自由物体図の描き方：ミスを防ぐ5つの手順

初歩的な力学では、式を書く前に答えの誤りが決まってしまうことがよくあります。力の向きを間違える、必要な力を描き忘れる、そもそも力ではないものを矢印に加えるといったミスです。図を直せば、後の計算もたいてい整理できます。

自由物体図は単純な道具です。対象の物体を1つだけ切り出し、その物体に働くすべての力を矢印で示します。役立つのは、この方法が判断をはっきりさせるからです。ニュートンの運動の第2法則を使う前に、対象を決め、力の名前と作用元を確認し、向きを定めなければなりません。

このガイドでは5つの手順を示し、基本的な例を解き、試験でよく見られるミスを挙げます。運動の第2法則は知っていることを前提とします。先に復習したい場合は、自由物体図を文脈の中で紹介するニュートンの法則のガイドを読んでください。

手順1：対象の物体を決め、単独で描く

「対象の物体」が何かを正確に決めます。斜面上の箱、箱と斜面を合わせたもの、箱を押す人は、3つの異なる系であり、自由物体図もそれぞれ異なります。何を選んだか書いておきましょう。

次に、物体だけを描きます。点や小さな箱で十分です。床、ロープ、壁など、対象に接しているものは取り除きます。それらは、対象に及ぼす力としてだけ図に現れます。

自由物体図の「自由」はここから来ます。物体を周囲から切り離すことで、すべての相互作用を明示しなければならなくなります。箱の下に斜面を残して描くと、斜面が箱を押す力を忘れやすくなります。

手順2：実際に働く力とその作用元をすべて挙げる

接触による力と、場による力を決まった順序で確認すると、漏れを防げます。

重力。 地球の近くにある質量を持つ物体には、地球による重力 $mg$ が鉛直下向きに働きます。物体が動いていなくても働きます。

垂直抗力。 物体が接する面は、面に垂直で、面から離れる向きに物体を押します。床なら上、壁なら横、斜面なら斜面に垂直な向きです。

摩擦力。 物体が接する粗い面は、面に平行で、滑りや滑ろうとする傾向に逆らう力を及ぼすことがあります。動摩擦力は滑る運動に逆らい、静止摩擦力は、それがなければ起こる動きに逆らいます。

張力。 物体につながったロープ、ひも、ケーブルは、その物体から離れるように、ロープに沿って引っ張ります。ロープが物体を押すことはありません。

外から加える力。 問題に示された押す力や引く力を、指定された角度で描きます。

問題に応じて、ばねの力、抗力、揚力、浮力、電気力、磁気力も考えます。

各力について、何がその力を及ぼしているか名前を挙げてください。「床による垂直抗力」「左のロープによる張力」のように書きます。作用元を言えないなら、その力を図に入れてはいけません。この1つの確認で、多くの架空の力を除けます。

手順3：それぞれの力を物体から、実際の向きに描く

すべての矢印を点から始め、力が働く方向へ向けます。大きな力ほど矢印を長くするとわかりやすくなりますが、必須ではありません。大切なのは向きです。

各矢印には、後の式でも使う記号を付けます。$W$ または $mg$、$N$、$f$、$T$、$F$ などです。同じ種類の力が2つあれば、$T_1$ と $T_2$、$N_{\text{floor}}$ と $N_{\text{wall}}$ のように区別します。

対象の物体がほかのものに及ぼす力を描いてはいけません。箱は床を下向きに押しますが、その力は床に働くので、箱の図ではなく床の図に描きます。ニュートンの第3法則で対になる力は、異なる物体に働くため、同じ自由物体図には決して現れません。

手順4：運動に沿って座標軸を選ぶ

図の横に小さな2本の座標軸を描きます。一方を加速度の向き、または物体が面に沿って動くならその面の向きに合わせます。水平な床では通常の水平・鉛直方向、斜面では斜面に沿う方向と垂直な方向です。

理由は実用的です。斜面に沿う軸を選ぶと、垂直抗力と摩擦力はちょうど軸に沿い、成分に分ける必要があるのは重力だけです。斜面で水平・鉛直の軸を選ぶと、1つではなく3つの力を分解することになり、計算も3倍に増えます。

物体が加速していないなら、どの向きでも使えます。それでも同じ選び方なら、分解する成分を減らせます。

手順5：各軸について運動の第2法則を書く

図を軸ごとに読み取ります。最初の軸に沿う力の成分を合計し、その軸に沿う $ma$ に等しいとします。もう一方の軸でも同じようにします。軸の負方向を向く力にはマイナスを付けます。加速度のない軸では右辺はゼロです。

これで図の役割は果たされました。式は絵を数式に書き写したもので、そこで新たに力を考え直す必要はありません。図が正しければ、式も正しくなります。

解いたら、結果を図と照らし合わせます。摩擦力が負になれば、描いた矢印と逆向きです。垂直抗力が負なら、面が物体を引っ張る必要があることになりますが、それはできません。物体は面から離れ、モデルが変わったと判断します。

計算例：粗い床の上で押される箱

質量10 kgの箱を、動摩擦係数0.3の床の上で、水平方向に40 Nの力で押します。加速度を求めましょう。

対象は箱です。力は、下向きの重力 $mg$（地球）、上向きの垂直抗力 $N$（床）、運動に逆らう摩擦力 $f$（床）、前向きに加えた力 $F$（押す力）です。矢印は4本です。

軸は、$x$ を押す方向、$y$ を上向きに取ります。鉛直方向には加速しないので、

$$N - mg = 0$$

となり、$N = 98\ \text{N}$ です。水平方向は

$$F - f = ma$$

です。$f = \mu N = 0.3 \times 98 = 29.4\ \text{N}$ なので、$a = (40 - 29.4)/10 = 1.06\ \text{m/s}^2$ です。

摩擦力が垂直抗力に依存し、垂直抗力は鉛直方向の式から求めた点に注目してください。図を見ると、この依存関係がわかります。摩擦力と垂直抗力は、同じ面から生じる2本の矢印です。

計算例：斜面上の物体

角度 $\theta$ の斜面上に物体があります。力は、鉛直下向きの重力 $mg$、斜面に垂直な垂直抗力 $N$、斜面に沿う摩擦力 $f$ です。矢印は3本です。

軸を斜面に沿う方向と、斜面に垂直な方向に取ります。重力は、斜面を下る向きの $mg\sin\theta$ と、斜面に押し付ける向きの $mg\cos\theta$ に分かれます。垂直方向は

$$N - mg\cos\theta = 0$$

です。物体が動摩擦を受けながら斜面を滑り下りる場合、斜面に沿う方向は

$$mg\sin\theta - \mu N = ma$$

となり、$a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$ が得られます。

ここで最も多い誤りは、垂直抗力を鉛直方向に描くことです。垂直抗力は面に垂直なので、斜面上では鉛直方向ではありません。だからこそ $N$ は $mg$ より小さくなります。次に多いのは、成分のサインとコサインを取り違えることです。これは物理ではなく幾何の確認です。物理の問題で起こる数学のミスを扱った記事では、毎回どう確認すればよいかを説明しています。

計算例：ひもにつるされたおもり

おもりがひもにつるされ、上向きに引かれて加速度 $a$ で上昇しています。力は下向きの重力 $mg$ と上向きの張力 $T$、矢印は2本です。鉛直軸を取り、上向きを正とすると、

$$T - mg = ma$$

です。したがって $T = m(g + a)$ です。おもりが下向きに加速するなら、$a$ は負で、$T$ は $mg$ より小さくなります。ひもが緩めば $T$ はゼロとなり、図の矢印は1本だけになります。

力は2つで、方向も1つだけですが、この図は根強い誤りを見つけます。おもりが下へ動くとき、下向きの「運動の力」を付け足す誤りです。運動は力ではありません。重力が張力を上回るためにおもりは下へ動き、その2つの力はすでに図にあります。

試験でよく見られる5つのミス

1. 合力を矢印として追加する。 合力は描いた矢印の和であり、別の力ではありません。追加すると二重に数えることになります。
2. 向心力を矢印として追加する。 円運動では、中心向きの力は、張力や摩擦力など図にある実際の力が担います。円運動のガイドでは、その読み方を示しています。別に「向心力」の矢印を加えないでください。
3. 速度や加速度を力として描く。 どちらも力ではありません。加速度を図に示したいなら、異なる描き方で図の横に置きましょう。
4. 接触を見落とす。 物体に触れる面、ロープ、手はそれぞれ力を及ぼします。描き始める前に物体の周りをたどって、接触を挙げましょう。
5. 斜面で垂直抗力を鉛直に、または摩擦力を面に垂直に描く。 垂直抗力は面に垂直、摩擦力は面に平行です。どちらかを描く前に、この2文を声に出して確認しましょう。

30秒で確認できるチェックリスト

• 対象の物体を1つだけ選び、単独で描いて名前を付ける。
• 地球による重力を鉛直下向きに描く。
• 接する面ごとに、面に垂直な垂直抗力を1本描く。
• 粗い面に平行で、滑りに逆らう摩擦力を描く。
• ロープごとに、物体から離れる向きの張力を描く。
• 加えた力を指定された角度で描く。
• 合力、向心力、速度、加速度を力の矢印にしない。
• 軸を加速度または面に沿わせる。
• 軸ごとに運動の第2法則を1本書き、負方向にはマイナスを付ける。

Physics Zenの運動の法則のトピックで練習しましょう。ニュートンの法則、摩擦力、斜面上の運動では毎回新しい条件が出され、力の式を確認できます。同じ方法を円運動のトピックへ持ち込むと、図によって中心向きの力を正しく捉えられます。

自由物体図は、本当の作業の前に済ませる形式的な手順ではありません。それ自体が本当の作業です。正しく描けば、物理の問題は計算の問題になり、ずっと取り組みやすくなります。