電磁誘導を理解する：ファラデーの法則と計算例

磁石を導線のコイルへ近づけると、つないだ計器の針が振れることがあります。磁石を止めると振れは消え、遠ざけると逆向きに振れます。磁石が止まっている間も、コイルは磁場の中にあります。変わったのはコイルを貫く磁束です。

電磁誘導では、その磁束の変化が起電力を生みます。通常はemfと略します。ファラデーの法則は誘導起電力の大きさを、レンツの法則はその向きを教えます。輪を何が貫くか、その量はどう変わるか、電流が流れる閉じた経路があるか。この3つを分けて考えると使いやすくなります。

磁束は面を貫く磁場を数える

導線で作った1つの輪に、平らなシートを張ると想像してください。磁束は、向きを考慮して、そのシートを通り抜ける磁場を測ります。一般的な定義は

$$\Phi_B=\int_A\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf n}\,dA.$$

です。$\mathbf B$ は磁場、$dA$ はシートの小さな部分、$\hat{\mathbf n}$ はシートに垂直な、選んだ単位法線ベクトルです。内積なので、シートに垂直な磁場の成分だけを数えます。輪のどちら側へ法線を向けるか決め、最後までそろえます。輪が回れば法線も一緒に回ります。法線を逆にすると磁束と起電力の符号は逆になりますが、実際の電流の向きは変わりません。

面積 $A$ の平らな輪が大きさ $B$ の一様な磁場にあるなら、積分は

$$\Phi_B=BA\cos\theta,$$

になります。$\theta$ は磁場と面の法線のなす角です。磁場が輪をまっすぐ貫けば $\theta=0^\circ$ で磁束の大きさは $BA$、磁場が輪の平面に沿えば $\theta=90^\circ$ で磁束はゼロです。磁場と平面のなす角を、そのまま使わないでください。

SI単位はウェーバー、Wbで、$1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$ です。磁束は1つの輪についての量です。同じ磁束を受ける $N$ 巻きのコイルでは、全磁束鎖交数は $N\Phi_B$ です。OpenStaxのファラデーの法則の解説に一般的な磁束の定義と、一様な磁場での簡単な形があります。

最初の磁束の例

面積 $0.040\ \mathrm{m^2}$ の平らな輪が、一様な $0.30\ \mathrm T$ の磁場にあります。磁場と輪の法線のなす角は $60^\circ$ です。磁束が正になるよう法線を選ぶと、

$$\Phi_B=(0.30)(0.040)\cos60^\circ =0.0060\ \mathrm{Wb}.$$

です。同じ輪の法線を磁場とそろえると、磁場の強さと面積は変わらなくても磁束は $0.012\ \mathrm{Wb}$ になります。磁場が一定でも、向きを変えれば起電力を誘導できます。

ファラデーの法則は変化の割合を測る

同じ磁束が各巻きを通る $N$ 巻きのコイルでは、ファラデーの法則は

$$\mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

です。起電力 $\mathcal E$ の単位はボルトで、1ウェーバー毎秒が1ボルトです。磁束が速く変わるほど大きくなり、巻き数にも比例します。選んだ法線によって、右手の法則から輪を回る正の向きも決まります。親指を法線へ向けると、曲げた指が正の向きです。マイナス記号はレンツの法則による向きを含み、大きさを負で答えろという意味ではありません。

問題に始めと終わりの磁束、および所要時間だけが与えられるなら、平均の誘導起電力を求めます。

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}}=-N\frac{\Phi_{B,\mathrm{final}}-\Phi_{B,\mathrm{initial}}}{\Delta t}.$$

磁束が一定の割合で変わらない限り、平均値だけでは各瞬間の起電力はわかりません。また、磁束を変えるのは磁場の変化だけではありません。$B$ が一定でも、輪の面積や角度が変わることがあります。輪の外側のどこかで磁場が変化しただけでは不十分で、選んだ輪を貫く磁束が変わる必要があります。

計算例：平均の誘導起電力

80巻きのコイルがあり、各巻きが $0.025\ \mathrm{m^2}$ を囲んでいます。コイルに垂直な一様な磁場が、$0.10\ \mathrm T$ から $0.35\ \mathrm T$ へ $0.20\ \mathrm s$ の間に増えます。磁場の方向に正の法線を選びます。1巻きあたりの磁束の変化は

$$\Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.025)(0.35-0.10) =0.00625\ \mathrm{Wb}.$$

です。平均起電力は

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}} =-80\frac{0.00625}{0.20} =-2.5\ \mathrm V.$$

です。大きさは $2.5\ \mathrm V$ です。負号は、選んだ正の法線と輪の向きを基準に、逆向きへ誘導起電力が働くことを示します。磁場が一定の速さで増えていなくても、$2.5\ \mathrm V$ はその時間幅での平均の大きさです。ただし瞬間値は異なるかもしれません。

レンツの法則：磁場ではなく変化に逆らう

時計回りか反時計回りかを選ぶ前に、輪を貫く元の磁束が増えているか減っているかを判断します。回路が閉じていれば、誘導電流はその変化に逆らう磁場をつくります。OpenStaxのレンツの法則の節は、この向きの規則をエネルギー保存則に結び付けています。

紙の上に平らな輪があるとします。磁場は紙面の奥向きで、さらに強くなっています。奥向きの磁束が増えるので、輪の誘導磁場はその増加に逆らって紙面の手前向きです。右手の親指を手前へ向け、指を電流の向きに曲げると、上から見た電流は反時計回りです。

今度は磁場は同じく紙面の奥向きですが、弱くなります。磁束の減少に逆らう誘導磁場は紙面の奥向きです。右手の法則から電流は時計回りです。元の磁場の向きはどちらも同じです。誘導の向きを決めるのは変化です。

動く磁石でも同じ手順です。どちらの極が輪に向き、どちら側から見ているかを指定し、磁束の変化を判断してから右手の法則を使います。見る側を示さずに単に「時計回り」と答えるだけでは不十分です。

電流が流れなくても起電力は生じ得る

誘導起電力は輪に沿って電荷を動かそうとします。導体中を持続的に周回する電流には閉じた導通経路が必要です。導線を切っても磁束が変われば誘導起電力は生じますが、隙間を越えて電荷が流れ続けることはできません。輪が閉じ、抵抗がわかっているなら、単純な抵抗モデルで電流の大きさは $I=|\mathcal E|/R$ です。誘導起電力だけでは電流は決まらず、抵抗も関係します。この計算の回路側については直列回路と並列回路のガイドで扱っています。

発電機は、磁場に対してコイルを回し、角度と磁束を変えることでこの原理を利用します。変化しない一様な磁場の中で静止した輪は、磁場が貫いていても磁束が一定なので、ファラデーの法則による誘導起電力はありません。動く導体ではより丁寧な回路の見方が必要な場合もありますが、ここでの例では閉じた輪の磁束の規則から始めるのが適切です。

誘導起電力を、静止した電荷の問題での静電気的な電位差と混同しないでください。両方ともボルトで測りますが、変化する磁束は閉じた経路の周りに電荷を動かせます。静電場との比較は電位と電場の違いを参照してください。

解答付きの練習問題3つ

1. 一定の磁場で面積を変える。 長方形の導線の輪が、一様な $0.40\ \mathrm T$ の磁場に垂直にあります。囲む面積は $0.030\ \mathrm{m^2}$ から $0.010\ \mathrm{m^2}$ へ、$0.50\ \mathrm s$ の間に減ります。平均起電力の大きさを求めてください。法線を磁場にそろえます。磁束の変化は $0.40(0.010-0.030)=-0.0080\ \mathrm{Wb}$ です。したがって $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=0.0080/0.50=0.016\ \mathrm V$ です。磁場は一定で、面積の変化が起電力を生みました。

2. コイルを回す。 20巻きで面積 $0.010\ \mathrm{m^2}$ のコイルが、一様な $0.50\ \mathrm T$ の磁場にあります。$0.10\ \mathrm s$ の間に、法線が磁場と平行な向きから垂直な向きへ回ります。平均起電力の大きさを求めてください。各巻きの磁束は $BA=0.0050\ \mathrm{Wb}$ からゼロになります。よって $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=20(0.0050)/0.10=1.0\ \mathrm V$ です。平均値を求めるだけなら、回転の速さが一定である必要はありません。

3. 向きと電流。 上から見ると、閉じた5巻きのコイルを貫く磁場が紙面の手前向きに強くなっています。誘導電流はどちら向きでしょうか。手前向きの磁束が増えるので、誘導磁場は奥向きです。右手の法則から、上から見て時計回りです。コイルを開けば誘導起電力はあっても、切れ目を越えて周回する電流はありません。

磁束と誘導起電力を練習するなら、Physics Zenの磁場と電磁誘導のトピックを使えます。電磁誘導はA-Level PhysicsとドイツのAbiturにも含まれ、A-Level Physicsの試験対策ガイドとAbitur Physikのガイドでは、場や電気のほかの内容の中でどこに位置するかを示しています。