres en mètres avant de multiplier. Attribuez un signe selon le sens dans lequel chaque force tend à faire tourner l’objet, puis seulement additionnez les couples.

Pour l’équilibre, vérifiez les forces ainsi que les couples. Pour l’accélération angulaire, vérifiez les hypothèses d’axe fixe avant d’utiliser $\sum\tau = I\alpha$. Enfin, testez le cas limite : une force passant par le pivot doit produire un couple nul.

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